Введение
Современнаятеория автоматического регулирования является основной частью теории управления.Система автоматического регулирования состоит из регулируемого объекта и элементовуправления, которые воздействуют на объект при изменении одной или нескольких регулируемыхпеременных. Под влиянием входных сигналов (управления или возмущения), изменяютсярегулируемые переменные. Цель же регулирования заключается в формировании такихзаконов, при которых выходные регулируемые переменные мало отличались бы от требуемыхзначений. Решение данной задачи во многих случаях осложняется наличием случайныхвозмущений (помех). При этом необходимо выбирать такой закон регулирования, прикотором сигналы управления проходили бы через систему с малыми искажениями, а сигналышума практически не пропускались.
Теорияавтоматического регулирования прошла значительный путь своего развития. На начальномэтапе были созданы методы анализа устойчивости, качества и точности регулированиянепрерывных линейных систем. Затем получили развитие методы анализа дискретных идискретно-непрерывных систем. Можно отметить, что способы расчета непрерывных систембазируются на частотных методах, а расчета дискретных и дискретно-непрерывных —на методах z-преобразования.
Внастоящее время развиваются методы анализа нелинейных систем автоматического регулирования.Нарушение принципа суперпозиции в нелинейных системах, наличие целого ряда чередующихся(в зависимости от воздействия) режимов устойчивого, неустойчивого движений и автоколебанийзатрудняют их анализ. Еще с большими трудностями встречается проектировщик при расчетеэкстремальных и самонастраивающихся систем регулирования.
1.Устойчивостьлинейной системы авторегулирования. Общие сведения
Устойчивость системы означает, что она принципиальноможет выполнять свои функции. Для линейных систем можно пользоваться следующим определениемустойчивости: линейная система устойчива, если при ограниченном входном воздействиивыходной процесс тоже ограничен.
Прямым методом анализа устойчивости является решениедифференциального уравнения, описывающего систему:
/>
где />и /> - соответственно выходной ивходной процессы в системе.
Устойчивость линейной системы не зависит от вида входноговоздействия, и можно взять его любым, в том числе и нулевым, но удобнее принятьx(t) = 1(t). В этом случае решениемдифференциального уравнения будет переходная характеристика. И по виду ее можноопределить устойчивость системы. Если переходная характеристика стремится к постоянномузначению, то система устойчива. Если же переходная характеристика уходит в бесконечность,то неустойчива. Из решения дифференциального уравнения следует, что выходной процессограничен, если корни характеристического уравнения располагаются в левойполуплоскости.
anpn + an-1pn-1 +…+ a0= 0
При анализе устойчивости систем авторегулированиянаиболее часто используется критерий устойчивости Найквиста. Согласно этому критериюзамкнутая система устойчива при устойчивой разомкнутой, если годограф частотнойхарактеристики разомкнутой системы не охватывает точки с координатами (-1, 0).Типовойвид годографа частотной характеристики разомкнутой системы, описываемой передаточнойфункцией
/>,(3)
К
Re />/>/>/>
Kp(jw)
-1 />
Im Рис. 1
Годограф начинается на действительной оси, так какна нулевой частоте коэффициент передачи разомкнутой системы является действительнойвеличиной Кр(0) = К. С ростом частоты модуль коэффициентапередачи Кр(w) уменьшается и вносится отрицательный фазовый сдвигjр(w), поэтому вектор Кр(jw)поворачивается по часовой стрелке. При w = ¥ Кр(w) = 0 и jр(w) = — 3p¤2. Для устойчивой системыточка ( -1, 0) должна лежать вне фигуры, образованной годографом частотной характеристикии действительной положительной полуосью.
Если в разомкнутую систему входят интеграторы, тогодограф частотной характеристики разомкнутой системы начинается в бесконечности.Такие системы называются астатическими. Количество интеграторов равно порядку астатизма.Для системы с одним интегратором, имеющей передаточную функцию годографначинается в третьем квадранте (рис. 2), а для системы с двумя интеграторами спередаточной функцией
/>,(4)
/> - (5)
во втором квадранте, т.к. уже на нулевой частоте интеграторвносит фазовый сдвиг, равный p¤2.
/>
Kp(jw)
Re
Im
-1 />/>/>/>
Kp(jw)
-1
Re
Im />/>/>/>/> Рис. 2 Рис. 3
Для построения замкнутого контура в этих случаях требуетсяк годографу добавить столько четвертей окружности бесконечного радиуса, сколькоинтеграторов в разомкнутой системе. На рис. 2 и рис. 3 это добавление условно показанопунктирной линией. Замкнутая система с годографом Кр(jw),изображенном на рис. 2, устойчива, а на рис. 3 – неустойчива. Причем последняя являетсяструктурно-неустойчивой, т.е. неустойчивой при любом коэффициенте передачи разомкнутойсистемы.
