25
Министерство образования Российской Федерации
Муниципальное общеобразовательное учреждение
"Средняя общеобразовательная школа №22"
Квадратные уравнения и уравнения высших порядков
Выполнили:
Ученики 8 "Б" класса
Кузнецов Евгений и Руди Алексей
Руководитель:
Зенина Алевтина Дмитриевна
преподаватель математики
Тюмень
2005
Оглавление
Введение
Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков
1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне
1.2 Уравнения арабов
1.3 Уравнения в Индии
Глава 2. Теория квадратные уравнения и уравнения высших порядков
2.1 Основные понятия
2.2 Формулы четного коэффициента при х
2.3 Теорема Виета
2.4 Квадратные уравнения частного характера
2.5 Теорема Виета для многочленов (уравнений) высших степеней
2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)
2.7 Исследование биквадратных уравнений
2.8 Формулы Кордано
2.9 Симметричные уравнения третьей степени
2.10 Возвратные уравнения
Список используемой литературы
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Введение
Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).
В этом реферате хотелось бы отобразить формулы и способы решения различных уравнений. Для этого приводятся уравнения, которые не изучаются в школьной программе. В основном это уравнения частного характера и уравнения высших степеней. Чтобы раскрыть эту тему приводятся доказательства этих формул.
Задачи нашего реферата:
- улучшить навыки решения уравнений
- наработать новые способы решения уравнений
- выучить некоторые новые способы и формулы для решения этих уравнений.
Объект исследования - элементарная алгебра Предмет исследования уравнения. Выбор этой темы основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня - как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.
Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков
1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведённых над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучается общие свойства действий над величинами.
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Как было сказано ранее, квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилонянами. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются как неполные, так и полные квадратные уравнения.
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решением, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратного уравнения.
1.2 Уравнения арабов
Некоторые способы решения уравнений как квадратных, так и уравнений высших степеней были выведены арабами. Так известный арабский математик Ал-Хорезми в своей книге «Ал - джабар» описал многие способы решения различных уравнений. Их особенность была в том, что Ал-Хорезми применял сложные радикалы для нахождения корней (решений) уравнений. Необходимость в решении таких уравнений была нужна в вопросах о разделе наследства.
1.3 Уравнения в Индии
Квадратные уравнения решали и в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:
aх? + bx = c, где a > 0
В этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях.
Глава 2. Квадратные уравнения и уравнения высших порядков
2.1 Основные понятия
Квадратным уравнением называют уравнения вида
ax?+bx+c = 0,
где коэффициенты a, b, c - любые действительные числа, причём a ? 0.
Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1.
Пример:
x2 + 2x + 6 = 0.
Квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1.
Пример:
2x2 + 8x + 3 = 0.
Полное квадратное уравнение - квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.
Пример:
3x2 + 4x + 2 = 0.
Неполное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, у которого хотя бы один коэффициент b, c равен нулю.
Таким образом, выделяют три вида неполных квадратных уравнений:
1) ax? = 0 (имеет два совпадающих корня x = 0).
2) ax? + bx = 0 (имеет два корня x1 = 0 и x2 = -)
Пример:
x2 + 5x = 0
x(x+5) =0
x1= 0, x2 = -5.
Ответ: x1=0, x2= -5.
3) ax? + c = 0
Если -<0 - уравнение не имеет корней.
Пример:
5x2 + 6 = 0
Ответ: уравнение не имеет корней.
Если -> 0, то x1,2 = ±
Пример:
2x2 - 6 = 0
х2=±
х1,2=±
Ответ: х1,2=±
Любое квадратное уравнение можно решить через дискриминант (b? - 4ac). Обычно выражение b? - 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнение ax? +bx + c = 0 (или дискриминантом квадратного трёх члена ax? + bx + c)
Пример:
х2 +14x - 23 = 0
D = b2 - 4ac = 144 + 92 = 256
x1,2 =
x1 =
x2 =
Ответ: x1 = 1, x2 = - 15.
В зависимости от дискриминанта уравнение может иметь или не иметь решение.
1) Если D < 0, то не имеет решения.
2) Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих решения x1,2 =
3) Если D > 0, то имеет два решения, находящиеся по формуле:
x1,2 =
2.2 Формулы четного коэффициента при х
Мы привыкли к тому, что корни квадратного уравнения
ax? + bx + c = 0 находятся по формуле
x1,2 =
Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что эту формулу можно упростить в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если b есть четное число.
В самом деле, пусть у квадратного уравнения ax? + bx + c = 0 коэффициент b имеет вид b = 2k. Подставив в нашу формулу число 2k вместо b, получим:
x1,2=
=
Итак, корни квадратного уравнения ax? + 2kx + c = 0 можно вычислять по формуле:
x1,2=
Пример:
5х2 - 2х + 1 = 0
x1,2=
Преимущество этой формулы в том, что в квадрат возводится не число b, а его половина, вычитается из этого квадрата не 4ac, а просто ac и, наконец, в том, что в знаменателе содержится не 2a, а просто a.
В случае если квадратное уравнение приведенное, то наша формула будет выглядеть так:
x1,2=-k ±.
Пример:
х2 - 4х + 3 = 0
х1,2 = 2 ±
х1 = 3
х2 = 1
Ответ: х1 = 3, х2 = 1.
2.3 Теорема Виета
Эта формула похожа на предыдущую, но она тоже важна, т.к. часто встречаются примеры такого типа.
