1. Краткое математическое описание методоврасчёта
1.1. Общие положения
Цифровойфильтр полностью описывается своим разностным уравнением:
/> (1)
Длянерекурсивного цифрового фильтра /> иуравнение принимает вид:
/> (2)
Знаякоэффициенты разностного уравнения, можно легко получить выражение дляпередаточной функции фильтра (для НЦФ):
/> (3)
Для образавыходного сигнала НЦФ справедливо выражение
/>, (4)
где /> – z-преобразования выходногои входного сигналов фильтра.
Знаявыражение (4) и учитывая, что z-преобразование функции единичного скачка /> равно 1, можно получитьвыражение для z-образаимпульсной характеристики />:
/> (5)
Из (5)следует, что отсчеты импульсной характеристики НЦФ численно равны коэффициентамразностного уравнения НЦФ, а сама импульсная характеристика и передаточнаяфункция связаны парой z-преобразований (прямым и обратным).
Заменив в (4)z на />, получим комплекснуючастотную характеристику:
/> (6)
Импульснаяхарактеристика и комплексная частотная характеристика связаны паройпреобразований Фурье:
/> (7)
/> (8)
Изкомплексной частотной характеристики можно получить выражения для АЧХ и ФЧХ:
/> (9)
/> (10)
Во всевышеприведённые формулы входит интервал квантования />.Чтобы от него избавиться, частоту обычно нормируют. Это можно сделать с помощьюзамены:
/> (11)
Так какинтервал определения />, то интервалопределения />. Исходными данными дляпроектирования фильтра является его АЧХ. Как правило, в зонах неопределённостиАЧХ некоторым образом доопределяют с тем, чтобы избежать явления Гиббса («выбросы»характеристики в точках разрыва первого рода – «скачках»). В простейшем случаедоопределить АЧХ можно линейным законом. В этом случае АЧХ проектируемогополосового фильтра будет выглядеть таким образом.
АналитическиАЧХ будет записываться в виде:
/> (12)
Припроектировании часто полагают, что ФЧХ фильтра является линейной. В [1]показывается, что в этом случае импульсная характеристика фильтра является либосимметричной (/>), либоантисимметричной (/>). Учитывая, чтопорядок фильтра /> может бытьчётным и нечётным, существует четыре вида ИХ с линейной ФЧХ:
1. N– нечётное, ИХ – симметричная
2. N– чётное, ИХ – симметричная
3. N– нечётное, ИХ – антисимметричная
4. N– чётное, ИХ – антисимметричная
цифровой фильтр выборка частотный
1.2 Метод частотнойвыборки
Основная идеяметода частотной выборки – замену в выражениях (7) и (8) непрерывную частотудискретизированной. В этом случае выражения (7) и (8) превращаются в парудискретных преобразований Фурье:
/> (13)
/> (14)
Существует 2метода дискретизации частоты (выражения записаны для нормированной частоты):
/> (15)
/> (16)
Выражения(13) и (14) записаны для первого метода дискретизации частоты. По условиюзадания необходимо использовать второй метод дискретизации частоты, в этомслучае выражение (14) приобретает вид:
/> (17)
Из (17)следует, что для определения импульсной характеристики необходимо знатьчастотную характеристику. Её можно записать в показательной форме:
/> (18)
/> (19)
При чётном N:
/> (20)
При нечётном N:
/> (21)
Подставляявместо /> />, по выражениям (20) и (21)можно найти />, а из (17) – />.
1.3 Метод наименьших квадратов
При расчетекоэффициентов импульсной характеристики используется формула вида:
/>
после чегорешается система уравнений:
/> и находятся коэффициентыСк.
Далее изнайденных Ск можно найти коэффициенты импульсной характеристики:
/> /> />
2. Расчётная часть
2.1 Расчёт методомчастотной выборки
2.1.1 Расчёт импульсной характеристики
Расчётимпульсной характеристики для нечётных N осуществлялся поформулам (21) и (17), для чётных – по формулам (20) и (17). Результаты расчётаимпульсной характеристики для N=15, 25 и 32 представлены в таблице 1.
