Міністерство освіти і наукиУкраїни
Житомирський державнийтехнологічний університет
Кафедра А і КТ
Курсовий проект
„Система прямого регулювання тиску газу з І-регулятором”
Теорія автоматичногокерування
Виконав В. А. Клим
Перевірив С. С. Свістельник
Житомир 2007
Зміст
1. Завдання на курсовий проект
2. Аналіз і синтез лінійноїнеперервної САК
2.1 Структурна схема САК
2.2Визначення передаточної функції розімкнутої та замкнутої САК відносно вхідної
2.3Визначення стійкості системи по критерію Гурвіца
2.4Побудова амплітудно-фазової частотної характеристики (АФЧХ) та визначення стійкостіСАК за критерієм Найквіста. Дослідження системи методом D – розбиття
2.5Побудова логарифмічної частотної характеристики САК та визначення запасів стійкості
2.6Використовуючи логарифмічні частотні характеристики, виконання корекції САК вобласті середніх частот з метою отримання заданих запасів стійкості по фазі таамплітуді
2.7Схема корегуючого пристрою та розрахунок його елементів
2.8Розрахунок та побудова графіку перехідної характеристики скорегованої САК
2.9Для заданого типу вхідної дії розрахунок та побудова графіку усталеної помилкискорегованої САК
2.10Оцінка якості скорегованої САК
2.11Моделювання системи в програмному модулі Simulink
3.Аналіз дискретної САК (ДСАК)
3.1Визначення періоду дискретизації імпульсного елемента
3.2Визначення передаточної функції розімкнутої та замкнутої ДСАК відносно вхідноїдії
3.3Визначення стійкості отриманої системи по критерію Гурвіца
3.4Побудова логарифмічної псевдочастотної характеристики ДСАК та визначеннязапасів стійкості
3.5Розрахунок та побудова графіку перехідної характеристики ДСАК
3.6Для заданого типу вхідної дії розрахунок та побудова графіку усталеної помилкиДСАК
3.7Оцінка якості ДСАК
Список літератури
1. Завданняна курсовий проект
Система прямого регулювання тиску газу з І-регулятором
Системарегулювання описується наступними рівняннями:
Регулятор:/>
/>, де
Р3 — заданезначення тиску
Р- тиск газу(величина, що регулюється);
DР — відхилення тиску;
m — переміщеннярегулюючого клапану;
Об'єкткерування: />
¦ — еквівалентне збурення
2. Аналіз і синтез лінійної неперервної САК
2.1 Структурнасхема САК
Складаємо структурну схему САК
/>
Рис. 1.Структурна схема досліджуваної САК в загальному випадку
Де:
/>
2.2 Визначення передаточної функціїрозімкнутої та замкнутої САК відносно вхідної
Визначимопередатні функції розімкненої та замкненої САК відносно вхідної:
а) передатнуфункцію розімкненої САК визначимо як добуток передатних функцій усіх ланцюгівСАК, оскільки маємо послідовне з’єднання ланцюгів. Таким чином
w(s)=wок(s)·wр(s)=/>,
w(s) = />.
б) передатнуфункцію замкненої САК отримаємо за формулою
Ф(s) = />:
Ф(s) = />.
2.3 Визначення стійкості системи покритерію Гурвіца
Визначимостійкість системи по критерію Гурвіца:
Знаючи перехідну функцію, знайдемо характеристичне рівняннясистеми:
D(s)=/>.
На основі отриманих коефіцієнтів характеристичного рівнянняпобудуємо головний визначник Гурвіца:
D = />.
За критерієм Гурвіца для того, щоб система автоматичногокерування була стійкою, необхідно та достатньо, щоб при а0>0 всівизначники Гурвіца були додатними. Умовою стійкості для системи третього порядкубудуть: а1·a2>a0·a3.
В даному випадку: а0 = 0,075 > 0; а1·a2= 1,55·1 = 1,55; a0·a3 = 0,075·6 =0,45;
1,55>0,45. Умова стійкості системивиконуються, отже за критерієм Гурвіца САК стійка.