1) Пример:
2х? + 3х + 1 = 0
a = 2, b = 3, c = 1.
a - b + c = 0, следовательно
х1 = -1
х2 = -1/2
2) Пример:
Ответ: x1 = -1; х2 = -
3) Метод “переброски”
Корни квадратных уравнений y? + by + аc = 0 и ax? + bx + c = 0 связанны соотношениями:
х1 = и х2 =
Доказательство:
а) Рассмотрим уравнение ax? + bx + c = 0
x1,2 = =
б) Рассмотрим уравнение y? + by + аc = 0
y1,2 =
Заметим, что дискриминанты у обоих решений равны, сравним корни этих двух уравнений. Они отличаются друг от друга на старший коэффициент, корни первого уравнения меньше корней второго на а. Используя теорему Виета и выше приведенное правило, нетрудно решать разнообразные уравнения.
Пример:
Имеем произвольное квадратное уравнение
10х? - 11х + 3 = 0
Преобразуем это уравнение по приведенному правилу
y? - 11y + 30 = 0
Получим приведенное квадратное уравнение, которое можно достаточно легко решить с помощью теоремы Виета.
Пусть y1 и y2 корни уравнения y? - 11y + 30 = 0
y1y2 = 30 y1 = 6
y1 + y2 = 11 y2 = 5
Зная, что корни этих уравнений отличны друг от друга на а, то
х1 = 6/10 = 0,6
х2 = 5/10 = 0,5
В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax? + bx + c = 0, а приведенное y? + by + аc = 0, которое получается из данного «переброской» коэффициента а, а затем разделить найденный корни на а для нахождения исходного уравнения.
2.5 Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней
Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.
Пусть многочлен
P(x) = a0xn + a1xn-1--- + … +an
Имеет n различных корней x1 , x2 …, xn.
В этом случае он имеет разложение на множители вида:
a0xn + a1xn-1 +…+ an = a0( x - x1)( x - x2)…(x - xn)
Разделим обе части этого равенства на a0 ? 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:
xn + ()xn-1 + … + () = xn - (x1 + x2 + … + xn) xn-1 + ( x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn)xn-2 + … +(-1)n x1x2 … xn
Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство
x1 + x2 + … + xn = -
x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn =
x1x2 … xn = (-1)n
Например, для многочленов третей степени
a0x? + a1x? + a2x + a3
Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x1 , x2 …, xn данного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена.
2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)
К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени:
ax4 + bx2 + c = 0,
называемые биквадратными, причем, а ? 0.
Достаточно положить в этом уравнении х2 = y, следовательно,
ay? + by + c = 0
найдём корни полученного квадратного уравнения
y1,2 =
Чтобы найти сразу корни х1,x2,x3,x4 , заменим y на x и получим
x? =
х1,2,3,4 = .
Если уравнение четвёртой степени имеет х1, то имеет и корень х2 = -х1,
Если имеет х3, то х4 = - х3. Сумма корней такого уравнения равна нулю.
Пример:
2х4- 9x? + 4 = 0
Симметричные уравнения четвертой степени.
Если m = 1, то это симметричное уравнение первого рода, имеющее вид
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой
y =
2) Если m = -1, то это симметричное уравнение второго рода, имеющее вид
ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой
y =
2.11 Схема Горнера
Для деления многочленов применяется правило “деления углом”, или схема Горнера. С этой целью располагают многочлены по убывающим степеням х и находят старший член частного Q(x) из условия, что при умножении его на старший член делителя D(x) получается старший член делимого P(x). Найденный член частного умножают, затем на делитель и вычитают из делимого. Старший член частного определяют из условия, что он при умножении на старший член делителя даёт старший член многочлена разности и т.д. Процесс продолжается до тех пор, пока степень разности не окажется меньше степени делителя.(см. приложение №2).
В случае уравнений R = 0 этот алгоритм заменяется схемой Горнера.
Пример:
х3 + 4х2 + х - 6 = 0
Находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6.
Левую часть уравнения обозначим f(x). Очевидно, что f(1) = 0, x1 = 1. Делим f(x) на х - 1. (см. приложение №3)
Значит,
х3 + 4х2 + х - 6 = (х - 1) (х2 + 5х + 6)
Последний множитель обозначим через Q(x). Решаем уравнение Q(x) = 0.
х2,3 =
Ответ: 1; -2; -3.
Исследование биквадратных уравнений
C |
b |
Выводы |
|||
О корнях вспомогательного уравнения ay? +by+c=0 |
О корнях данного уравнения a(x?)? +bx? +c=0 |
||||
C < 0 |
b- любое действительное число |
y < 0 y > 01 2 |
x = y 1,2 2 |
||
C > 0 |
b<0 |
D > 0 |
y > 01,2 |
x = y 1,2,3,4 1,2 |
|
D = 0 |
y > 0 |
x = y 1,2 . |
|||
D < 0 |
Нет корней |
Нет корней |
|||
b ? 0 |
y < 0 1,2 |
Нет корней |
|||
Нет корней |
Нет корней |
||||
y > 0 y < 01 2 |
x = y 1,2 1 |
||||
C = 0 |
b > 0 |
y = 0 |
x = 0 |
||
b = 0 |
y = 0 |
x = 0 |
|||
b < 0 |
y = 0 |
x = 0 |
Приложение 2
Деление многочлена на многочлен «уголком»
A0 |
a1 |
a2 |
... |
an |
c |
||
+ |
|
||||||
|
|
b0c |
b1c |
… |
bn-1c |
||
|
|||||||
|
B0 |
b1 |
b2 |
… |
bn |
= R (остаток) |
|
|
|
Приложение 3
Схема Горнера
Корень |
||||||
1 |
4 |
1 |
-6 |
1 |
||
х1 = 1 |
||||||
сносим |
5 |
6 |
0 |
|||
1 |
1?1 +4 = 5 |
5?1 + 1 = 6 |
6?1 - 6 = 0 |
|||
корень |
||||||
х1 = 1 |
! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |