МинистерствоОбразования Украины
КафедраэлектротехникиКурсоваяработа
покурсу “Теория электрических и электронных цепей”
натему “Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточеннымипараметрами”
Вариант№ 12
Содержаниекурсовой работы
1. Вэлектрической цепи, (схема которой представлена на рис.1, а параметры цепиприведены в таблице 1, причём R4=R3 ), происходитпереходной процесс. На входе цепи действует постоянное напряжение величиной Еm.
2. Классическим методомрасчёта найти выражения для мгновенных значений всех токов цепи и напряжений нареактивных элементах после коммутации. Построить графики изменения этих величинв одних осях. Графики изменения построить на интервале, равном временипереходного процесса tnn.
Этовремя определить по следующим формулам:
/>/>tnn= /> или tnn=/>
где λmin– наименьший из двух вещественных корней;
δ — вещественна часть комплексного корня.
3.Операторным методом расчёта найти выражение для тока в катушке индуктивности.
4. Навходе цепи (рисунок 1) действует источник, напряжение которого меняется посинусоидальному закону
e(t)=Emsin(ωt+φ).
Определитьвыражение для мгновенного значения тока в катушке индуктивности.
Построитьграфик переходного процесса тока катушки индуктивности.
5.Навходе цепи,(рисунок 2) действует источник, напряжение которого меняется позакону(заданное графиком 1). Найти выражение для величины, указанной в 17-мстолбце таблицы исходных данных (таблица 1). Построить совместные графикиизмерения заданного напряжения и искомой величины. В таблице исходных данныхданы абсолютные значения напряжений U0, U1, U2, U3.Принимая значение времени: t1=τ, t2=1,5τ, t3=2τ, t4= 2,5τ .
Здесь τ– постоянная времени рассматриваемой цепи.
Таблица1:Номер варианта Номер схемы
Параметры
источника
Параметры
цепи
Параметры источника
для интеграла Дюамеля Номер схемы по рисунку 2
Исследуемая
величина ƒ(t)
Напряжение
U, В
Частота
ƒ, Гц
Нач.
фаза
φ, град.
R1
Ом
R2
Ом
R3
Ом
L
мГн
C
мкФ № графика
Uо
В
U1
В
U2
В
U3
В 12 12 70 30 75 26 10 10 100 25 12 20 5 10 4 UR2
R1 Рисунок1:/> /> /> /> /> /> />
C />
Рисунок2:
/>/>
R3
R3
R1
i1 />/>/>/>/>/>/>/> /> /> /> /> /> /> />
C />
ic
U />/>График 1:/> /> /> /> /> /> />
t3 />
/>/>
1этап курсовой работы
Расчет цепи с двумя реактивными элементами в переходных процессах классическимметодом
/>
1 этап
Запишемначальные условия в момент времени t(-0)
/>i2(-0)=i1(-0)=/>=/>= 1.52 (A)
Uc(-0)=i2.R2=Uc(+0)
Напишемуравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1-i2-ic=0(1)
/>i1.R1+i2. R2+L/>=U(2)
i1.R1+Uc=U (3)
Из (2)уравнения выразим i1
i1= /> (2.1)
i1из уравнения (2.1) подставим в (1) и выразим ic
ic=/> (1.1)
i1подставим в (3) и выразим Uc
U=/> (3)
Uc=U-U-i2. R2 — />(3)
Uc=i2.R2+/> (3.1)
Uc= /> /> (3.2)
Подставимв место Uc и ic вуревнение (3.2), получим:
/> (3.3)
Продифференцируемуравнение (3.3) и раскроем скобки:
/>/> (3.4)
Вдифференциальном уравнении(3.4) приведём подобные слогаемые:
/>
2 этап
Во втором этапе мы решимдифференциальное уравнение относительно i2, для этого мы представимi2 как сумму двух составляющих i2св – свободная составляющаяи i2вын – вынужденная составляющая
i2=i2св+i2вын
i2вын найдёмпо схеме
i2вын=/>
i2св найдём издифференциального уравнения подставив численные значения в уравнение и заменив />через l, а />черезl2 получим:
Ll2+R2l+/>l+/>=0(3.5)
Решим характеристическоеуравнения (3.5) найдя его корни l1и l2
0.1l2+10l+/>l+/>
15384,6+153,85l+40000+10l+0,1l2=0
Д=b2-4ac=(163,85)2-4.0,1.55384,6=26846,82-22153,84=4692,98
/>l1,2=/>;/>; /> l1/>l2 – вещественные
l1=/>/>/>
l2=/>/>
i2св=А1е-477t+А2е-1162t(3.6)
i2=1.94+А1е-477t+А2е-1162t (3.7)
3 этап
Найдём А1 и А2исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системыуравнений Кигхгофа записаных на 1 этапе.
