Министерствообразования Российской Федерации
Тульскийгосударственный университет
КАФЕДРААВТОМАТИКИ И ТЕЛЕМЕХАНИКИ
Системаавтоматического регулирования напряжения сварочной дуги.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к курсовойработе по курсу
«Моделированиесистем управления»
Выполнилстудент группы 220121
_________Батищев Д.В.
(подпись)
Проверил
_________Ермаков А.С.
(подпись)
Тула 2004
Аннотация
В данной курсовой работерассмотрен принцип действия системы автоматического управления напряжениясварочной дуги, построена математическая модель данной системы. Приведенысигнальные графы системы, структурная схема, определены передаточные функциисистемы.
Этаработа предназначена для закрепления материала по курсу «Моделированиесистем управления».
Пояснительнаязаписка содержит 39 листов и 21 рисунок.
Содержание
Введение
1. Принцип действия системы автоматического регулирования напряжениясварочной дуги
2. Функциональная схема САР напряжения сварочной дуги.
3. Сигнальный граф САР напряжения сварочной дуги.
4. Система дифференциальных уравнений.
5. Линеаризация системы дифференциальных уравнений.
6. Взвешенный сигнальный граф и структурная схема линейнойматематической модели САР.
7. Определение передаточных функций САР напряжения сварочнойдуги.
Заключение.
Список использованной литературы.
Введение
Современные техническиеустройства чрезвычайно многообразны. Они предназначены для решения всевозможныхзадач различными методами, причем при конструировании каждого устройствапредусматривается возможность воздействия на его работу для получения оптимальныхрезультатов.
Воздействия необходимыпрежде всего для сокращения затрат времени, материалов, энергии и т.п. Обычнокаждое техническое устройство создается не для решения одной строгоопределенной задачи, а рассчитано на ряд иногда значительно различающихся междусобой задач. Наконец, на каждое техническое устройство влияют различные внешниефакторы. Поэтому, если при любом вероятном сочетании внешних условий мы хотимполучить любой из возможных результатов работы устройства, в его поведениянужно что-то изменять или в некоторые моменты времени, или даже непрерывно,т.е. осуществлять управление и вне операции, позволяющие нужным образомизменять поведение технических устройств, достигается операциями управления.
Увеличение мощности ибыстродействия машин и механизмов, повышение требований к точности различныхпроцессов и появление новых, более сложных процессов приводит к тому, чточеловек становится не в состоянии управлять или с необходимой быстротой иточностью. Таким образом, в ходе технического процесса возникла потребность исключитьчеловека из операции управления для более совершенного их выполнения.
Устройство, выполняющееоперации управления без непосредственного и непрерывного участия человека,называется автоматическим управляющим устройством. В некоторых автоматическихустройствах требуется поддерживать постоянным значение какой-либо величины. Этавеличина называется регулируемой величиной.
Операция поддержанияравенства регулируемой величины ее установленному значению называется регулированием.Поэтому автоматические системы, осуществляющие эту операцию безнепосредственного участия человека, называются системами автоматическогорегулирования.
Ниже рассматриваютсясистема автоматического регулирования сварочной дуги, регулируемой величиной вкоторой является напряжение сварочной дуги.
1. Принцип действия системыавтоматического регулирования сварочной дуги
Исследуемая САР принципиальная схема которойизображена на рисунке 1 предназначена для обеспечения непрерывнойавтоматизированной сварки подаваемых на конвейере деталей. САР регулирует величинунапряжения сварочной дуги. Сигналом задания является напряжение, подаваемое сделителя напряжения на одну из обмоток возбуждения генератора. Основнымивозмущающимися воздействиями в данной САР являются:
- напряжение сварочноготрансформатора Uc;
- напряжение, подаваемое на обмоткувозбуждения генератора Uв;
- напряжение подаваемое на обмоткувозбуждения двигателя Uвд;
- скорость вращения приводагенератора./>;
/>
Рисунок 1 — Принципиальнаясхема САР напряжения сварочной дуги
Сигналом рассогласования в данной САР являетсяразность магнитных потоков, создаваемых обмотками задающего устройства иустройства обеспечивающего обратную связь в системе: Ф2+Ф1.
САР состоит из делителя напряжения с подключенной кнему одной из 3-х обмоток возбуждения генератора, исполнительного двигателя, редуктора,роликового привода электрода, сварочного трансформатора, ко вторичной обмоткекоторого последовательно подключены дроссель и электроды сварочного устройства,а также в состав САР входит диодный мост, на вход которого подключеныэлектроды, а на выход одна из обмоток возбуждения сварочного генератора.
Делитель напряжения выполняет функцию задающегоустройства, с него подается задающий сигнал.
Сварочный генератор является одновременно сравнивающими усилительным устройством. Он имеет 3-и обмотки возбуждения. Две из них служатдля образования сигнала рассогласования (Ф2+Ф1), а третья необходима длясоздания на выходных клеммах Еэ даже при нулевом сигнале рассогласования, т.к.в системе должна обеспечиваться непрерывная подача одного электрода сварочногоустройства. Таким образом, на величину Еэ влияет суммарный магнитный поток
Ф*=Ф2+Ф1
Якорь сварочного генератора приводится в действиевнешним приводом, угловая скорость вращения которого -/>.