К1 />
Dj
Kp(jw)
1
-1
Re
Im />/>/>/>/> Рис. 4 /> />
По годографу частотной характеристики разомкнутойсистемы можно оценить степень устойчивости. Для этого вводится понятие запасов устойчивостипо усилению и по фазе. Запас устойчивости по усилению DК показывает, во сколько разнужно изменить коэффициент передачи разомкнутой системы, чтобы замкнутая из устойчивойстала неустойчивой. Запас устойчивости по фазе Dj показывает, какой фазовыйсдвиг нужно ввести в разомкнутую систему, чтобы замкнутая из устойчивой стала неустойчивой.На рис. 4 показано, как эти запасы определяются по годографу частотной характеристикиразомкнутой системы. Запас устойчивости по усилению DК = =1¤К1, где К1– коэффициент передачи разомкнутой системы на частоте, для которой jр(w) = -p.Запас устойчивости по фазеравен углу Dj между отрицательной действительной полуосью и линией,соединяющей начало координат с точкой пересечения годографа с окружностью единичногорадиуса.
На практике удобнее пользоваться не годографом частотнойхарактеристики, а амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками. И еще болееудобно использовать логарифмические АЧХ и ФЧХ, т.е. ЛАХ и ЛФХ. Критерий Найквистав этом случае формулируется так: замкнутая линейная система устойчива при устойчивойразомкнутой, если в области частот, где ЛАХ разомкнутой системы положительна, ЛФХразомкнутой системы или не пересекает значения -p, или пересекает его сверхувниз и снизу вверх одинаковое количество раз. При монотонной ЛФХ разомкнутой системыустойчивость можно определить, сравнивая две характерные частоты: частоту срезаwср, на которой ЛАХ пересекает ось частот, и критическую частоту wкр, на которой ЛФХ пересекаетзначение -p. Для устойчивой системы wкр>wср. Запас устойчивости по усилениюDL определяется на критической частоте как расстояние от ЛАХ до осичастот, а запас устойчивости по фазе – на частоте среза как расстояние от -p до ЛФХ (рис.5).
w />
Dj
DL
Lp(w)
jp(w)
-p />/>/>/>/>/>/>
wср
wкр
L, дБ />/>/>/>/>/>/> Рис. 5
Логарифмические частотные характеристики позволяютлегко и наглядно исследовать влияние параметров системы на ее устойчивость. Рассмотримэто на примере системы с передаточной функцией (3).
На рис. 6 изображены ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системыдля следующих значений постоянных времени: Т1 = 10-1с, Т2 = 10-2 с, Т3 = =10-3с и различных значений коэффициента передачи К = 10; 100; 103.При К = 10 замкнутая система устойчива. Запас устойчивости по фазе: 45 град,по усилению: 20 дБ. При К= 100 система находится на грани устойчивости ипри К= 1000 неустойчива.
На рис.7 изображены логарифмические характеристикиразомкнутой системы при К = 100, Т2 = 10-2 с, Т3 = 10-3 с и различных значений Т1: 1 с; 0,1 с и 0,01 с. Видно,что увеличение постоянной времени Т1 делает систему устойчивой и чем больше Т1, тем больше запасы устойчивости.Уменьшение Т1 приведет к неустойчивости системы. Наиболее неблагоприятной будетситуация, когда все постоянные времени максимально близки друг к другу, т.е. приТ1 = (Т2 + Т3) ¤ 2. При дальнейшем уменьше-нии Т1 ЛФХ приподнимается в области частот, близких к частотесреза, и склонность системы к неустойчивости будет уменьшаться. При Т1= 0 ЛФХ не будет пересекать значения -p, и система будетустойчивой при любом коэффициенте передачи.
10
w, рад/с
L, дБ />
jp(w) />/>
-3p/2
-p
-p/2
-60
-40
-20
40
20
103
1
0,1 />/>/>
Кр = 10
Кр = 102
Кр = 103
Lp(w)
j, рад />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
w, рад/с />/>/>/>
Т1= 0
Т1= 00,1с
Т1= 0,1с
Т1= 1с
-p
-3p/2
-60
-40
10
1
0,1
20
40
j, рад
L, дБ />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> Рис. 6 Рис. 7
Схема моделирования показана на рис. 8.
/>
Рис.8
Исследование устойчивости для удобства сравнения проводитсяна трех моделях, отличающихся структурой или параметрами.
2.Оптимальные линейныеСАР
Задача оптимального синтеза линейной системыавторегулирования при случайных воздействиях заключается в определении такой структурыи параметров системы, при которых ошибки минимальны. Это так называемая задача оптимальнойлинейной фильтрации. Она была решена Колмогоровым, Винером, Калманом. В постановкеВинера и Колмогорова входные процессы задаются их энергетическими спектрами. ДляСАР входными процессами являются задающее xз(t) и возмущающее xв(t) воздействияс энергетическими спектрами Sxз(w) и Sxв(w). Оптимальная частотнаяхарактеристика без учета физической реализуемости системы имеет вид:
Копт(jw) = Sxз(w)/[Sxз(w) + Sxв(w)].