Таблица 1.Результаты расчёта импульсной характеристики методом частотной выборки
i
Значение импульсной характеристики /> N=15 N=25 N=32
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
0,081
-0,013
0,025
-0,052
-0,303
0,03
0,46
0,03
-0,303
-0,052
0,025
-0,013
0,081
0,001497
0,001756
-0,02
-0,007456
-0,007554
0,028
0,061
-0,004905
0,034
-0,048
-0,297
-0,035
0,45
0,035
-0,297
-0,048
0,034
-0,004905
0,061
0,028
-0,007454
-0,007456
-0,02
0,001756
0,001497
0,001488
-0,008534
0,008698
-0,000256
0,003711
-0,011
0,015
-0,007875
-0,001266
0,053
0,029
0,0009025
0,04
-0,193
-0,224
0,321
0,321
-0,224
-0,193
0,04
0,0009025
0,029
0,053
0,001266
-0,007875
-0,015
-0,011
-0,003711
-0,000256
0,008698
-0,0008534
0,001488
2.1.2 Расчёт АЧХ и ФЧХ
Расчёт АЧХ иФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты />, взятой с шагом 0,01 (/>). На рисунках приведеныграфики рассчитанной АЧХ фильтра.
/>
Для расчётаточности аппроксимации запишем функцию ошибки аппроксимации:
/>, (32)
/>
В таблице 2приведены результаты расчёта точности аппроксимации />.
Таблица 2.Результаты расчета точности аппроксимации для метода частотной выборки
/>
/>
/>
Графикфункции точности аппроксимации для N=25
Максимальныеошибки аппроксимации (абсолютная погрешность) для трёх значений N приведены в таблице 3:
Абсолютнаяпогрешность аппроксимации АЧХ, рассчитанной методом частотной выборки
Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ N=13 N=25 N=32 0,125 0,082 0,049
2.2 Расчёт методом наименьших квадратов/>
2.2.1 Расчёт импульснойхарактеристики
Результатырасчёта импульсной характеристики для N=13, 25 и 32 представлены в таблице. Учитываясимметрию импульсной характеристики, приведена только половина отсчётов.
Результатырасчёта импульсной характеристики методом наименьших квадратов
i
Значение импульсной характеристики /> N=13 N=25 N=32
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0,055
-0,004049
0,035
-0,042
-0,296
0,03
0,45
-0,003929
-0,003499
-0,012
0,008469
-0,008832
-0,026
0,055
0,035
-0,042
-0,296
0,03
0,45
0,002208
-0,005211
0,003349
0,003189
-0,003929
-0,003499
-0,012
-0,008469
-0,008832
0,026
0,055
-0,004049
0,035
-0,042
-0,296
0,45
0,45
2.2.2 Расчёт АЧХ и ФЧХ
Расчёт АЧХ иФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты />, взятой с шагом 0,01 (/>).
/>
Заданная по условию ирассчитанная АЧХ фильтра для N=25 (метод наименьших квадратов)
2.2.3 Расчёт точностиаппроксимации
Точностьаппроксимации оценивалась по формуле (32). В таблице (5) приведены результатырасчёта />
Результатырасчета точности аппроксимации для метода наименьших квадратов
/>
В таблице 6приведена максимальная (абсолютная) погрешность аппроксимации для различныхзначений N.
Абсолютнаяпогрешность аппроксимации для метода наименьших квадратов
Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ N=135 N=25 N=32 0,125 0,057 0,051
2.3 Сравнение методов расчёта
Сравниваярезультаты расчётов точности аппроксимации, приведённые в таблицах 2 и 6, можносделать вывод, что метод наименьших квадратов обеспечивает более точнуюаппроксимацию при N=25 амплитудно-частотной характеристики по сравнению сметодом частотной выборки. С увеличением порядка фильтра N точность аппроксимацииувеличивается для обоих методов, но точность метода наименьших квадратовначинает уменьшаться по сравнению с методом частотной выборки.
Заключение
В даннойкурсовой работе был рассмотрен расчёт нерекурсивного цифрового фильтра двумяметодами: методом наименьших квадратов и методом частотной выборки. Результатырасчётов точности аппроксимации для каждого метода позволяют сделать следующиевыводы:
· Точностьаппроксимации увеличивается с увеличением N (порядка фильтра)
· Методнаименьших квадратов обеспечивает более точную аппроксимацию при среднихзначениях N.