Федеральное агентство пообразованию
Государственное образовательноеучреждение высшего профессионального образования
Сибирский государственныйтехнологический университет
Факультет автоматизации иинформационных технологий
Кафедра системотехники
Курсоваяработа
Управлениединамической системой
Задачи
1. Подобратьаналитические выражения для функций Mg, Mc.
2. Найтиравновесное состояние системы.
3. Численнорешить систему уравнений моментов и управляющего устройства при начальныхусловиях и полученных выражениях />, />. Решение вести доустановления значений w и m. Проверить совпадение /> и />. Построить графики.
4. Линеаризоватьуравнение моментов в окрестности точки равновесия, численно рассчитатьлинеаризованную систему. Построить графики.
5. Замкнутьсистему. Представить разомкнутую систему в векторно-матричной форме длянепрерывного и дискретного времени. Представить замкнутую систему ввекторно-матричной форме для непрерывного и дискретного времени.
Оценить управляемостьсистемы. Составить характеристическое уравнение системы. На основе критерияРауса — Гурвица определить
1. значениекоэффициента k = k0, соответствующее пределу устойчивостилинеаризованной системы
2. Найтикорни характеристического уравнения системы и исследовать перемещение корней накомплексной плоскости при варьировании коэффициента усиления k. Построитьтраекторию движения корней.
3. Построитьпереходный процесс в системе. Уравнение решить аналитически, выполнивспектральное разложение матрицы А и использовав собственные числа и собственныевектора матрицы А.
4. Используяпреобразование Лапласа, получить передаточные функции системы по каналу u®x1. На основеz-преобразования аналогичным образом получить дискретную передаточную функциюсистемы.
5. Выписатьвыражения для амплитудно-фазовой, амплитудной, фазовой, вещественной и мнимойчастотных характеристик для системы. Для значения a = 0.9 построить годографАФЧХ и графики характеристик A(w), j(w), Re(w), Im(w).
6. Оценитьустойчивость системы по критерию Найквиста (по АФЧХ системы) и устойчивостьсистемы по критерию Михайлова, построив для этой цели годограф Михайлова.Определить запас устойчивости системы.
/>/>/>/>Реферат
/>/>/>Впояснительной записке содержится 22 листа текстовой части, 19 рисунков и 1источник данных.
/>УПРАВЛЕНИЕ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС, РАВНОВЕСНОЕСОСТОЯНИЕ, УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ.
Цельюработы является исследование поведения управляемой динамической системы,описанной системой дифференциальных уравнений. На основе исходных данныхнаходятся равновесное состояние системы, вид линеаризованной системы;исследуется соответствующая ей замкнутая система и описывается переходныйпроцесс в этой системе; определяются частотные характеристики системы иустойчивость.
/>/>/>/>/>/>/>/>Содержание
Введение
1. Исходные данные
2. Нахождение аналитическоговида функций Mc(ω) и Mg(ω,μ)
3. Нахождениеравновесного состояния системы
4. Численное нахождениефункций ω(t) и μ(t) равновесного состояния
5. Линеаризация и численноерешение разомкнутой системы
6. Замкнутая система
7. Оценка управляемости системы
8. Оценка устойчивостисистемы
9 Построение переходногопроцесса
10. Нахождениепередаточной функции для разомкнутой системы
11. Амплитудная, фазовая,вещественная, мнимая и амплитудно-фазовая частотные характеристики
12. Оценка устойчивостисистемы по критерию Найквиста, по критерию Михайлова
Заключение
Библиографический список
/>/>/>/>/>Введение
Теория управления – это наука,изучающая процессы в системах управления с информационной точки зрения, обычноабстрагируясь от физической природы объектов и управляющих устройств. Процессыв автоматических системах управления изучает теория автоматического управления.
Важнейшие принципы построениясистем автоматического управления:
· принцип обратной связи;
· принцип оптимальности;
· принцип адаптивности;
· принцип робастности.