Объясняется такая форма частотной характеристикипросто. В области частот, где Sxв(w) = 0 АЧХ замкнутой системы равна 1, что итребуется для безошибочного слежения. В области частот, занятых спектром возмущающеговоздействия, коэффициент передачи должен быть тем меньше, чем больше интенсивностьпомехи.
Неудобство данного подхода для синтеза САРзаключается в том, что определяется только частотная характеристика замкнутой системы,а структура системы неочевидна. В этом отношении удобнее подход Калмана, определяющийструктуру оптимальной системы. В отличие от предыдущего подхода, описывающего задающеевоздействие энергетическим спектром, в подходе Калмана задающее воздействие образуетсяпропусканием белого шума через формирующий фильтр, который строится как устройствос обратной связью. Формирующий фильтр описывается векторным дифференциальным уравнением,которое называется уравнением состояния:
dXз(t)/dt= AXз(t) + Bn(t),
где n(t) – белый шум,
Xз(t) – вектор-столбец переменных состояния, которыми обычно являются сампроцесс xз(t) и его производные,
А – матрица системы,
В – матрица управления.
Для формирования задающего воздействия к уравнениюсостояния добавляется уравнение наблюдения:
xз(t) = CXз(t),
где С – матрица наблюдения, устанавливающаясвязь процесса xз(t) с векторомпеременных состояния Xз(t).
xз(t)
Xз(t)
n(t) />/>
А />/>/>/>/>
С
1/р />
В Рис. 9
По этим уравнениям построена модель, представленнаяна рис. 9. Сформированное таким образом задающее воздействие поступает на вход САРвместе с возмущающим воздействием, которое считается белым шумом. Доказано, чтооптимальный фильтр Калмана повторяет структуру формирующего фильтра с точностьюдо матричного коэффициента передачи К(рис. 10).Элементы матрицы Ки определяют оптимальность системы.
/>/>/>
y(t)=xз(t)
С />
А />/>
1/р />/>/>
K />/>/>/>/>/>
xв(t)
xз(t) Рис. 10
Проиллюстрируем сказанное на примере системыпервого порядка. Пусть в качестве формирующего фильтра используется интегрирующаяцепь с постоянной времени Тф. Ее передаточная функция: Кф(р)= 1/(1 + рТф). Этой передаточной функции соответствует дифференциальноеуравнение в операторной форме:
(рТф + 1)xp(t) = n(t).
В обычной форме оно записывается так:
/>.
Отсюда
/>.
Модель, построенная по этому уравнению, изображенана рис. 31
/>/>
n(t) />
1/Tф />/>
1/Tф />/>
1/p
xз(t) Рис. 11
Оптимальная система представлена на рис. 12.
Оптимальное значение коэффициента передачи:
/>, (13)
где r — отношение спектральных плотностей случайных процессовn(t) и xв(t).
/>/>/>
1/Tф />/>
y(t)=x(t)
1/p />/>/>
K />/>/>
xв(t) />/>/>
xз(t) Рис. 12
Дисперсия ошибки слежения в оптимальной системе:
/>.(14)
Рассмотрим ошибки в системе, отличающейся отоптимальной. Отличие системы от оптимальной может заключаться как в отличии коэффициентаК от оптимального при оптимальной структуре системы, так и в неоптимальностисамой структуры.
Отличие коэффициента передачи К от оптимальногоприведет к увеличению ошибки. Ошибка складывается из динамической ошибки и ошибкипо возмущению. Дисперсия динамической ошибки
/>.
Спектральная плотность задающего воздействия
/>.
Дисперсия задающего воздействия
/>.
Выразим спектральную плотность Sn0процесса n(t) через дисперсию задающего воздействия: Sn0= 2Tфs2xз.
Частотная характеристика разомкнутой системыдля схемы, изображенной на рис. 32, имеет вид:
/>/>.
И соответственно,
/>./>
Тогда
/>. (15)
/>/>/>
КTф=1
КTф=5
КTф=20
S(w)
0,5
0,75
0,25
10
w, рад/с
0,1
1
S
К />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> Рис. 13
Для пояснения причины уменьшения динамическойошибки с ростом коэффициента передачи К обратимся к рис. 13, на котором представленыэнергетический спектр процесса xз(t) (пунктирная линия) и АЧХ замкнутой системы при различных значенияхКТф (сплошные линии). Видим, что чем больше КТф,тем меньше отличие коэффициента передачи замкнутой системы от 1 в области частот,занятых спектром задающего воздействия.