2.4 Побудова амплітудно-фазовоїчастотної характеристики (АФЧХ) та визначення стійкості САК за критеріємНайквіста. Дослідження системи методом D – розбиття
Побудова амплітудно-фазової частотної характеристики (АФЧХ)та визначення стійкості САК за критерієм Найквіста. Дослідження системи методомD – розбиття
а). Побудуємо амплітудно-частотну характеристику в визначимостійкість системи по критерію Найквіста:
1) запишемо перехідну характеристику розімкнутої САК w(s)=/>.
2) в рівнянні перехідної функції проведемо заміну s→j·ωта проведемо всі можливі перетворення та спрощення, тоді
w(j·ω) = /> =
= />=
/>.
Дійсна частина цього виразу
Re(w(j·ω)) = /> =Х(ω),
уявна частина – Im(w(j·ω)) = /> = У(ω).
3) Побудуємо на комплексній площині (Х0У) криву Найквіста тазробимо висновок про стійкість системи:
У(ω) = 0 → ω = 0 → Х(0) = 0;
У(ω) = 0 → ω = />=3,65 →
Х(14) = /> = -0,273.
По цим точкам побудуємо криву Найквіста (рис. 5).
Критерій Найквіста: Для того щоб замкнута система буластійкою необхідно, щоб годограф розімкненої системи починаючись на дійсній вісіі рухаючись проти годинникової стрілки (при змінній частоті від 0 до ∞) неохоплював точку (-1, j0).
/>
Рис.2. Крива Найквіста.
Замкнена САК охоплює точку (-1, j0), що видно на рис. 5.Отже, САК стійка.
Визначемо запаси стійкості системи:
h=1-0,273=0,727,
j=23°.
б). Дослідження системи методом D – розбиття
За даними, що були отримані в пункті 3.3 знайдемо критичнийкоефіцієнт підсилення системи kкр:
1,55 ≥ k·0,075
k ≤ 20,67
k =20,67 (теоретично розрахований коефіцієнт підсилення).
Використовуючи методику D-розбиття та за допомогою програмиMathCad побудуємо межу D-розбиття, обравши за параметр дослідження коефіцієнтпідсилення системи.
Характеристичний поліном САК, враховуючи, що параметр, якийдосліджується, коефіцієнт підсилення:
D(p) =/>.
Звідси k(p) = /> іk(ωj) = />
Побудуємо область D-розбиття, знаючи, що Re(k) = />, Im(k) =/> (див. рис. 6).
/>
Рис. 3. Область стійкості за параметром k
На побудованій області D- розбиття можна визначити коефіцієнт підсилення (точка перетину області здійсною віссю).
2.5 Побудова логарифмічної частотноїхарактеристики САК та визначення запасів стійкості
1) Знаючиперехідну характеристику розімкненої САК w(s)=/>,
знайдемо нульову контрольну точку: L0= 20lgk =20lg6 = 15,6 дБ.
2) Визначимо спряжені частоти: ω1 = /> = 20с-1; ω2= /> =0,67с-1.
3) Враховуючи, що до складу системи входить пропорційна,інтегруюча та дві аперіодичні ланки першого порядку ЛАХ і ЛФХ для даної САК(рис. 7).
/>
Рис. 4. Відповідно логарифмічно амплітудна та логарифмічночастотна характеристики системи автоматичного керування.
Як видно з графіків, оскільки ЛАХ перетинає вісь 0ω піднахилом -40 (раніше за ЛФХ), а ЛФХ перетинає пряму –π, система є стійкою.
Знайдемо запаси стійкості системи за ЛАХ та ЛФХ:
· по амплітуді:
ΔL = 20lg (w(j*ωс)),
де ωс – частота, за якої φ(ωc)= -π. З графіка видна ωc = 4 (див. рис.7). Тоді ΔL =20lg (w(j*ωс)) = 20lg (w(j*4)) = -11,8.
Порівнюємо з значенням визначеним критерієм Найквіста h=20lg(|1/Wcp|) = =20lg(|1/1,29|)= 10,7 з h=10 знайденому по рис. 7.
· по фазі:
Δφ = π-Arg(w(j*ωз)),
де ωз – частота зрізу, коли L(ωз)= 1, тобто
ωз= 1,8. Тоді Δφ = arg(w(j*1,8)) = -35°.