По степени использования информацииоб объекте различают разомкнутые и замкнутые системы управления. Приразомкнутом управлении воздействие на объект осуществляется по заданнойпрограмме вне зависимости от результатов управления в предыдущий периодвремени. Замкнутые системы управления используют информацию о результатахуправления и формируют управляющее воздействие в зависимости от того, насколькодостигается цель управления.
/>/>/>/>
1 Исходные данные
Динамика объектауправления описывается следующей системой дифференциальных уравнений
а)Уравнение моментов:
/>(1)
б)Уравнение управляющего устройства:
/>
t — время,сек; J — момент инерции движущихся частей, приведенный к валу двигателя, кг*м /сек2; w — угловаяскорость двигателя, 1/сек; Mg, Mc — момент движущих сил исил сопротивления, кг*м; m — управляющее воздействие; u — задающее воздействие; />,/> — параметры управляющегоустройства
Функции Mg,Mc заданы таблицами 1 и 2, численные значения коэффициентовопределены в таблице 3
Таблица 1 –Зависимость Mg от w и mw m 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.00 53.50 55.62 57.54 59.86 61.98 64.10 10.60 46.28 48.63 50.99 53.35 55.71 58.06 21.20 36.48 39.08 41.67 44.27 46.86 49.46 31.80 24.11 26.95 29.78 32.61 35.44 38.27 42.40 9.17 12.24 15.31 18.38 21.45 24.52 53.00 0.00 0.00 0.00 1.58 4.89 8.19
Таблица 2 –Зависимость Mс от ww 0.00 10.60 21.20 31.80 42.40 53.00 Мс 10.70 13.50 20.22 30.84 45.37 63.82
Таблица 3 –Значение параметров системыJ m R1 R2 C 0.06 10.03 19.40 1.03 1.03
Начальные условия: t = 0; w = 0; m = 0; />; u = 0.5.(3)
/>/>/>
2 Нахождениеаналитического вида функций Mc(ω) и Mg(ω,μ)
/>динамическаясистема (1)
Аналитическийвид функции момента движущих сил Mc(ω) находится методом наименьших квадратов:
/>
/>
/>
/>
Аналитическийвид функции момента движущих сил Mg(ω,μ) находится методомнаименьших квадратов. Сначала по столбцам при различных μ вычисляетсяматрица ABC зависимости Mg(ω,μ) от μ. Первый столбецматрицы ABC вычисляется при μ=0 из системы:
/>
/>
/>
/>
Остальныестолбцы заполняются аналогично при μ равном 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.
Матрица ABCвыражает зависимость функции Mg(ω,μ) от ω приразличных μ. При этом функция Mg(ω,μ) имеет вид:
/>
Строкиматрицы выражают зависимость слагаемых (А(μ), В(μ) и С(μ))функции Mg(ω,μ) от μ, соответственно 1-ая строкаА(μ), 2-ая строка В(μ), 3-я строка С(μ). А(μ), В(μ) иС(μ) имеют вид:
/>
Коэффициентыпри μ вычисляются методом наименьших квадратов из матрицы ABC по строкам.Так для А(μ) по первой строке матрицы ABC из системы
/>
/>
/>
Аналогичнонаходим аналитический вид В(μ) и С(μ). Получаем:
/>
/>/>3Нахождение равновесного состояния системы
Найдемравновесное состояние системы при следующих условиях />. Подставим эти условия всистему (1), получим систему вида:
/>
Решаясистему численно, получаем равновесное состояние системы при ω0=34.54и μ0=0.5. Построим графики Mc(ω) и Mg(ω,μ)при разных μ0. На рисунке 1 жирными сплошными линиями отмеченыграфики Mc(ω) и Mg(ω,μ) при μ0=0.5
/>
Рисунок1 – Графики функций Mc(ω) и Mg(ω,μ)
/>/>4 Численноенахождение функций ω(t) и μ(t) равновесного состояния
Для тогочтобы из системы (1) найти функции ω(t) и μ(t), необходимо понизитьстепень системы, то есть избавиться от производных второго порядка. Для этоговведем функцию Z(t)= μ'(t), получим систему вида:
/>(2)
Решаясистему численно, получаем табличные значения ω(t) и μ(t), по которымстроим графики ω(t) (рисунок 2) и μ(t) (рисунок 3). По графикамхорошо видно, что ω(t) и μ(t) стремятся к равновесным значениямω0=31.948 и μ0=0.5, ω(t)→ 31.948, μ(t) →0.5,что соответствует вычислениям.