Дисперсия ошибки по возмущению вычисляетсяпо формуле:
/>.
Так как спектральная плотность возмущающеговоздействия в r раз меньше спектральнойплотности Sn0, то
/>
и
/>. (16)
Дисперсия ошибки по возмущению увеличиваетсяс ростом КТф, так как увеличивается площадь под АЧХ замкнутойсистемы. Зависимость дисперсии суммарной ошибки s2 = s2дин +s2воз отКТф показана на рис. 14 для различных значений r. Минимум достигается при оптимальном значениикоэффициента передачи. Следует отметить, что оптимум не очень критичен и при двукратномотличии коэффициента передачи от оптимального дисперсия ошибки увеличивается на15 – 20 %.
/>
Рис.
Рассмотрим теперь, к какому увеличению дисперсииприведет отличие структуры системы от оптимальной. Допустим, что система первогопорядка (рис. 32) осуществляет слежение за процессом xз(t), образованнымиз белого шума формирующим фильтром второго порядка с пере-даточной функцией Кф(р)= =1/(1 + рТф1)2. Подберем Тф1 так,чтобы площади под |Кф(jw)½2 дляоднозвенного и двухзвенного фильтров были одинаковыми. Тогда будет соблюдаться равенстводисперсий выходных процессов обоих фильтров при одинаковой спектральной плотностивходного белого шума. Это условие выполняется при Тф1 = Тф/2.На рис. 15 представлены АЧХ фильтров: однозвенного (сплошная линия) и двухзвенного(пунктирная линия). Из-за отличия спектров задающего воздействия изменится динамическаяошибка. Дисперсия динамической ошибки станет равной:
/>.
Дисперсия ошибки по возмущению останется прежней,так как частотная характеристика замкнутой системы не изменилась. На рис. 36 показано,во сколько раз увеличивается минимальная дисперсия суммарной ошибки в системе снеоптимальной структурой по сравнению с дисперсией ошибки в оптимальной системев зависимости от r.
0
0,25
0,75
0,5 />
S
1
0,1
wTф />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
/>
2,5
2
1,5
1
10
1
r
s2мин/s2опт />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> Рис. 15 Рис. 16
Дисперсия ошибки в оптимальной системе рассчитанапо формуле:
/>.
Исследуемая модель, содержащая формирующийфильтр и оптимальную систему, приведена на рис. 17.
/>
Рис. 17
В верхней части модели расположен формирующийфильтр: одно- и двухзвенный, а в нижней части – оптимальная система для задающеговоздействия, сформированного однозвенным фильтром.
Заключение
Формирование системавтоматического регулирования, как правило, выполняют на основе аналитических методованализа или синтеза. На этом этапе проектирования систем регулирования на основепринятые допущений составляют математическую модель системы и выбирают предварительнуюее структуру. В зависимости от типа модели (линейная или нелинейная) выбирают методрасчета для определения параметров, обеспечивающих заданные показатели устойчивости,точности и качества. После этого уточняют математическую модель и с использованиемсредств математического моделирования определяют динамические процессы в системе.При действии различных входных сигналов снимают частотные характеристики и сравниваютс расчетными. Затем окончательно устанавливают запасы устойчивости системы по фазеи модулю и находят основные показатели качества.
Далее, задаваяна модель типовые управляющие воздействия; снимают характеристики точности. На основанииматематического моделирования составляют технические требования на аппаратуру системы.Из изготовленной аппаратуры собирают регулятор и передают его на полунатурное моделирование,при котором объект регулирования набирают в виде математической модели.
Развитие теорииавтоматического регулирования на основе уравнений состояния и z-преобразований,принципа максимума и метода динамического программирования совершенствует методикупроектирования систем регулирования и позволяет создавать высокоэффективные автоматическиесистемы для самых различных отраслей народного хозяйства. Полученные таким образомсистемы автоматического регулирования обеспечивают высокое качество выпускаемойпродукции, снижают ее себестоимость и увеличивают производительность труда.
Список литературы
1. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. М.: Радиотехника,2003. 288 с.
2. Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. М.: Радиои связь, 1982. 296 с.
3. Радиоавтоматика: Учебное пособие / Под ред. В.А.Бесекерского.М.: Высшая школа, 1985.271 с.
4. Системы радиоавтоматики и их модели: Учеб. пособие / Ю.Н.Гришаев;Рязан. радиотехн. институт. Рязань, 1977. 46 с.
5. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройкичастоты. М.: Связь, 1972.448 с.
6. Синтез частотных характеристик линейных систем автоматическогорегулирования: Метод. указания / Рязан. гос. Радиотехн.акад.; Сост. Ю.Н.Гришаев.Рязань, 2000. 12 с.
автоматический регулирование линейный система