Двигатель выполняет роль исполнительного устройства.Его обмотка возбуждения питается напряжением Uвд, анапряжение на обмотку управления подаётся с сварочного генератора. Это величинаЕэ.
Роликовый механизм привода электрода, соединённый сдвигателем через редуктор, также является исполнительным устройством и служитдля непрерывной подачи электрода.
Объектом управления в данной САР является сварочныйаппарат, состоящий из сварочного трансформатора с подключенными к нему сварочнымиэлектродами. Один электрод непрерывно подаётся к месту сварки описанным вышеприводом, так как в процессе сварки происходит перенос вещества с конца этогоэлектрода на свариваемые детали. Вторым электродом служат сами детали, подаваемыена конвеере. Сварочный трансформатор служит для создания напряжения наэлектродах. В его цепь включен также дроссель, служащий для сглаживания амплитудыколебаний тока в цепи сварки.
Диодный мост, на вход которого подается напряжениесварочной дуги Uд, является выпрямительным устройством. С его выходаподается напряжение на потенциометр который является корректирующим устройством.С его выхода питается индуктивная обмотка возбуждения генератора служащая длясоздания сигнала рассогласования. Эта катушка создает магнитный поток Ф2.
Функциональная схема исследуемой САР с указанием еёотдельных элементов, их технической сущности и роли, выполняемой этими элементами,изображена на рис.2.
Данная САР находится в состоянии равновесия, еслисигнал рассогласования равен нулю. При этом на работу генератора оказываетвлияние только магнитный поток Фв. Таким образом осуществляется подачаэлектрода с постоянной скоростью Vn, равной скорости его сгорания V3. Расстояниемежду электродами остаётся постоянным. Сопротивление сварочной дуги Rqтоже постоянно. Напряжение дуги Uq не изменяется.
Если произошло скачкообразное увеличение сигнала заданияU3, то увеличивается магнитный поток Ф1. При этомсуммарный поток, равный Ф*=Ф2+Ф1 уменьшается. Скорость подачи электрода Vn,уменьшается, но скорость его сгорания V3 сгорания V3 вэтот момент остаётся прежней, поэтому расстояние между электродамиувеличивается. Растет сопротивление сварочной дуги Rq, напряжение Uqувеличивается. При этом увеличивается сигнал обратной связи UR.Магнитный поток Ф2 достигает величины Ф1. Сигнал рассогласования становитсяравным нулю. Скорость подачи электрода увеличивается до величены V3.Расстояние между электродами становится неизменным, но уже на другом уровне. ВеличинаUq увеличилась.
Пусть теперь произошло увеличение напряжения питаниясварочного трансформатора Uс. ЭДС во вторичной обмотке трансформатора Ет увеличивается.Возрастает ток Iq сварочной цепи. Напряжение сварочной дуги Uqувеличивается. Возрастает сигнал обратной связи UR. Рассуждаякак и ранее, заметим, что скорость подачи электрода Vn увеличится. СопротивлениеRq уменьшится и напряжение Uq упадет допрежнего уровня.
2.Функциональная схема САР напряжения сварочной дуги
На основе вышеизложенногоможно построить функциональную схему САР напряжение сварочной дуги (Рисунок 2.)
Используемые в схемеобозначения:
ЗУ – задающее устройство
СУ – сравнивающееустройствоУУ – усиливающее устройство
ИУ – исполнительноеустройство
ОУ – объект управления
ИзУ – измерительноеустройство.
/>
Рисунок 2 — Функциональная схема САР напряжения сварочной дуги
3. Сигнальный граф САР напряжениясварочной дуги
/>
Рисунок 3 — Сигнальныйграф САР напряжения сварочной дуги
Для исследования САРнеобходимо уметь предсказать изменение во времени любой величины, действующей всистеме, при заданной форме изменения той или иной входной величины –управляющего или возмущающего воздействия. Возможность такого предсказания даетматематическая модель САР.
Вид математической моделиСАР (системы ее дифференциальных уравнений) зависит прежде всего от того,совместное изменение во времени каких переменных отражает данная модель икакова качественная структура взаимосвязи переменных. Структура взаимосвязи переменныхв системе отражает сигнальный граф САР.
Сигнальный граф являетсянаправленным графом и как таковой представляет собой совокупность некоторогомножества элементов (множество вершин) и некоторого множества упорядоченных парэтих элементов (множества направленных ребер). В сигнальном графе рольмножества вершин играет множество сигналов в системе, совместное изменениекоторых во времени описывается данной математической моделью.
Ребра сигнального графа,входящие в некоторую вершину, указывают совокупность значений или законов измеренияво времен каких сигналов полностью определяет значение или закон изменения вовремени данного сигнала, соответствующего данной вершине.
Сигнальный граф полностьюопределяет структуру системы дифференциальных уравнений, входящих вматематическую модель системы. Множество вершин сигнального графа задаетмножество переменных, совместное изменение которых описывается данной моделью.Из них вершины, имеющие хотя бы по одному входящему ребру, соответствуютпеременным, функции измерения которых во времени являются решениями системыдифференциальных уравнений (выходам модели). Такие вершины называютсявнутренними вершинами сигнального графа. Число внутренних вершин равно общемучислу уравнений в системе.