2.6 Використовуючи логарифмічні частотніхарактеристики, виконання корекції САК в області середніх частот з метою отриманнязаданих запасів стійкості по фазі та амплітуді
Корекцію системипроведемо при заданих якісних параметрах (час регулювання tp = 4,7сперерегулювання δ = 30%). Побудуємо ЛАХ бажаної роботи системи такорегуючого пристрою (рис. 8).
/>
Рис. 5. ЛАХзаданої системи (Lз), бажаної (Lб) та коректую чого пристрою (Lк)
Складемопередаточні характеристики для бажаної та корегуючої систем:
wб(s)= /> Враховуючи, що
wб(s)= wз(s)·wк(s),
отримаємо wк(s)= />.
2.7 Схема корегуючого пристрою тарозрахунок його елементів
Приведемо схемукорегуючого пристрою, обравши його з довідника. Згідно з наявною ЛАХ, щоприведена вище, найбільше нашим вимогам задовольняє схема №33 корегуючогопристрою (рис. 6).
/> />
а) б)
Рис. 6. Схемикорегуючого пристрою та відповідні фрагменти ЛАХ: а) фрагмент ЛАХ, що відповідаєсхемі №33; б)схема №33 (К).
Розрахуємо коженз елементів схем:
Для схеми №33
1) L0=/>,L¥=/>.
Оберемо ємностіконденсаторів: С1=100мкФ, С2=100мкФ та значення опору R2=1кОм.
2) Т1= />Þ/>.
3) T2= />Þ/>.
4) />
Оберемопідсилювач з таким коефіцієнтом підсилення: 20lgk=37, k=10(37/20)=70,8 (П).
Підберемо з рядуопорів Е24 відповідні значення опорів: R1 = 0,04кОм, R2 = 1 кОм, R3 = 0,5кОм,R4 = 1,5 кОм.
2.8Розрахунок та побудова графіку перехідної характеристики скорегованої САК
Визначимоаналітичний вираз для перехідної характеристики замкнутої скоректованої системиза передаточною функцією розімкнутої САК при одиничному ступінчатому вхідномусигналі та побудуємо графік.
Передатна функціяw(s) = />.
Передатна функціязамкненої системи:
/>
Перехіднахарактеристика замкненої системи за вхідним сигналом:
H(s)=G(s)*Ф(s),
де G(s) = /> - одиничний ступінчатийвхідний сигнал.
H(s) = />.
Графік перехідноїхарактеристики САК зображений на рис. 10.
/>
Рис. 7. Перехіднахарактеристика САКк
2.9Для заданого типу збурення розрахунок та побудова графіку усталеної помилкискорегованої САК
Дослідимоточність замкнутої системи за передаточною функцією розімкнутої САК. Придослідженні визначимо три коефіцієнти помилок С0, С1, С2, використовуючипередаточну функцію замкнутої системи за похибкою:
Фx(s) = />
Тоді
_/> />
/> />
/>
Тобто С0 = 0, С1=0,17, С2 = -0,017.
Побудуємо графікипомилок в усталеному режимі при:
— одиничному ступінчатомусигналі G1(t) = 1 (G1(s) = 1/s) (рис. 11).
/> - помилка від вхідної керуючої дії.
/> - усталена похибка.
/>
Рис. 8. Графікпохибки САК
при сигналі G2(t)= 0.1t (рис. 12),
/> - помилка від вхідної керуючої дії.
/> - усталена похибка.
/>
Рис. 9. Графікусталеної похибки САК
2.10 Оцінка якості скорегованої САК
Оцінимо якістьперехідних процесів у заданій системі:
— перерегулюванняδ – відносне максимальне відхилення перехідної характеристики відусталеного значення вихідної координати, виражене у відсотках:
δ = />.
(hmax,hуст – відповідно максимальне та усталене значення перехідноїхарактеристики для досліджуваної системи побачимо на графіку (рис.10))
δ = />.
— час регулювання(час перехідного процесу) tp – мінімальний час, після сплину якогорегульована координата буде залишатися близькою до усталеного значення іззаданою точністю />.
/>, тоді tp = 4,5 (с).
— число коливаньn, яке має перехідна характеристика h(t) за час регулювання tp:
n = 1.
