МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙУНІВЕРСИТЕТ
Кафедра радіотехніки
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з курсу «Сигнали та процеси»
Варіант № 9
Черкаси 2010
Варіант 9
1. ТеоремаКотельникова. Побудова ортонормованого базису
ТеоремаКотельникова (уангломовній літературі — теорема Найквіста — Шенона) свідчить, що, якщо аналоговийсигнал /> має обмежений спектр,то він може бути відновлений однозначно і без втрат по своїх дискретнихвідліках, узятих з частотою більш подвоєної максимальної частоти спектру />:
/>
де /> -верхня частота в спектрі, або (формулюючи по-іншому) по відліках, узятих зперіодом />, частіше за напівперіод максимальної частоти спектру />
/>Пояснення:
Такетрактування розглядає ідеальний випадок, коли сигнал почався нескінченно давноі ніколи не закінчиться, а також не має в тимчасовій характеристиці точокрозриву. Саме це має на увазі поняття «спектр, обмежений частотою />».
Зрозуміло, реальні сигнали (наприклад, звук на цифровому носієві) неволодіють такими властивостями, оскільки вони кінцеві за часом і, зазвичай,мають в тимчасовій характеристиці розриви. Відповідно, їх спектр безконечний. Втакому разі повне відновлення сигналу неможливе і з теореми Котельниковавитікають 2 слідства:
1. Будь-якийаналоговий сигнал може бути відновлений з якою завгодно точністю по своїхдискретних відліках, узятих з частотою
/>
де /> - максимальна частота, якою обмежений спектр реальногосигналу.
2. Якщо максимальна частота в сигналі перевищує половину частотипереривання, то способи відновити сигнал з дискретного в аналоговий безспотворень не існує.
Кажучи ширше, теорема Котельникова стверджує, що безперервний сигнал /> можнапредставити у вигляді інтерполяційного ряду
/>
де /> - Інтервал дискретизації задовольняєобмеженням /> Миттєві значення даного ряду є дискретнівідліки сигналу />.
Згодомбуло запропоновано велике число різних способів апроксимації сигналів зобмеженим спектром, узагальнювальних теорему відліків. Так, замістькардинального ряду по sinc-функціям, що є характеристичними функціямипрямокутних імпульсів, можна використовувати ряди по конечно абобесконечнократним сверткам sinc-функцій.
Наприклад,справедливо наступне узагальнення ряду Котельникова безперервної функції /> зфінітним спектром /> на основі перетворень Фур'єатомарних функцій:
/>
де параметри /> задовольняютьнерівності />, а інтервал дискретизації
/>
2. Знеперервного сигналу s(t) = 10cos(2π800t)В беруться ідеальні відліки зчастотою fВ = 400Гц. Отримані дискретні сигнали пропускаються черезідеальний ФНЧ з частотою зрізу 0,4fВ. Необхідно визначити сигнал, відновленийза допомогою фільтрації
/>
Схема включенняФНЧ (рис. 1).
/>
Рисунок 1 — Сигнал s(t) = 10cos(2π800t) В
/>
Рисунок 2 – Гармоніка
3. Баланснаамплітудна модуляція
Уамплітудно-модульованому (АМ) сигналі:
/>
значна доля потужностізосереджена в несучому коливанні />
Для ефективнішоговикористання потужності передавача можна формувати Ам-сигнали з пригніченимнесучим коливанням, реалізовуючи так звану балансну амплітудну модуляцію (рис.3).
/>
Рис. 3
ОднотональнийАм-сигнал з балансною модуляцією має вигляд:
/>
Такий сигнал зфізичної точки зору є биттям двох гармонійних сигналів з однаковими амплітудамиі частотами /> /> і /> Під час переходу тієї, що огинаєбиття через нуль фаза високочастотного заповнення стрибком змінюється на 180о,оскільки функція /> має різні знаки справа і злівавід нуля. Здійснення балансної модуляції, як і зворотного процесу демодуляції(детектування), технічно складніше, ніж при звичайній амплітудній модуляції.
4. Заданіпараметри коливання з односмуговою АМ: А0= 25 В, Е = 1,5 В, θ0=π/4, γ = π/3, f0= 20 кГц, F = 4 кГц. Записати вираздля аналітичного сигналу і комплексної обвідної заданого коливання
uΩ(t)=UΩsinΩt
u(t) = Uωsinω0t + m Uω/2 sin(ω0+Ω) t+ m Uω/2 sin(ω0 — Ω) t
u(t) = (Uω+ UΩ sinΩt) sinω0t
u(t) = (А0+ Еsin(f0t+ θ0) )sin (F t + γ )=(25 + 1,5sin(20 t + π/4) )sin (2 t + π/3).