Вершины, имеющие толькоисходящие ребра и не имеющие входящих ребер, соответствуют переменным, черезкоторые передается влияние внешней среды на поведение САУ, т.е. задающему ивозмущающим воздействиям (входам модели). Такие вершины сигнального графа называютсявнешними.
Математическая модель САУпризвана прежде всего устанавливать зависимость изменения во времениуправляемой величины (Qn– в случае САР температуры печи) от изменения во временивнешних воздействий. Число внешних вершин сигнального графа модели равно числувнешних воздействий, поэтому их число является заданным.
Внешние вершины сигнального графа представляют собой следующие сигналы:
Uз [B] – сигнал задания;
Uс [B] – напряжение сети трансформатора (питание дуги);
/> – угловая скорость вращениягенератора;
Uв [B] – напряжение приложенное к обмотке возбуждения двигателя;
Х [м] – параметр, характеризующийположение ручки потенциометра Rp1.
В минимальном вариантесигнальный граф математической модели САР содержит только одну внутреннюювершину, соответствующую управляемой переменной (напряжению дуги). Однако,обычно разработка математической модели САУ начинается с построения наиболее подробногосигнального графа, множество внутренних вершин которого включает в себя какможно больше промежуточных переменных. Затем производится исключение мнимыхвнутренних вершин с помощью специальных правил преобразования сигнальныхграфов.
Внутренние вершины сигнального графа представляют собой следующиесигналы:
U1- напряжение возникающее приперемещении ручки потенциометра Rр1.
I1- ток возникающий в обмоткевозбуждения генератора (1), зависящий от значения величины напряжения U1.
Ф1- магнитный потоквозникающий в обмотке возбуждения генератора (1), пропорционально току I1.
Ф*- суммарный магнитныйпоток, зависящий от значений магнитных потоков Ф1 и Ф2.
UR- напряжение вырабатываемое генератором.
Iдв- ток протикающий через обмоткуякоря двигателя, пропорционально напряжению вырабатываемого на генераторе.
М – вращяющий моментдвигателя, созданный взаимодействием Iдв и Фв.
Мс — момент сопротивлениянагрузки на валу двигателя.
Ев- противо –ЭДС якорявозникающая в результате пересечения витков обмотки якоря при его вращении смагнитным потоком обусловленным обмоткой возбуждения двигателя.
Фв- магнитный потоксоздаваемый Iв, проходящим через обмотку возбуждениядвигателя.
Iв- ток в обмотке возбуждениядвигателя, вызываемый Uв
/>дв- угловая скорость роторадвигателя, зависящая от М дв.
Vn – скорость подачи электрода,зависящая от угловой скорости якоря двигателя и передаточного отношенияредуктора.
L – зазор между подложкой иэлектродом.
Vс – скорость сгорания подложки.
Iд. — ток сварочной дуги.Rд. –сопрротивление сварочной дуги.
I2 – ток, возникающий в обмоткевозбуждения генератора (2), зависящий от величины напряжения Uдм.
Ф2 – магнитный поток,возникающий в обмотке возбуждения генератора (2), пропорциональный току I.
Uдм. – постоянное напряжение дуги навыходе выпрямительного моста.
Пояснение связей вершин всигнальном графе (Рисунок 3) со ссылкой на соответствующие законы физики,электротехники и так далее будет дано в следующем пункте при непосредственныхуравнений для данной САР.
4. Система дифференциальных уравнений
Структура системыдифференциальных уравнений САР полностью определяется ее сигнальным графом. Подструктурой системы дифференциальных уравнений будем понимать, во-первых,множество функций времени, задаваемых извне, во-вторых, множество искомыхфункций времени, относительно которых составляется система дифференциальныхуравнений и, в-третьих, список дифференциальных уравнений с указанием длякаждого уравнения, какие функции времени являются для него заданными, а какаяфункция – искомой.
Множество сигналов,задаваемых извне, полностью определяется множеством внешних вершин сигнальногографа, а множество искомых сигналов — множеством внутренних вершин. Каждойвнутренней вершине соответствует одно уравнение, причем сигнал, соответствующийэтой вершине является для данного уравнения искомым. Ребра, входящие в даннуювершину, указывают, какие сигналы являются заданными для данного уравнения.Таким образом, общее число уравнений равно общему числу внутренних вершин сигнальногографа.
Уравнение,соответствующее некоторой вершине сигнального графа, должно определять значениеили закон изменения физической величины, символически обозначаемой этойвершиной, если заданы значения или законы изменения во времени физических величин,соответствующих вершинам, из которых исходят ребра, ведущие в данную вершину.При составлении каждого уравнения необходимо отдавать себе отчет, насколько этоуравнение идеализирует реальную связь данных переменных. Если мгновенноезначение переменных, соответствующих исходным вершинам, полностью определяетмгновенное значение данной переменной, то уравнение имеет вид обычной функции,например,
/>
Если же описываемая связьне является мгновенной, то уравнение будет дифференциальным, т. е. связывающимне только мгновенные значения сигналов, но и мгновенные значения их производныхв каждый момент времени t:
/>
Составить уравнениеданной связи — это значит полностью определить вид функции f(…) либо f1(…)и f2(…), если уравнение дифференциальное. В исходной системеуравнений эти функции могут быть заданы любым способом: выражены в виде формулчерез элементарные функции или заданы в виде графиков. При этом преимуществоследует отдавать аналитическому представлению функций, входящих в уравнения.