Найдём ток i2для момента времени t = +0. Для этого продифференцируем уравнение (3.6) приt=0.
i2(+0)=i2вын(+0)+А1+А2
/>-477 А1-1162 А2
Из уравнения(2) найдём />для момента времени t+0
/> (3.8)
Изуравнения (3) выразим i1 для момента времени t+0 при Uc=i2R2
i1=/> (3.9)
Найдём /> подставив значение i1из уравнения (3.9) в уравнение (3.8)
/> (4.0)
Подставимзначение />, i2(+0), i2вынв систему и найдём коэффициенты А1 и А2
/>1,52=1,94+ А1 + А2 (4.1)
2=-477 А1-1162А2 (4.2)
Из уравнения(4.1) выразим A1 и подставим в (4.2)
А1=-0,42-А2
2=-477(-0,42-А2)-1162А2(4.3)
Из уравнения(4.3) найдём А2
2=200,34+477А2-1162А2
2=200,34-685А2
А2=/>
А1=-0,42-0,29=-0,71
Подставимнайденные коэффициенты А1 и А2 в уравнение (3.7)
i2=1,94-0,71е-477t+0,29е-1162t(А)
4 этап
Определяемостальные переменные цепи UL, Uc, ic, i1
UL=/> (В)
Uc=/>+i2R2=/>
=/> /> (В)
ic=/> (А)
i1=ic+i2=(0,044е-477t+0,014е-1162t)+(1,94-0,71е-477t+0,29е-1162t) =
=1,94-0,666е-477t+0,304е-1162t(А)
Построимграфики изменения найденных величин в одних осях. Графики изменения построим наинтервале, равном времени переходного процесса tnn.
Этовремя определим по формуле:
/>/>tnn= />
Найдём tппвремя переходного процесса
tпп=/> (с)
ТаблицапеременныхВремя переходного процесса tnn (c)
Значение тока
i1
(A)
Значение тока
i2
(A)
Значение тока
ic
(A)
Значение напряжения
UL
(B)
Значение напряжения
UC
(B) 0.000 1.578 1.520 0.058 0.20 15.22 0.001 1.622 1.590 0.032 10.49 16.95 0.002 1.713 1.695 0.018 9.75 17.92 0.003 1.790 1.779 0.011 7.07 18.50 0.004 1.844 1.837 0.006 4.70 18.84 0.005 1.879 1.875 0.004 3.02 19.06 0.006 1.902 1.899 0.0025 1.90 19.19 0.0063 1.907 1.905 0.0022 1.65 19.21
Рисунок3 — График токов
/>
где
/>/>/> i1 i2 ic
Рисунок 4 – График напряжений
/>
где
/>/> UL UC
2 этапкурсовой работы
2. Найдёмвыражение для тока в катушке при действии в цепи источника синусоидальногонапряжения:
R2 e(t)=Emsin(wt+j)
/>/>/> R/>1
/>
где Em=100 (B)
w=2pf /> =2 3,1450=314 (Гц)
j=300
R1=R2=10(Ом) L=100 (мГн)
R3=9(Ом) С=100 (мкФ)
w=314 (Гц)
XL=wL=314. 0,1=31,4(Ом)
XC=/> (Ом)
Найдёмначальные условие:
U(t)=Umsin(wt+j)=100sin(314+30);
Um=100ej30=86,603+j50(В)
UC(-0)=0(B)
Найдём полноесопротивление цепи
Zп=R1+R3+jXL=10+9+j31,4=19+j31,4(Ом)
Знаясопротивление и напряжение найдём I3m
I3m=I1m=/>/>(А)
Найдёммгновенное значение тока
i3(t)=I3msin(wt+j)=2.725sin(314t-28.82) (A)
Для времени t=0ток будет равен
i3(-0)=2.725sin(-28.82)=-1.314(A)6 (A)
Таким образом
UC(-0)=UC(+0)=0(B)
i3(-0)=i3(+0)=-1.314 (A)
1 этап
Напишемуравнения по законам Кирхгофа для цепи:
/>i1-i2-i3=0(1/)
i1.R1+i3.R3+L/>=U(t)(2/)
i1.R1+i2.R2+Uc=U(t)(3/)
Из (2/)уравнения выразим i1
i1= /> (2/.1)
i1из уравнения (2/.1) подставим в (1/) и выразим i2
i2=/> (1/.1)
U(t)=U(t)-i3.R3-L/>+R2/>
/>
-/> (3.1)
Продифференцируемуравнение (3.1) раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
/> (3.2)
2 этап
Вид решения дляi3св при действии в цепи источников постоянного и переменного напряженийодинаков, так как в однородном дифференциальном уравнении отсутствует параметрU, а значит, вид i3св не зависит от входного напряжения.