Висновок: проведенийаналіз системи показав, що вона стійка, тому на етапі корекції було проведенозбільшення запасів на 10% та покращення якісних параметрів.
2.11 Моделювання системи впрограмному модулі Simulink
Змоделюємосистему в програмному модулі Simulink – зберемо структурну схему отриманоїскоректованої системи (рис. 13).
/>
Рис. 10. Модельскоректованої САК в програмному модулі Simulink
1) Реакціясистеми на одиничний ступінчатий сигнал (рис. 14).
/>
Рис. 11. Реакціясистеми на одиничний вхідний сигнал
Порівнюючиреакцію САК, отриману за допомогою моделювання (рис. 14), з теоретичноотриманою перехідною характеристикою (рис. 10) в пункті 3.8 виявили, що вониспівпали (розрахунки в обох випадках проведені правильно).
1) Побудоваграфіка вихідної координати при заданій вхідній дії:
g(t) = 0,1t (рис. 16).
Змоделюємосистему з заданою вхідною дією в програмному модулі Simulink (рис. 15).
/>
Рис. 12. МодельСАК з заданою вхідною дією
Реакція системина вхідний сигнал (рис. 16).
/>
Рис. 13. РеакціяСАК на задану вхідну дію
З графіків видно,що робота системи залежить від вхідного сигналу.
3. Аналіз дискретної САК (ДСАК)
В основі аналізу дискретної САК візьмемо лінійну неперервнуСАК після корекції з передаточною характеристикою w(s) = />.
3.1Визначення періоду дискретизації імпульсного елемента
В якостіформоутворювача сигналу приймемо екстраполятор нульового порядку.
ωз =30 с-1 – максимальна частота в спектрі вхідного сигналу.
За теоремою Котельниковадля нормальної роботи системи необхідно, щоб виконувалася умова Tk =/> - період дискретизації,відповідно ωк ≥ 2ωз – частотадискретизації. Оберемо ωк ≥ 2·30 = 60 с-1,тоді
Tk ≤/>(с).
Виберемо періоддискретизації Tk = 0,002 с, ωк = 1571 с-1.
3.2 Визначення передаточної функціїрозімкнутої та замкнутої ДСАК відносно вхідної дії
w(z) = />.
/>
Спочаткурозкладемо функцію на простіші дроби:
/>.
Виконаємоz-перетворення Лапласа отриманої функції:
/>.
/>
Передатна функціязамкненої ДСАК:
/>.
3.3Визначення стійкості отриманої системи по критерію Гурвіца
Знаючи перехідну функцію, знайдемо характеристичне рівняннясистеми: D(s)=/>.
Виконаємо білінійне перетворення
/>.
Отримаємо наступне характеристичне рівняння:
/>
На основі отриманих коефіцієнтів характеристичного рівнянняпобудуємо головний визначник Гурвіца:
D = />.
За критерієм Гурвіца для того, щоб система автоматичногокерування була стійкою, необхідно та достатньо, щоб при а0>0 всівизначники Гурвіца були додатними.
а0=7,529>0, />
Умова стійкості системи виконуються, отже за критеріємГурвіца САК стійка.
3.4 Побудова логарифмічноїпсевдочастотної характеристики ДСАК та визначення запасів стійкості
Для побудови логарифмічної псевдочастотної характеристикивикористаємо передаточну функцію розімкненої системи після корекції тавиконання z- перетворення:
/>
Виконаємо
/>,
де l — абсолютна псевдочастота, с-1.
/>
Знайдемо нульову контрольну точку: L0= 20lgk =20lg5,455 = 4,74 дБ.
Визначимо спряжені частоти:
λ1 = /> =40с-1, λ2 = /> =22с-1,
λ3 = /> =555,6с-1, λ4 = /> =0,05с-1.
Враховуючи, що до складу системи входить пропорційна,інтегруюча, дві аперіодичні ланки першого порядку та дві форсуючі ланкиотримуємо ЛАХ і ЛФХ для даної САК (рис. 17).
/>
Рис. 14.Логарифмічні частотні характеристики системи.
Знайдемо запаси стійкості системи за ЛАХ та ЛФХ:
· по амплітуді запас стійкості h=µ (DL), тому що ЛФХ не перетинає межу -p.