/>
Рисунок 2 –График функции ω(t)
/>
Рисунок 3 –График функции μ(t)
/>/>/>5 Линеаризация и численное решение разомкнутой системы
Линеаризуемсистему (2) в окрестности точки равновесия. Для этого выведем систему изравновесия, придав u, μ, ω малые приращения ∆u, ∆μ, ∆ω→0.Соответственно придается приращение Z, ∆Z→0.
/> /> (3)
Теперьразложим функции Mc(ω) и Mg(ω,μ) в рядыТейлора по формулам:
/>
Пренебрегаяостаточными членами Og(ω,μ) и Oc(ω),получим систему вида:
/>
Или
/>(4)
Решаясистему численно, получаем табличные значения ∆ω(t) и ∆μ(t),по которым строим графики ∆ω(t) (рисунок 4) и ∆μ(t)(рисунок 5).
/>
Рисунок 4 –График ∆ω(t)
/>
Рисунок 5 –График ∆μ(t)
/>/>6 Замкнутаясистема
Ввекторно-матричной форме линейную систему с непрерывным временем можно записатьв виде:
/>,где/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
А =(5)
Сдискретным временем:
Xk+1 = A∆Xk + B∆Uk, где
/>/>
Замкнемсистему, положив />, где k –коэффициент регулятора. Из соотношений (3) получим />,и тогда с непрерывным временем система примет вид:
/>,где
/> /> /> (6)
Сдискретным временем
/>,где
/>
/>/>/>7 Оценка управляемости системы
/>Составимматрицу К:
/>
Рангматрицы K равен 3, что равно размерности системы (5), следовательно, системауправляема.
/>/>Найдемкоэффициент k0регулятора замкнутойсистемы на границе устойчивости по критериюРауса-Гурвица.
Сначаласоставим характеристическое уравнение для системы (6).
/>
/> (7)
Найдем k покритерию Рауса-Гурвица.
ОпределительРауса-Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения иимеет свойство />. где ∆nи ∆n-1 определители матрицы, an свободный членхарактеристического уравнения.
/>
Проверим ∆1,∆2:
∆1= |41.16| = 41.16 > 0
∆2 = />
/>
Условиеграницы устойчивости, если хотя бы один определитель будет равен нулю. Пусть ∆n=0,тогда аn=0. Получим:
/>, отсюда k0=0.169.
/>/>/>8 Оценка устойчивости системы
Найдемкорни характеристического уравнения (7) λ1, λ2,λ3 при различном Коэффициенте регулятора k, k = k0*α= 0.169* α, где α=0.6..0.9.
Таблица 4 –Корни характеристического уравнения замкнутой системы α=0.6 α=0.7 α=0.8 α=0.9 λ1 -1.13 -1.30 -1.45 -1.59 λ2 -2.29 -2.47 -2.64 -2.79 λ3 -40.00 -39.99 -39.97 -39.96
Построимграфики изменения λ1, λ2, λ3.
/>
Рисунок 6 –График изменения λ1
/>
Рисунок 7 –График изменения λ2
/>
Рисунок 8 –График изменения λ3
Действительныечасти собственных чисел матрицы системы всегда меньше нуля, следовательно,система устойчива.
/>/>9 Построение переходного процесса
Построимпереходный процесс для системы (6) с начальными условиями t=0, ω(0)=1.1ω0, μ(0)=0, Z(0)=0 по формуле:
/>,где
/>, /> — правые и левыесобственные вектора системы.
