Расширение понятия числа

29

СОДЕРЖАНИЕ

СТР.

Введение………………………………………………………….. 3

1. Число как основное понятие математики………………………… 4

2. Натуральные числа………………………………………………… 5

1.1. Функции натуральных чисел………………………………. … 6 1.2. Простые числа Мерсенна, совершенные числа …………….. 7

3. Рациональные числа…………………………………………….. … 9

3.1. Дробные числа……………………………………………. … 9

3.1.1. О происхождении дробей……………………………. 9

3.1.2. Дроби в Древнем Египте …………………………….. 9

3.1.3. Дроби в Древнем Риме …………………………….. 10

3.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби………….. .. 11

3.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции……………. .. 12

3.1.6. Нумерация и дроби на Руси………………………… 12

3.1.7. Дроби в других государствах древности………….. 13

3.1.8. Десятичные дроби…………………………………… 14

3.2. Отрицательные числатрехмерные числа a + bi + cj + dk, где i = j = k = и откладываются каждый на своей оси. Такие числа - комплексные a + bi и мнимые cj и dk по двум дополнительным осям - Гамильтон назвал кватернионами (quaterni в переводе с латыни - четыре). Позже, в 1853 году, как вариант кватернионов, Гамильтон предложил более удобные числа bi + cj + dk и назвал их векторными числами. Они и обобщили все предыдущие числа на 5-ом уровне обобщения.

6. Матричные числа

Алгебраические операции над векторными величинами создали многоэлементные числовые объекты, названные по предложению Эйнштейна тензорными величинами. Для их моделирования Артур Кэли в 1850 году ввел числа, в которых элементы (более трех) записывались уже квадратными и прямоугольными таблицами (матрицами) и рассматривались как единый числовой объект.

Векторные числа + тензорные величины породили матричные числа. Это был 6-ой уровень обобщения чисел.

Выделим особенность всех сложных (комплексных, векторных, матричных) чисел: они моделируют сразу два свойства - количество и направление моделируемых величин.

7. Трансфинитные числа

Наконец, в 1883 году немецкий ученый Георг Кантор, по-видимому, оценив многовековую историю последовательного обобщения чисел, в которой натуральные числа были обобщены рациональными, а те в свою очередь - действительными, те - комплексными, те - векторными, те - матричными, создал на этом материале свою теорию трансфинитных (бесконечных, запредельных) чисел.

Для этого он назвал множеством всякий набор элементов, который можно сопоставить с частью самого себя, как например, целые числа сопоставляются с четными числами:Кантор заметил, что такое множество должно содержать бесконечное число элементов. А если эти элементы сопоставимы с множеством натуральных чисел, то их количество образует первое трансфинитное число а₀ (алеф-нуль - с иврита). Но множество а₀ тоже бесконечно много, и они вместе, как количество элементов нового множества, образуют следующее трансфинитное число а₁ . И так далее…

Такой красивой теорией Кантор завершил обобщение чисел на 7-ом уровне. И до настоящего времени абстрактнее ее нет: пока ничто не поглотило трансфинитные числа. Однако правда и то, что трансфинитные числа не нашли еще применения за пределами самой математики. История с нулем и комплексными числами снова повторяется для трансфинитных чисел: что ими можно моделировать? Уже больше века не знают. Может, Кантор породил красивую, но мертвую теорию?

Кантор долго анализировал трансфинитные числа и установил, что они могут моделировать либо просто количество (тогда это количественные, кардинальные трансфинитные числа, например - множество учеников в классе), либо количество и направление (тогда это порядковые, ординальные трансфинитные числа, например - то же множество учеников, но упорядоченное по успеваемости). Но эти свойства (количество и направление) успешно моделируются числа меньших уровней обобщения. А таблица чисел подсказывает закономерность: чтобы стать абстрактнее, новые числа должны моделировать больше, развиваясь от уровня к уровню либо экстенсивно, меняясь количественно (например, в учете моделирующих элементов числами уровней 1, 2, 3: натуральные + ноль + отрицательные + иррациональные; или в учете моделируемых направлений числами уровней 3, 4, 5, 6: одномерно-двумерные-трехмерные-многомерные и т.п).

8. Функции = функциональные числа?

Мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа - это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания». Он же внес в традиционную классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычно именуют функциями.

С.Ф.Клюйков утверждает, что принятые во всем мире и представленные в таблице 1 уровни обобщения чисел не совсем полны, они включает не все уже известные числа.

8.1. Развитие функциональных чисел

История зарождения и развития функциональных чисел чрезвычайно длительна и богата. Их совершенствовали уже ученые Древнего Востока (Х в. до н. э.), находя объемы сосудов для зерна, сдаваемого в виде налога; античные греки (III в. до н.э.), исследуя конические сечения; Галилей (1638 г.), проверяя опытом свои формулы движения тел. Впервые ясно и отчетливо функциональные числа были представлены Лагранжем (1797 г.) в теории функций действительного переменного и ее приложении к разнообразным задачам алгебры и геометрии. Однако в наши дни функциональные числа продолжают совершенствовать, несмотря на громадный накопленный опыт: весь математический анализ с его бесконечными рядами, пределами, минимумами и максимумами, с дифференциальным, интегральным и вариационным исчислением, уравнениями и методами их решения.

Но еще более значительными были успехи математики при добавлении способности моделировать функциональную зависимость комплексным числам (Даламбер, 1746 г.). Так возникли комплексно-функциональные числа (9-ый уровень обобщения) в форме функций комплексного переменного, с помощью которых были построены многие полезные математические модели сложных процессов, упрощенно доказательство многих теорем, выполнено описание двухмерных векторов, скалярных и векторных полей, отображение одной плоскости на другую и т.д.

Благодаря соединению способности моделировать функциональную зависимость с векторными числами (Гамильтон, 1853 г.), возникли векторно-функциональные числа (10-ый уровень обобщения). А это - векторный анализ, векторные функции, моделирование переменных полей в сплошных средах и многие достижения теоретической физики…

Добавление матричным числам способности моделировать функциональную зависимость (Клебш, 1861 г.) создало матрично-функциональные числа (11-ый уровень обобщения), а с ними: алгебру матриц, матричное представление линейных векторных пространств и линейных преобразователей, много новых математических моделей, тензорный анализ пространств с кривизной. теорию поля в физике и т.д.

Если добавить трансфинитным числам Кантора способность моделировать функциональную зависимость, то возникнут новые, трансфинитно-функциональные числа (12-ый уровень обобщения), функции трансфинитного переменного, которые, благодаря максимальному на сегодняшний день обобщению, позволят с большей простотой и стандартностью промоделировать все доступное предыдущим числам и откроют новые перспективы в моделировании еще более сложных задач.

Заключение

1. Показано, что современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.

2. При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства:

v правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям;

v новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.

3. К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные , матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.

Литература

1. Клюйков С.Ф. Числа и познание мира. - Мариуполь: Полиграфический центр газеты «ИнформМеню». 1997г. - 112 с.

2. Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи числення. - Київ: ”Радянська школа”. 1968 р.- 115 с.

3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960 г. - 368 с.

4. Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. Справочник по математике для техникумов. 3-е издание. - Москва, «Высшая школа», 1975г. - 554 с.

5. Г.И.Гейзер. История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.