Таким образом, для САРнапряжения сварочной дуги, сигнальный граф которой приведен на Рисунке 3,система дифференциальных уравнений имеет вид (для простоты записи аргумент tпеременных величин будем опускать):
1) Напряжение U1пропорционально произведению задающего напряжения Uз и перемещенияручки потенциометра:
/>
где К1 –коэффициент пропорциональности.
/>
2) Ток I1 в обмотке возбуждения генератора определяетсявеличиной напряжения U1. В силу того, что обмотка возбужденияобладает значительной индуктивностью, эта связь имеет инерционный характер иописывается дифференциальным уравнением
/>
где К2 –индуктивность обмотки возбуждения;
К3 – ееактивное сопротивление.
/>, />
3) Поток возбуждениягенератора Ф1 зависит только от мгновенного значения токавозбуждения I1. Эта связь трудно выражается аналитически. Представимее кривой намагничивания стали в статоре генератора:
/>
4) Суммарный магнитныйпоток Ф, зависит от значений магнитных потоков Ф1 и Ф2 :
Ф=Ф1 + Ф2
5) Напряжение Uя, возникающее на щетках якоря генератора, зависит какот магнитного потока возбуждения генератора Ф, так и от скорости принудительноговращения якоря Wг. Согласноизвестным законам физики напряжение Uяпропорционально каждой из переменных Ф и Wг., т.е. пропорционально их произведению:
/>
где К4 — электрическая постоянная якоря генератора.
6) Ток Iдв, протекающий по обмотке якорядвигателя, определяется разностью напряжения на щетках якоря Uя и противо-ЭДС Е, вырабатываемой вращающимся якорем.
Эта связь являетсяинерционной в силу того, что якорь имеет значительную индуктивность, иописывается дифференциальным уравнением
/>
где К5 — индуктивность обмотки якоря, К6 — ее активное сопротивление.
/>, />
7) Вращающийся момент навалу двигателя Мдв определяется мгновенными значениями тока Iдв, протекающего по виткам якорнойобмотки, и магнитного потока, возбуждения Фв, пересекающего виткиякоря. Величина момента Мдв пропорциональна каждой из переменных Iдв и Фв:
/>
где К7 — моментная постоянная якоря двигателя.
/>
8) Угловое ускорение валадвигателя есть производная от угловой скорости его вращения Wдв. В свою очередь, угловое ускорениевала согласно закону Ньютона пропорционально действующему на него суммарномувращающему моменту, который равен разности вращающего момента Мдв имомента сопротивления нагрузки Мс, приведенного к валу двигателя:
/>
где К8 — суммарный момент инерции якоря, редуктора и нагрузки, приведенный к валудвигателя.
/>
9) Якорь двигателя,вращающийся со скоростью Wдвв магнитном потоке возбуждения Фв, фактически представляет собойгенератор, вырабатывающий противо-ЭДС Е. Поэтому вид уравнения, связывающего Ес Wдв и Фв, такой же как и вп.5:
/>
где К9 — электрическая постоянная.
/>
10) Связь потокавозбуждения двигателя Фв с током возбуждения Iв выразим аналогично п. 3 в виде кривой намагничиваниястали в статоре двигателя:
/>
11) Уравнение связи токавозбуждения двигателя Iв с напряжением возбуждения Uв аналогично уравнению в п.2 для токавозбуждения генератора:
/>
где К10 и К11 — соответственно индуктивность и активное сопротивление обмотки возбуждениядвигателя.
/>, />
12) Скорость подачиэлектрода Vп пропорциональна скорости двигателя Wдв
/>
где К12- коэффициентпередачи редуктора.
/>
13) Зависимостьсопротивления сварочной дуги Rд итока сварочной дуги Iд от напряжения трансформатора Uт
/>
где К13, К14-коэффициенты пропорциональности
/> />
14) Скорость сжиганияподложки Vс пропорциональна току сварочной дугиIд
/>
где К15- коэффициентпропорциональности
/>
15) Величина зазора междуэлектродом и подложкой Lпропорциональна суммарной скорости, которая равна сумме скорости подачиэлектрода Vп и скорости сгорания подложки Vс
/>
где К16- коэффициентпропорциональности
/>
16) Сопротивлениесварочной дуги Rд пропорциональнозазору между электродом и подложкой L
/>
где К17- коэффициентпропорциональности
/>
17) Напряжение сварочнойдуги Uд зависит от тока сварочной дуги Iд, а также от сопротивления сварочной дуги Rд. Напряжение сварочной дуги Uд пропорционально каждой из переменных Iд и Rд, т.е. пропорционально их произведению:
/>
где К18- коэффициентпропорциональности
/>
18)Напряжение снимаемое с диагонали диодного моста пропорционально Uд.мнапряжению сварочной дуги Uд
/>
где К19- коэффициентпропорциональности
/>
19) Уравнение связи токавозбуждения генератора I2 с напряжением возбуждения Uд.м аналогично уравнению в п.2 для токавозбуждения генератора:
/>
где К10 и К11 — соответственно индуктивность и активное сопротивление обмотки возбуждениягенератора.
