ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА
Числовыеряды
Содержание
Лекция.Числовые ряды
1.Определение числового ряда. Сходимость
2.Основные свойства числовых рядов
3.Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
4.Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница
5.Знакопеременные ряды
Вопросыдля самопроверки
Литература
Лекция.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1.Определение числового ряда. Сходимость.
2.Основные свойства числовых рядов.
3.Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.
4.Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.
5.Знакопеременные ряды.
1.Определение числового ряда. Сходимость
Вматематических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике,статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числомслагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.
Пустьзадана бесконечная числовая последовательность
/>, />, …, />, …
Определение1.1. Числовым рядом или просто рядомназывается выражение (сумма) вида
/>. (1.1)
Числа/> называются членами ряда,/>– общим или n–мчленом ряда.
Чтобызадать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента /> вычисления />-го члена ряда по егономеру />
Пример1.1.Пусть />. Ряд
/> (1.2)
называетсягармоническим рядом.
Пример1.2.Пусть />, /> Ряд
/> (1.3)
называетсяобобщенным гармоническим рядом. В частном случае при /> получается гармоническийряд.
Пример1.3.Пусть />=/>. Ряд
/> (1.4)
называетсярядом геометрической прогрессии.
Изчленов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичныхсумм/> где /> – сумма /> первых членов ряда,которая называется n-й частичнойсуммой, т. е.
/>,
/>,
/>,
…………………………….
/>, (1.5)
…………………………….
Числоваяпоследовательность /> принеограниченном возрастании номера /> может:
1)иметь конечный предел;
2)не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).
Определение1.2.Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность егочастичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е. />
Вэтом случае число /> называется суммойряда (1.1) и пишется
/>.
Определение1.3.Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность егочастичных сумм не имеет конечного предела.
Расходящемусяряду не приписывают никакой суммы.
Такимобразом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислениюпредела последовательности его частичных сумм.
Рассмотримнесколько примеров.
Пример1.4.Доказать, что ряд
/>
сходится,и найти его сумму.
Найдемn-ючастичную сумму данного ряда />.
Общийчлен /> ряда представим в виде />.
Тогда/>
Отсюдаимеем: />. Следовательно, данный рядсходится и его сумма равна 1:
/>
Пример1.5.Исследовать на сходимость ряд
/> (1.6)
Дляэтого ряда />
/>. Следовательно,данный ряд расходится.
Замечание.При /> ряд (1.6) представляетсобой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.
Пример1.6. Исследовать на сходимость ряд
/> (1.7)
Дляэтого ряда />
Вэтом случае предел последовательности частичных сумм /> не существует, и рядрасходится.
Пример1.7. Исследовать на сходимость ряд геометрической прогрессии(1.4):
/>
Нетруднопоказать, что n-я частичная сумма рядагеометрической прогрессии при /> задаетсяформулой
/>.
Рассмотримслучаи:
1)/> Тогда /> и />.
Следовательно,ряд сходится и его сумма равна />
2)/>./>
Тогда/> и />.
Следовательно,ряд расходится.
3)/> или /> Тогда исходный ряд имеетвид (1.6) или (1.7) соответственно, которые расходятся. Окончательно имеем
/> (1.8)
Пример1.8.Найти сумму ряда
/>
Очевидно,что данный ряд является рядом геометрической прогрессии. В нашем случае />. Тогда из формулы (1.8)следует
/>.
Исследованиена сходимость гармонического ряда (1.2) и обобщенного гармонического ряда (1.3)будет проведено в следующем разделе.
2.Основные свойства числовых рядов
Свойствасуммы конечного числа слагаемых отличаются от свойств ряда, т. е. суммыбесконечного числа слагаемых. Так, в случае конечного числа слагаемых их можногруппировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуютсходящиеся ряды (условно сходящиеся, которые будут рассмотрены в разделе 5),для которых, как показал Риман*, меняя надлежащимобразом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какомуугодно числу, и даже расходящийся ряд.
Пример2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида (1.7)
/>
Сгруппировавего члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:
/>/>
Сдругой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена,получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице:
/>
Сходящиесяряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, какс конечными суммами. Так их можно умножать на числа, почленно складывать ивычитать. У них можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые.
Теорема2.1. (Необходимый признак сходимости ряда).
Еслиряд (1.1) сходится, то его общий член />/> стремитсяк нулю при неограниченном возрастании n,т. е.
/> (2.1)
Доказательствотеоремы следует из того, что />, иесли
S – сумма ряда (1.1), то
/>
Условие(2.1) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т.е., если общий член ряда стремится к нулю при />,то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2) />/>однако,как будет показано ниже, он расходится.
Следствие(Достаточныйпризнак расходимости ряда).
Еслиобщий член ряда /> не стремится кнулю при />, то этот ряд расходится.
Пример2.2.Исследовать на сходимость ряд
/>.
Дляэтого ряда />
Следовательно,данный ряд расходится.