Таким образом,выражение, которое было найдено в 1этапе, будет иметь следующий вид:
i3св=А1е-406t+А2е-234t
Теперь найдёмвынужденную составляющую тока катушки i3вын
i3выннаходим для цепи в послекоммутационном режиме. Расчёт параметров схемы придействии e(t);
Найдёмвынужденную составляющую амплитудного тока I1, а для этого найдём Zпвын сопротивление цепи:
Zпвын=/> (Ом)
I1m=/> (A)
Найдём Uabвын
Uab m= I1m/> (В)
I3 m=/> />(A)
Найдём i3вын
I3 вын= I3 msin(wt+j)=2.607sin(314t-43.60)(A)
Таким образом
i3=2.607sin(314t-43.60)+А1е-406t+А2е-234t
3/этап
Найдём А1 и А2исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системыуравнений Кигхгофа записаных на 1/ этапе.
/>i3=2.607sin(314t-43.60)+А1е-406t+А2е-234t
/>
i3(+0)=i3(-0)=-1.314(A)
/>i3(+0)=2.607sin(-43.60)+A1+A2=-1.798+A1+A2
/>/>
R1i1=U(t)-R2i2-UC
/>
/>
/>=/>/>
=/> />
Подставимзначение />, i3(+0), инайдём коэффициенты А1 и А2 для времени t+0
/> -1.314=-1.798+A1+A2
433.96=592/806-406A1-234A2
A1=-1.314+1.798-A2=0.484-A2
433.96=592.806-406(-0.484-A2)-234 A2
433.96-592.806+406.0.484= A2(406-234)
/>37.658=172A2 A2=0.219
A1=0.265
Ток i3будет равняться
I3=2.607sin(314t-43.600)+0.265е-406t+0.219е-234t (A)
Таблица переменныхВремя t, c 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.0063 Ток i2, A 1.115 1.327 1.528 1.671 1.7428 1.7430 1.6745 1.6413
/>
3 этапкурсовой работы
Найдёмвыражение для тока катушки операторным методом:
/>/>/> R/>1 R2
/>
Запишемначальные условия в момент времени t(-0)
/>I3(-0)=/>=/>= 5.263 (A)
Uc(-0)=0(В)
Нарисуемсхему замещения цепи для расчёта тока катушки операторным методом.
В ветвис реактивными элементами добавим ЭДС, так как у нас не нулевые начальныеусловия. Причём в ветвь катушки по на правлению тока, а в ветвь конденсаторапротив тока.
/>
R1
Определимоператорное изображение тока катушки. Для этого составим систему уравнений позаконам Кирхгофа, направление ЭДС катушки указанo на схеме.
/>I1(p)-I2(p)-IC(p)=0(1.3)
/> (2.3)
/> (3.3)
Изуравнения (2.3) выразим ток I1(p) и подставим в уравнение (3.3):
/>
/>
Изуравнения (3.3)
/> (2.3.1)
/> (2.3.2)
/>
/>
/>
/>
/>
Подставимчисленные значения элементов
/>
Пополученному изображению найдём оригинал тока .
Операторноерешение тока имеет вид правильной дроби I=/>.Оригинал тока найдём при помощи теоремы разложения.