/>, />
20) Связь потокавозбуждения генератора Ф2 с током возбуждения I2 выразим аналогично п. 3 в виде кривой намагничиваниястали в статоре генератора:
/>
21)Напряжение на выходе трансформатора Uт пропорционально напряжению сети Uс
/>
где К22- коэффициенттрансформации
/>
22)Напряжение в потенциометре URпропорционально напряжению диодного моста Uд.м
/>
где К23- коэффициентпропорциональности
/>5. Линеаризация системы дифференциальных уравнений
Дифференциальныеуравнения могут быть как линейные, так и нелинейными. Нелинейные дифференциальныеуравнения вносят значительные затруднения в решение реальных задач, особенно втех случаях, когда они имеют высокий порядок. Поэтому очень часто стараютсязаменить в первом приближении нелинейное дифференциальное уравнение линейным,анализ которого выполняется значительно проще. Методика выполнения такой заменыназывается линеаризацией.
Линеаризация системыдифференциальных уравнений САУ основана на двух предложениях.
1. Предполагается, что при номинальнойработе системы отклонения внешних воздействий от их постоянных номинальныхзначений малы, а следовательно, малы и отклонения всех переменных в системе.
Однако, необходимоотметить, что это предположение выполняется далеко не всегда.
2. Все функции от переменных, входящих вданное уравнение, не имеют разрывов и являются гладкими при номинальныхзначениях аргументов. Другими словами, предполагается, что для каждой функциисуществуют первые производные по всем аргументам в точке, соответствующейноминальному режиму. В противоположном случае, если хотя бы одна из функций,входящих в уравнения, имеет разрыв в точке номинального режима, либо неявляется гладкой в этой точке, то такое уравнение, а также сама функцияназываются существенно нелинейными. Линеаризация таких уравнений и функцииневозможна.
Номинальные значенияпеременных обозначаются большими буквам с верхним нулевым индексом:
X(t)= X0=const, U(t)= U0= const и т.д
Отклонения переменныхобозначаются соответствующими маленькими буквами:
x(t)=X(t) – X0 и т.д
Очевидно, что вноминальном режиме отклонения всех переменных в системе, а также производныеотклонений по времени равны нулю.
Дифференциальноеуравнение является линейным, если функция f1(…) и f2(…) в левой и правой частях являютсялинейными комбинациями переменных и их производных:
/>
В частном случае, еслифункции f1(...) и f2(...) не содержат в качестве аргументовпроизводных искомой функции и заданных функций, дифференциальное уравнение (1)превращается в обычную функцию определяющую зависимость переменной X(t) в какой-либо момент от мгновенных значений аргументов Y(t), ..., Z(t) в тот же момент:
/> (3)
Такой вид математическоймодели означает, что моделируемый объект рассматривается как статический(безинерционный). САР напряжение сварочной дуги-это статическая система, таккак всегда будет присутствовать ошибка регулируемого параметра, в силунелинейной зависимости числа оборотов двигателя от величины магнитного потокавозбуждающей компенсирующей обмотке 2.
Аналитическая записьлинейной функции содержит только суммы аргументов, умноженных, быть может, напостоянные коэффициенты
/>
Если функция имеет толькоодин аргумент, то она может быть задана в виде графика. График линейной функцииимеет вид прямой линии, проходящей через начало координат:
/>
Заметим, что если график,имеющий вид прямой линии, не проходит через начало координат, тосоответствующая ему функция не является линейной. Вернемся к системе уравненийСАР напряжение сварочной дуги. Очевидно, что в этой системе линейными являютсяуравнения в пп. 2,4,6,8,11,12,14,15,16,18,19,20,21,22. К нелинейным относятсяуравнения в пп. 1,3,5,7,9,10,13,17.
В общем случае линеаризациязаключается в разложении функции в ряд Тейлора в окрестности номинальныхзначений аргументов и отбрасывании членов ряда, порядок которого выше первого.
При проведениилинеаризации конкретной функции необходимо внимательно относится к номинальнымзначениям переменных, отмечая те из них, которые равны нулю в установившемсярежиме работы данной САР. Если номинальные значения некоторых переменных равнынулю, то могут обратиться в нуль коэффициенты при отдельных аргументах ввыражении линеаризованной функции. Такие аргументы необходимо отбросить.
Для тех дифференциальныхуравнений и функций исходной модели САР, которые являются линейными, переход котклонениям сводится к замене обозначений полных переменных на обозначения ихотклонений.