Рассмотренныевыше расходящиеся ряды (1.6), (1.7) также являются таковыми в силу того, чтодля них не выполняется необходимый признак сходимости./> Для ряда (1.6) предел /> для ряда (1.7) предел /> не существует.
Свойство2.1. Сходимость или расходимость ряда неизменится, если произвольным образом удалить из него, добавить к нему,переставить в нем конечное число членов (при этом для сходящегося ряда егосумма может измениться).
Доказательствосвойства следует из того, что ряд (1.1) и любой его остаток /> сходятся или расходятсяодновременно.
Свойство2.2. Сходящийся ряд можно умножать на число,т. е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму Sи c– некотороечисло, тогда />
Доказательствоследует из того, что для конечных сумм справедливы равенства
/>
Свойство2.3.Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если ряды />,
/> сходятся,
тои ряд />
сходитсяи его сумма равна /> т.е.
/>.
Доказательствоследует из свойств предела конечных сумм, т. е.
/>
Пример2.3. Вычислить сумму ряда
/>.
Общийчлен ряда />представим в виде />
Тогдаисходный ряд можно представить в виде почленной разности двух сходящихся рядовгеометрической прогрессии
/>
Используяформулу (1.8), вычислим суммы соответствующих рядов геометрической прогрессии.
Дляпервого ряда /> поэтому
/>.
Длявторого ряда /> поэтому
/>
Окончательноимеем
/>.
3.Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
Определитьсходимость ряда (1.1) и найти его сумму в случае сходимости непосредственно поопределению 1.1 как предела последовательности частичных сумм, весьмазатруднительно. Поэтому существуют достаточные признаки определения сходитсяряд или расходится. В случае его сходимости приближенным значением его суммы слюбой степенью точности может служить сумма соответствующего числа первых nчленов ряда.
Здесьбудем рассматривать ряды (1.1) с положительными (неотрицательными) членами, т.е. ряды, для которых /> Такие ряды будемназывать положительными рядами.
Теорема3.1.(признак сравнения)
Пустьданы два положительных ряда
/>, (3.1)
/>, (3.2)
ивыполняются условия /> для всех n=1,2,…
Тогда:1) из сходимости ряда (3.2) следует сходимость ряда (3.1);
2)из расходимости ряда (3.1) следует расходимость ряда (3.2).
Доказательство.1. Пусть ряд (3.2) сходится и его сумма равна В. Последовательностьчастичных сумм ряда (3.1) является неубывающей ограниченной сверху числом В,т. е.
/>
Тогдав силу свойств таких последовательностей следует, что она имеет конечныйпредел, т. е. ряд (3.1) сходится.
2.Пусть ряд (3.1) расходится. Тогда, если ряд (3.2) сходится, то в силудоказанного выше пункта 1 сходился бы и исходный ряд, что противоречит нашемуусловию. Следовательно ряд (3.2) также расходится.
Этотпризнак удобно применять к определению сходимости рядов, сравнивая их с рядами,сходимость которых уже известна.
Пример3.1.Исследовать на сходимость ряд
/>
Членыряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося рядагеометрической прогрессии
/> т. к. />, n=1,2,…
Следовательно,по признаку сравнения исходный ряд также сходится.
Пример3.2. Исследовать на сходимость ряд
/>
Членыданного ряда положительны и больше соответствующих членов расходящегосягармонического ряда
/> т. к.
/>
Следовательно,по признаку сравнения исходный ряд расходится.
Теорема3.2. (Предельный признак Даламбера[*]).
Пустьчлены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел
/>
Тогда:1) при q
2)при q> 1 ряд(1.1) расходится;
3)при q= 1 осходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительныеисследования.
Замечание:Ряд (1.1) будет расходиться и в том случае, когда
/>
Пример3.3.Исследовать на сходимость ряд
/>.
Применимпредельный признак Даламбера.
Внашем случае />.
Тогда/>
Следовательно,исходный ряд сходится.
Пример3.4.Исследовать на сходимость ряд
/>
Применимпредельный признак Даламбера:
/>
/>
Следовательно,исходный ряд сходится.
Пример3.5.Исследовать на сходимость ряд
/>
Применимпредельный признак Даламбера:
/>
/>
Следовательно,исходный ряд расходится.
Замечание.Применение предельного признака Даламбера к гармоническому ряду /> не дает ответа осходимости этого ряда, т. к. для этого ряда
/>
Теорема3.3. (Предельный признак Коши*).
Пустьчлены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел
/>
Тогда: 1) при q
2)при q> 1 ряд (1.1)расходится;
3)при q= 1 осходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительныеисследования.
Пример3.6. Исследовать на сходимость ряд
/>
Применимпредельный признак Коши:
/>
Следовательно,исходный ряд сходится.
Теорема3.4. (Интегральный признакКоши).
Пустьфункция f(x)непрерывная неотрицательная невозрастающая функция на промежутке />
Тогдаряд /> и несобственный интеграл /> сходятся или расходятсяодновременно.