Определимкорни знамена теля, для этого приняв его равным нулю.
p1=0
0,000065p2+0,1065p+36=0
/>Д=(0б1065)2-4.0,000065.36=0,0019 />
/>
/>
I2(p)=/>
Найдём A1A2 A3
КоэффициентAn будем искать в виде, />где N(p)– числитель, а M(p) – знаменатель
A1=/>
A2=/>
A3=/>
Такимобразом, i2(t) будет равняться />
i2(t)=A1.exp(p1t)+A2.exp(p2t)+ A3.exp(p3t)=1,944-0,71e-477t+0,3e-1162t
Искомый токкатушки i2 равняется :
i2=1,944-0,71e-477t+0,3e-1162t(A)
Токи сходятся.
4 этапкурсовой работы
Начертимсхему для расчёта цепи интегралом Дюамеля и рассчитаем её
/>/>
R3
R3
R1
i1 />/>/>/>/>/>/>/> /> /> /> /> /> /> />
C />
ic
Определимпереходную характеристику h1(t) цепи по напряжению UR2.Для этого рассчитаем схему при подключении цепи в начальный момент t=0 кисточнику единичного напряжения. Рассчитаем схему классическим методом. Так какнулевые начальные условия UC(-0)=UC(+0)=0, это значитдополнительных ЕДС не будет.
Напишемуравнения по законам Кирхгофа для цепи:
/>i1-i2-ic=0
i1.R1+i2.R2=U iс=/>
iс.R3-i2.R1+Uc=0i1=i2+iс
/>i1=i2+iс
/> i2(R1+R2)+iсR1=Ui2=/>
iс.R3-i2.R1+Uc=0
iс.R3+Uc-/>+/>
ic/>+/>
/>/>+/>
/>+/>
/>0,00043l+1=0 l= -2322,58 (/>)
UCсв=Ae-2322,58t
UCвын=/> (B)
/>UC=UC св+UCвын=0,278+Ae-2322,58t A=-0,278
UC=0,278-0,278e-2322,58t(B)
iс=/>=25.10-6.0,278.2322,58e-2322,58t=0,016e-2322,58t(A)
Uab=icR3+UC=0,278-0,12e-2322,58t(B)
Такимобразом переходная характеристика h1(t) будет равна
h1(t)=UR2(t)=0,28-0,12.e-2322,58t(В)
t=/> (c)
5этап курсовой работы/> /> /> /> /> /> />
t3 />
/>/>
Длярасчета переходного процесса используем интеграл Дюамеля.
Переходнуюхарактеристику h1(t) возьмем из предыдущего этапа
h1(t)=0,28-0,12.e-2322,58t(В)
tпп=/>(c)
Найдём t, t1,t2, U1/(t), U2/(t):
t=/> (с)
t1=t=0.00043 (c) t2=1,5t=0.00065 (c) t3=2t=0.00086 (c)
U0=20(В); U1=-5 (B); U2=-10 (B);
U1/(t)=0 (/>) U2/(t)=/> (/>)
U3/(t)=/> (/>)
Запишемуравнение UR2(t) для интервала :
/>
UR2=U0.h1(t)+/> (B)t (c) 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.00043 UR2 (B) 3.2 3.697 4.092 4.404 4.652 4.716
Запишемуравнение UR2(t) для интервала :
/>
UR2=U0.h1(t)+/>
+/>
-/>
/> (B)t (с) 0,00043 0.00045 0.0005 0.00055 0.0006 0.00065 UR2 (B) 4,14 3,64 2,37 1,06 -0,27 -1,64
Запишемуравнение UR2(t) для интервала :
/>
UR2=U0.h1(t)+/>
+/>=/>
-/> )+/>
+/> (B)t (c) 0.00065 0.0007 0.00075 0.0008 0.00085 0.00086 UR2(B) -5,145 -4,396 -3,653 -2,914 -2,179 -2,03
Запишемуравнение UR2(t) для интервала :
/>
UR2=U0.h1(t)+/>
+/>
-/>
+/> (B)t (c) 0.00086 0.0009 0.00095 0.001 0.0013 UR2(B) -1,97 -1,79 -1,60 -1,42 -0,707
Строимграфики U(t) и UR2(t) по данным таблиц.