Итак, линеаризованнаясистема уравнений имеет вид:
1) Для линеаризации зависимостинапряжения подаваемого на компенсационную обмотку генератора U1 от задающего напряжения Uз и перемещения ручки потенциометра Х, необходимо найти частныепроизводные U1 по переменным Uз и Х в точках номинальрого режима
/>
Линеаризированная зависимость примет вид:
/>
2) />
3) Зависимость магнитного потокавозбуждения Ф1 генератора от величины тока возбуждения I1 задана графически. Отметив на графике точку номинальногорежима и проведя касательную к графику в этой точке, получим линеаризованнуюзависимость магнитного потока от тока в отклонениях.
/>
Тангенс угла наклона коси i1 обозначим К5. Линеаризованная зависимостьпримет вид
/>
4) />
5) Для линеаризациизависимости напряжения на щетках якоря генератора Uя от величинымагнитного потока возбуждения Фи скорости привода генератора Wг необходимо найти частные производные Uя.по переменным Ф и Wг в точкеноминального режима:
/>
Линеаризованная зависимость:
/>
6) />
7) Линеаризациязависимости вращающего момента на валу двигателя Мдв от тока якоря Iдв и величина потока возбуждения Фв,аналогична линеаризации уравнения п. 1, 5. Линеаризованная зависимость:
/>
8) />
9) Линеаризациязависимости скорости вращения якоря двигателя Wдв в магнитном потоке возбуждения Фв отпротиво-ЭДС Е проводится аналогично пп.1,5,7:
/>
10) Линеаризацияграфически заданной величины магнитного потока возбуждения двигателя Фвдот тока возбуждения проводится аналогично пп. 3
/>
11) Линеаризацияуравнение связи тока возбуждения двигателя Iв с напряжением возбуждения Uв
/>
12) Линеаризация скоростьподачи электрода Vп от скоростидвигателя Wдв
/>
13) Линеаризациязависимость сопротивления сварочной дуги Rд и тока сварочной дуги Iд от напряжения трансформатора Uт аналогична п.1,5,7,9.
Пусть />, тогда исходное дифференциальноеуравнение примет вид:
/>
Линеаризованнаязависимость примет вид:
/>
14) />
15) Линеаризованнаязависимость величины зазора между электродом и подложкой L от суммарной скорости подачи электрода Vп и скорости сгорания подложки Vс
/>
16) />
17) Линеаризациянапряжение сварочной дуги Uдот тока сварочнойдуги Iд, а также от сопротивления сварочной дуги Rд аналогично пп. 1,5,7,9,13:
/>
18) />
19) Линеаризацияуравнения связи тока возбуждения генератора I2 с напряжением потенциометра URаналогично уравнению в п.2 для токавозбуждения генератора:
/>
20) Линеаризацияграфически заданной величины магнитного потока возбуждения двигателя Ф2от тока возбуждения проводится аналогично п. 3, 10:
/>
21) />
22) />
6. Взвешенный сигнальный граф иструктурная схема линейной математической модели САР
Для определения законаизменения во времени данной выходной величины необходимо исключить из системыуравнений все остальные переменные, являющиеся в данном случае промежуточными,и получить дифференциальное уравнение, связывающее рассматриваемую выходнуюпеременную с входной, представленной заданной функцией времени в правой частиуравнения.
Операции исключения промежуточныхпеременных из сложных дифференциальных уравнений очень трудоемки и громоздки.Поэтому возникает потребность упростить эти операции. С этой целью в линейныхматематических моделях САУ обычно используют операционную форму записи линейныхдифференциальных уравнений, представляя уравнение каждой связи сигнальногографа в виде так называемой передаточной функции.
Замена дифференциальныхуравнений передаточными функциями позволяет представить систему линейныхдифференциальных уравнений САУ в виде взвешенного сигнального графа, либо ввиде структурной схемы.
Существенным ограничениемна применение передаточных функций при исследовании линейных САУ является тообстоятельство, что передаточная функция линейного дифференциального уравненияставит в соответствие каждой конкретной функции в правой части (входномусигналу) одно решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее нулевымначальным условиям.
Для перехода коператорной форме записи необходимо оператор дифференциального уравнения d/dt заменить символом p, с которым в дальнейшем можно поступать как ссомножителем.
В операторной формезаписи дифференциальное уравнение
/>
примет вид />
Вынеся переменные x(t)и y(t) за скобки в левой и правой частях,получим операторную форму дифференциального уравнения:
/>
По своей форме этоуравнение является алгебраическим, а не дифференциальным. Разрешим егоотносительно искомой переменной x(t), разделив обе части ни сомножитель />
/>
Мы получили оченьнаглядную запись линейного дифференциального уравнения.
Искомая переменная x(t)представлена как результат умножения независимойпеременной y(t) на символический коэффициент
/>
Этот коэффициент W(p) называется передаточной функциейданного дифференциального уравнения. Передаточная функция условно и в то жевремя наглядно отражает структуру и численные значения коэффициентовдифференциального уравнения, связывающего две переменные — независимую(входную) y(t) и искомую (выходную) x(t):
/>
Таким образом,передаточная функция — его один из удобных способов записи линейногодифференциального уравнения.