Собственныечисла:
λ1= 1.59
λ2= – 2.79
λ3= –39.96
Матрицаправых собственных векторов
/>/>
Матрицалевых собственных векторов
/>/>
Получимпереходный процесс
/>
в котором
/>
Построимграфики ω(t), μ(t), Z(t)
/>
Рисунок 9 — Переходный процесс ω(t)
/>
Рисунок 10- Переходный процесс μ(t)
/>
Рисунок 11- Переходный процесс Z(t)
/>/>/>10 Нахождение передаточной функции дляразомкнутой системы
Сделаемпреобразование Лапласа над разомкнутой линейной системой, получим систему вида:
/>, или
/>
Выразим ∆μиз первого уравнения:
/>
/>
Выразим ∆ωчерез U:
/>→
/>
получиливыражение вида />, где W(p) естьпередаточная функция комплексной переменной, имеющая вид:
/>(8)
/>/>
11Амплитудная, фазовая, вещественная, мнимая и амплитудно-фазовая частотныехарактеристики
Подставим впередаточную функцию (8) в качестве комплексного аргумента iω, получим:
/>
Умножимчислитель и знаменатель правой части на число сопряженное знаменателю, получими выделим действительную и мнимую части передаточной функции Re(ω) иIm(ω):
/>
/>
Построимграфики.
/>/>
Рисунок 12- График Re(ω)Рисунок 13 — График Im(ω)
Получимамплитудную, фазовую и амплитудно-фазовую частотные характеристики системы.Построим графики функций:
/>-амплитудная характеристика (рис. 14).
/>-фазовая характеристика (рис. 15).
Для АФХЧотложим на графике по вертикальной оси значения мнимой части, а погоризонтальной действительной части, при ω=1..100 с шагом 0.001. Рисунок16.
/>/>
Рисунок 14- График A(ω) Рисунок 15 — Графики Ф(ω)
/>
Рисунок 16- Годограф АФЧХ
/>
Рисунок 17- Годограф АФЧХ
/>/>/>12 Оценка устойчивости системы по критериюНайквиста, по критерию Михайлова
Оценим устойчивостьсистемы по критерию Найквиста. Годограф АФЧХ не охватывает точку (-1,0),следовательно, система устойчива. Найдем запасы устойчивости системы по фазе ипо амплитуде.
Запасустойчивости по фазе – это угол, на который нужно повернуть годограф АФЧХ,чтобы он охватывал точку (-1,0).
Изуравнения /> получаем ω0=2.551.Вычислим значение действительной части при ω0, Re(ω0) =-0.926. Тогда запас устойчивости по фазе вычисляется как:
/>
Запасустойчивости по фазе равен 0.386 радиан.
Запасустойчивости системы по амплитуде – это расстояние от точки пересечениягодографа АФЧХ с осью OX до точки (-1,0). Из уравнения /> получаем ω0=6.509.Вычислим Re(ω0)=-0.143. Тогда запас устойчивости системы поамплитуде будет равен 1-0.143=0,857
Оценимустойчивость системы по критерию Михайлова. Подставим в характеристическоеуравнение разомкнутой системы iω вместо λ, выделим действительную имнимую часть. Построим годограф Михайлова, отложив на графике по вертикальнойоси значения мнимой части, а по горизонтальной действительной части, приω=1..100 с шагом 0.001 (рис. 18).
/>
Рисунок 18- Годограф Михайлова
/>
Рисунок 19- Годограф Михайлова
Годограф Михайлова пересекаетпоследовательно n квадрантов (n=3), следовательно, система устойчива.
/>/>/>/>Заключение
/>Результатом выполнения курсового проекта стало закрепление знанийпо дисциплине «Основы теории управления», приобретены практические навыки дляисследования поведения управляемой динамической системы, описанной системойдифференциальных уравнений. Были изучены возможности математических программныхпакетов.
/>/>/>/>/>Библиографическийсписок
/>1. Советов Б.Я. Яковлев С.А. Моделированиесистем: Учеб. для вузов – 3-е изд. – М.: Высшая школа, 2001. – 343 с.