· по фазі:
Δφ = π-Arg(w(j*ωз)),
де ωз – частота зрізу, коли L(ωз)= 1, тобто
ωз= 30. Тоді Δφ = arg(w(j*8) = -85°.
3.5 Розрахунок та побудова графіку перехідноїхарактеристики ДСАК
Для побудови перехідної характеристики ДСАК використаємоперехідну характеристику замкненої системи отриману раніше.
/>
Розрахуємо перехіднухарактеристику
ДЦСАК Y(z) =Ф(z)*G(z),
де G(z) = /> - зображення вхідногоодиничного сигналу. Тобто
/>.
Побудуємо графікперехідного процесу, попередньо розклавши перехідні характеристики в ряд Лорана:
_/>
/>
/>
/>
_/>
/>
_/>
/>
_/>
/>
_/>
/>
/>
Тобто С0=0,0005,C1 = 0,00075, C2 = 0,00486, C3 = 0,02112, C4= 0,076, C5 = 0,193. За цими даними побудуємо графік — гістограмуперехідного процесу (рис. 18).
/>
Рис. 15.Перехідна характеристика досліджуваної ДСАК
Провівширозрахунки та побудову за допомогою Math Lab отримали такі результати:
/>/>
Отриманіперехідні характеристики в обох випадках не співпадають, що означає неточністьрозрахунків, а також специфіку розрахунку передаточних відношень в Math Lab.
3.6Для заданого типу вхідної дії розрахунок та побудова графіку усталеної помилкиДСАК
Дослідимоточність замкнутої системи за передаточною функцією розімкнутої САК. Придослідженні визначимо три коефіцієнти помилок С0, С1, С2, використовуючипередаточну функцію замкнутої системи за похибкою:
Фx(z) = />.
Виконаємо заміну/>, тоді отримаємо такийвираз:
/>.
Для побудовиграфіку усталеної похибки визначимо коефіцієнти С0 та С1 –коефіцієнти похибок, які є коефіцієнтами розкладу передаточної функції системиза похибкою Фx(z) в ряд Маклорена за степенями s, тобто
/>, в нашому випадку:
/>
/>
В загальномувипадку при вхідній дії, що повільно змінюється, усталену похибку системи можнапредставити у вигляді ряду
/>
В нашому випадкупри g(n)=20+40n+5n2 усталена похибка має вигляд:
/>
/>
Рис. 16. Графікусталеної похибки ДСАК.
3.7Оцінка якості ДСАК
Для оцінки якостіДСАК розрахуємо та побудуємо перехідну характеристику.
/>
/>
/>
/>
Рис. 17.Перехідна характеристика ДСАК
Оцінимо якістьперехідних процесів у заданій системі:
— перерегулюванняδ – відносне максимальне відхилення перехідної характеристики відусталеного значення вихідної координати, виражене у відсотках:
δ = />.
(hmax,hуст – відповідно максимальне та усталене значення перехідноїхарактеристики для досліджуваної системи побачимо на графіку (рис.20))
δ = />.
— час регулювання(час перехідного процесу) tp – мінімальний час, після сплину якогорегульована координата буде залишатися близькою до усталеного значення іззаданою точністю />.
/>, тоді tp = 430(с).
— число коливаньn, яке має перехідна характеристика h(t) за час регулювання tp:
n = 1.
Висновок
Провівши аналізДСАК можна сказати, що отримана система після квантування є стійкою, коефіцієнтпідсилення співпадає з коефіцієнтом підсилення лінійної САК; отриманірезультати вказують на те, що аналіз проведений правильно, хоча деякі якісніпараметри ДСАК відрізняються від лінійної САК, це вказує на те, що деякаінформація про систему під час квантування все ж втратилась.
Списоклітератури
СамотокінБ. Б. Лекції зтеорії автоматичного керування. –Житомир ЖІТІ, 2001. -504с.
Топчеев Ю. И. Атлас дляпроектирования систем автоматического регулирования. –Москва „Машиностроение”,1989. -752с.
Бесекерский В. А., Попов Е. П., Теория систем автоматическогорегулирования, 3 изд., М., 1975.