Запишем в операторнойформе систему линеаризованных дифференциальных уравнений исследуемой САР.Коэффициенты, возникающие при переходе к операторной форме записи, будемнумеровать по порядку К1, К2, К3,…(большимибуквами без штрихов, нумерованные по порядку возрастания). Постоянные временибудем также нумеровать по порядку их возникновения Т1, Т2,…
Если уравнение неявляется дифференциальным, то его вид не изменяется:
1) u1=K1х+ K2u3;
W1(p)=K1. W2(p )=K2.
где K1=.K'1 и K2.=K'2
/>
2) Заменим оператордифференцирования в левой части сомножителем р и вынесем за скобки переменную iвг. Разрешив полученное уравнениеотносительно iвг, получим запись дифференциальногоуравнения в виде передаточной функции:
/>
/>
где />
3) j1=K6i; W4(p)=K6, где К6=К5'.
4) j=j1+j2
/>
5) uя=K8j+K7wг; W5(p)=K7; W6(p)=K8, где К7 =K'7, K8=K'6.
/>
6) />
/>/>
где />
/>
7) mqв=K12iдв+K13jв; W8(p)=K12; W9(p)=K13,K12=K'10, K13=K'11.
/>
8) />
/>
/>
/>
9) е=K17wг+K16jв;
W12(p)=K17; W11(p)=K16, где K16=K'13, K17=K'14.
/>
10) jв=K18iв; W13(p)=K18, где K18=K'15.
11) />
/>
где />
12) />
13) />
/>
где />
14) />
15) />;
/>
/>
16) />
17) uд=K30iд+ K31rд;
W21(p )=K30.W22(p )=K31.
где K30=.K'28 и K31.=K'29
/>
18) />
19) />
/>
где />
20) j2=K36i2;W25(p)=K26, K36=K'33
21) uс=K37 uт; W26(p)=K37, K37=K'34
22) />
Взвешенный сигнальныйграф и структурная схема являются эквивалентными формами наглядногографического представления системы линейных дифференциальных уравнений САР. Каквзвешенный граф, так и структурная схема используют запись дифференциальныхуравнений связей в виде передаточных функций.
Взвешенный сигнальныйграф по своей структуре почти полностью совпадает с исходным сигнальным графом(Рисунок 3), каждому его ребру приписан вес, имеющий вид передаточной функции.Взвешенный сигнальный граф САР напряжения сварочной дуги приведен на Рисунке 4.
Порядок построенияструктурной схемы линейной математической модели аналогичен порядку построенияисходного сигнального графа. Сначала слева направо располагают основную цепочкусвязей переменных от сигнала задания к управляемой величине. Затем внизу справаналево строят цепочку главной обратной связи. После этого в произвольномпорядке достраивают остальные связи математической модели.
Структурная схема САРнапряжения сварочной дуги приведена на Рисунке 5.
7. Определение передаточныхфункций САР напряжения сварочной дуги
Дифференциальноеуравнение, связывающее входную переменную линейной математической модели САР,соответствующей какой-нибудь внешней величине сигнального графа, с выходнойпеременной, соответствует одной из внутренних вершин, называется сквозным дифференциальнымуравнением от входа к выхода. Сквозное дифференциальное уравнение называюттакже уравнением замкнутой системы от данного входа к данному выходу.
Передаточная функция,соответствующая сквозному дифференциальному уравнению, называется сквозной передаточнойфункцией САР от данного входа к данному выходу. Другое название – передаточнаяфункция замкнутой системы от данного входа к данному выходу.
Одним из входовматематической модели САР является задающее воздействие. Этот вход называетсяглавным входом. Аналогично среди выходов математической модели САР выделяютглавный выход, под которым понимают регулируемую величину.
Сквозную передаточнуюфункцию, связывающую главный выход модели САР с главным входом, называютглавным оператором САР. Его обозначают Ф(р).
Дляопределения сквозной передаточной функции САР от заданного входа к заданномувыходу необходимо положить равным нулю все прочие входные сигналы, чторавносильно удалению из структурной схемы соответствующих цепочек элементов.Затем необходимо с помощью применения подходящих правил преобразованияструктурных схем привести структурную схему к простейшему виду — одномуэлементу, входной и выходной сигналы которого соответствуют заданным входу ивыходу математической модели САР. Передаточная функция этого элемента и естьискомая сквозная передаточная функция.