Пример3.7.Исследовать на сходимость гармонический ряд
/>
Примениминтегральный признак Коши.
Внашем случае функция /> удовлетворяетусловию теоремы 3.4. Исследуем на сходимость несобственный интеграл />
Имеем/>.
Несобственныйинтеграл расходится, следовательно, исходный гармонический ряд расходитсятакже.
Пример3.8.Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд
/>
Функция/> удовлетворяет условиютеоремы 3.4.
Исследуемна сходимость несобственный интеграл />
Рассмотримследующие случаи:
1)пусть /> Тогда обобщенныйгармонический ряд есть гармонический ряд, который расходится, как показано впримере 3.7.
2)пусть /> Тогда
/>
Несобственныйинтеграл расходится, и, следовательно, ряд расходится;
3)пусть /> Тогда
/>
Несобственныйинтеграл сходится, и, следовательно, ряд сходится.
Окончательноимеем
/>
Замечания.1. Обобщенный гармонический ряд будет расходиться при />, т. к. в этом случае невыполняется необходимый признак сходимости: общий член ряда не стремится кнулю.
2.Обобщенный гармонический ряд удобно использовать при применении признакасравнения.
Пример3.9.Исследовать на сходимость ряд
/>
Членыряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося обобщенногогармонического ряда
/>
т.к. /> и параметр />
Следовательно,исходный ряд сходится (по признаку сравнения).
Перейдемк рассмотрению рядов, члены которых могут быть как положительными, так иотрицательными.
4.Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница
Определение4.1. Знакочередующимся рядом называется ряд, укоторого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.
Такиеряды удобнее записывать в виде
/> (4.1)
илив виде
/>, (4.2)
где/>
Дляопределения сходимости знакочередующихся рядов существует весьма простойдостаточный признак.
Теорема4.1. (Достаточный признак сходимости Лейбница*).
Длятого чтобы знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходился, достаточно, чтобыабсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n.
Такимобразом, если /> и /> то знакочередующийся ряд(4.1)((4.2)) сходится.
Пример4.1. Ряд
/> (4.3)
сходятся,т. к. для него выполняются все условия признака сходимостиЛейбница.
5.Знакопеременные ряды
Рассмотримчисловые ряды
/> (5.1)
спроизвольными членами, т. е. члены ряда могут быть как положительными, так иотрицательными. Такие ряды называются знакопеременными.
Образуемновый ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) членов ряда (5.1), т.е. ряд
/> (5.2)
Теорема5.1.Если ряд /> сходится, то сходится иисходный ряд />
Вообщеговоря, обратное утверждение неверно, т. е. из сходимости ряда (5.1) не следуетсходимость ряда (5.2). Например, как было показано выше ряд /> сходится, в то время какряд /> расходится.
Определение5.1. Ряд (5.1) называется абсолютно сходящимся,если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Определение5.2. Сходящийся ряд (5.1) называется условносходящимся, если ряд (5.2) расходится.
Такимобразом, ряд /> являетсяабсолютно сходящимся.
Абсолютносходящиеся ряды обладают тем свойством, что у них можно любым образом менятьместами члены ряда. При такой перестановке будут получаться также абсолютносходящиеся ряды, при этом сумма ряда не изменяется. Как указывалось в разделе2, условно сходящиеся ряды таким свойством не обладают.
Вопросыдля самопроверки
1.Как определяется сумма числового ряда?
2.Какой ряд называется сходящимся (расходящимся)?
3.Может ли предел общего члена сходящегося числового ряда равняться 3?
4.Что можно сказать о сходимости числового ряда с положительными членами />, если ряд />сходится и его сумма равна6.
5.Предел какого выражения используется в предельном признаке Даламбера (Коши)?
6.Какой ряд называется знакочередующимся?
7.Каких условий достаточно для сходимости знакочередующегося ряда?
8.Какой ряд называется знакопеременным?
9.Будет ли сходящимся знакопеременный ряд, для которого ряд из модулей его членовсходится?
Упражнения
1.Найти сумму ряда:
а)/>; б) /> в) />
2.Исследовать сходимость ряда, пользуясь необходимым признаком и признакомсравнения:
а)/> б) />/> в)/>; г)/>
3.Исследовать сходимость ряда по предельному признаку Даламбера:
а)/> б) /> в) />; г) />.
4.Исследовать сходимость ряда по предельному признаку Коши:
а)/> б) />; в) /> г) />.
5.Исследовать, сходятся абсолютно или условно или расходятся знакопеременные ряды:
а)/> б) /> в) />
г)/>.
Литература
1.Высшая математика: Общий курс: Учеб. – 2-е изд., перераб. / А. И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е. И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С. А. Самаля. – Мн.: Выш. шк.,2000.–351 с.
2.Марков Л. Н., Размыслович Г. П. Высшая математика. Часть 2. Основы математическогоанализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.