Всхеме можно выделить три характерных соединения элементов: последовательное,параллельное, и обратное (в виде отрицательной либо положительной обратнойсвязи). Группа последовательно соединенных элементов структурной схемы приусловии, что между элементами нет сумматоров и ответвлений сигнала, может бытьзаменена одним элементом с передаточной функцией, равной произведениюпередаточных функций всех элементов:
/>
/>
Группупараллельно соединенных элементов структурной схемы можно заменить однимэлементом с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций всехэлементов:
/>
/>
Еслисигнал с выхода элемента обратной связи вычитается из сигнала, поступающего навход элемента прямой цепи, то обратная связь является отрицательной, а еслиприбавляется – положительной. Такую пару элементов можно заменить однимэлементом с передаточной функцией, равной дроби, числитель которой представляетсобой передаточную функцию элемента прямой цепи, а знаменатель — произведениепередаточных функций элементов прямой цепи и обратной связи со знаком плюс,если обратная связь отрицательная, или со знаком минус, если обратная связьположительная, увеличенное на единицу:
/>
/>
При преобразованииструктурной схемы можно использовать правила переноса точки разветвления иточки суммирования сигналов. Пусть точка разветвления переносится противнаправления прохождения сигнала. Тогда в переносимую ветвь нужно включитьэлемент, передаточная функция которого равна передаточной функции элементамежду прежней и новой точками разветвления (а). Пусть точка разветвленияпереносится по направлению прохождения сигнала. Тогда в переносимую ветвь нужновключить элемент с передаточной функцией, обратной передаточной функцииэлемента между новой и прежней точками разветвления (б). Если точкасуммирования переносится по направлению прохождения сигнала. При этом впереносимую ветвь нужно включить элемент с передаточной функцией, равнойпередаточной функции элемента между прежней и новой точками суммирования (в).Если точка суммирования переносится против направления прохождения сигнала, тов переносимую ветвь нужно включить элемент с передаточной функцией, обратнойпередаточной функции элемента между новой и прежней точками суммирования (г).
а). />
б). />
в). />
г)./>
1. Определение главного оператора САР по взвешенномусигнальному графу с помощью преобразования структурных схем (см. Рисунки 6-11)
На каждом этапе делаемпромежуточные вычисления в итоге получим формулу главного оператора САР Ф(р)(Рисунок 11). После преобразования имеем:
/>
Для того, чтобы перейти кстандартной форме записи передаточной функции, раскроем скобки в знаменателе ивведем обозначения:
/>
/> />
/> />
где />
Окончательно получим:
/>
Единица измеренияпередаточной функции должна быть равна отношению единиц измерения выходной ивходной величин Х = Ф(р)Uз следовательно Ф(р):[В/м]
Проверим правильностьпроведения выкладок при получении передаточной функции:
/>
/>/>
/>
отсюда, />
Следовательно,/>
/>Проверим коэффициент К:
/>/>
/>.
Итак, главный оператор имеетразмерность В/м, что полностью совпадает с его физическим смыслом.
2. Определение сквозной передаточной функции САР по взвешенному сигнальномуграфу с помощью преобразования структурных схем (см.Рисунки12-19)
Главным (основным) возмущающимвоздействием данной САР является напряжение сети UC. Определим эту передаточную функцию,используя правила преобразования структурных схем.
Для этого
/>
Для того, чтобы перейти кстандартной форме записи передаточной функции, раскроем скобки в знаменателе ив числители и введем обозначения:
/>
/> />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
где />
Искомая сквознаяпередаточная функция принимает следующий стандартный вид:
/>
Проверим правильность проведениявыкладок при получении передаточной функции:
/>;
/>;
/>;
/>;
/>
Единицы измерениякоэффициентов:
/>
/>Проверим коэффициент К:
/>/>
Сквозная передаточнаяфункция безразмерна, что полностью совпадает с ее физическим смыслом:
/>
3. Определение контурной передаточной функции
Для определения контурнойпередаточной функции САР температуры печи, разорвем в любом месте основнойконтур системы, образованный главной связью. Если положить равными нулюотклонения сигналов на всех входах линейной модели САР от их номинальныхзначений, то зависимость во времени отклонения Uд дуги от отклонения входногонапряжения Uз’ относительно их общего номинального значения Uзбудет определяться некоторымдифференциальным уравнением:
/>
Это и есть контурноедифференциальное уравнение. Передаточная функция, соответствующая этомууравнению, называется контурной передаточной функцией, взятая со знаком минус.
Используя правилапреобразования структурных схем (см. Рисунки 20-23) имеем:
/> />
/>
Введя обозначения,получим:
/>
/>
/>/> />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
где /> />
Проверим правильностьпроведения выкладок при получении передаточной функции:
/>
/>
/>
/>
Единицы измерениякоэффициентов:
/>
/>
Итак, получили контурнуюпередаточную функцию W(p).
Заключение
В данной курсовой работе исследоваласьсистема автоматического регулирования напряжения сварочной дуги. Была построенаматематическая модель системы, которая с определенной точностью отражаетпроцессы, протекающие в системе. В работе составлен сигнальный граф САР, покоторому составлена система дифференциальных уравнений. Так как некоторые изэтих уравнений нелинейны, поэтому они были линеаризованы. Для упрощениярасчётов система была записана в оперативной форме, а также построеныизображения математической модели в виде взвешенного сигнального графа иструктурной схемы. По структурной схеме с помощью специальных правилпреобразования её элементов была построена сквозная передаточная функция отзаданного входа к заданному выходу. Проверка размерности передаточной функциипоказала, что расчёт был проведён верно.
Списокиспользованной литературы
1. Моттль В.В.Теоретические основы кибернетики. – Тула, 1982.
2. Сапожников Р.А.Основы теоретической кибернетики. – М., Высшая школа,1970.
3. Воронов А.А.Основы теории автоматического управления. – М., Энергия, 1980.
4. Ципкин Я.З.Основы теории автоматических систем. – М., Наука, 1977.
5. Фельдбаум А.А.Электрические системы автоматического регулирования. – М., 1957.