Содержание
Введение
Расчет операторной передаточной функции активного четырехполюсника
Параметрическийсинтез фильтра
Расчет частотных характеристик фильтра
Расчет переходной характеристики фильтра
Анализ полученныхрезультатов
Списокиспользованной литературы
Введение
Активные RC-фильтры
Электрические фильтры, то есть устройства, пропускающиеэлектрические колебания одних частот и задерживающие колебания других, широкоприменяются в современной промышленной электронике. Область частот пропускаемыхколебаний, для которых модуль передаточной функции с заданной точностью равеннекоторому определенному значению, называется полосой пропускания фильтра.Граничные частоты полосы пропускания принято называть частотами среза. Областьчастот задерживаемых колебаний, для которых модуль передаточной функции непревосходит некоторого установленного уровня, называется полосой задерживания.В связи с тем, что идеального разделения полос пропускания и задерживаниядобиться невозможно, говорят об области спада амплитудно-частотнойхарактеристики (АЧХ) фильтра. В зависимости от взаимного расположения полоспропускания и задерживания (рис. 2) различают фильтры нижних частот (ФНЧ),фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ), режекторные (заграждающие)фильтры (РФ).
В общем случае передаточную функцию фильтра с сосредоточеннымипараметрами можно записать в виде отношения двух рациональных выражений(полиномов):
/>=/>,
где />, /> – вещественные числа; /> – комплексная частота.Наибольшая степень /> переменной /> в знаменателе /> соответствует порядкуфильтра.
/> Рис. 2
Особый интерес представляют фильтры первого и второго порядка,так как фильтры более высоких порядков строятся, как правило, на их основе. Дляразличного типа фильтров первого и второго порядков передаточные функции вдробно-рациональной форме приведены в табл. 1 (форма 1).
Таблица 1
Порядок
фильтра
Тип
фильтра Коэффициент передачи фильтра форма 1 форма 2
Фильтры
первого
порядка ФНЧ
/>
/> ФВЧ
/>
/>
Фильтры
второго
порядка ФНЧ
/>
/> ФВЧ
/>
/> ПФ
/>
/> РФ
/>
/>
На практике при описании передаточных функций фильтровпервого и второго порядков принято пользоваться такими параметрами, как коэффициентпередачи фильтра в полосе пропускания />,характеристическая (собственная) частота />=/>, добротность /> (для фильтров второгопорядка), частота режекции />=/> (для РФ). Выражения дляпередаточных функций, получаемые при использовании названных параметров, такжеприведены в табл. 1 (форма 2). Сравнение двух форм записи передаточных функцийпозволяет легко проследить связь параметров фильтров />, />, />, /> с коэффициентами />, />, />, />, />, />.
Анализ установившегося режима при воздействии синусоидальных сигналовпроводят, полагая />=/> (/>,/> – циклическая и угловаячастоты синусоидального колебания; />=/>). Имеющая при этом местозависимость модуля передаточной функции /> отчастоты является уравнением АЧХ фильтра. Обычно значение модуля передаточнойфункции выражается в децибелах:
/>[дБ]=/>.
Коэффициент передачи в полосе пропускания /> в этой формуле соответствуетчастоте />=0 для ФНЧ (/> =/>), />∞ для ФВЧ (/> =/>), />=/> для ПФ (/> =/>).
Для РФ характерными являются коэффициенты передачи на частотах />=0 (/> =/>) и />∞ (/> =/>). Причем выполняется соотношение/>=/>. В случае симметричной АЧХхарактеристическая частота РФ совпадает с частотой максимального затуханияколебаний – частотой режекции (/>=/>), а коэффициенты передачидля нижнего и верхнего участков полосы пропускания равны (/>=/>).
За полосу пропускания фильтра /> обычнопринимают интервал частот, на границах которого модуль передаточной функциипадает до уровня />≈/>, то есть на –3 дБ.
При таком задании полосы пропускания частота среза ФНЧ и ФВЧ первогопорядка совпадает с их характеристической частотой (/>=/>). Близки кхарактеристическим и частоты среза ФНЧ и ФВЧ второго порядка, хотя в общемслучае они различаются (/>≠/>). При />>/> на графиках АЧХ этихфильтров в области частоты /> наблюдается«всплеск», а />>/>. Полное совпадение />=/> имеет место лишь при />=/>.
У ПФ характеристическая частота /> соответствуетчастоте, на которую приходится максимум передаточной функции (для наименованиятакой частоты употребляются термины резонансная или квазирезонансная). Справедливысоотношения:
/>=/>; />=/>–/>=/>,
где />, /> – нижняя и верхняя частотысреза ПФ.
Избирательные свойства фильтров в значительной мере зависят от крутизныих АЧХ в области спада. Крутизна спада /> являетсяхарактерным параметром фильтра и рассчитывается в децибелах на декаду
/> [дБ/дек]=/>,
где />, /> – выборочные частоты вобласти спада.
Декада – практическая единица измерения частотного интервала;соответствует интервалу между частотами /> и/>, различающимися в 10 раз (/>=10; />=1).
Возможны реализации фильтров с использованием лишь одних пассивныхэлементов (пассивные фильтры). Однако в настоящее время построение фильтровчасто проводится с применением активных элементов (активные фильтры), вчастности, операционных усилителей (ОУ). Если подобный активный фильтр изпассивных элементов содержит только емкостные и резистивные элементы, то егоназывают активным RC–фильтром.
Активные RC–фильтры несодержат катушек индуктивности. Индуктивные катушки – это громоздкие элементы(особенно предназначенные для работы при низких частотах). Их микроэлектронноеисполнение весьма затруднительно. Кроме того, в низкочастотном диапазонекатушки индуктивности имеют невысокую добротность.
Активные фильтры выгодно отличаются от пассивных еще и тем,что имеется возможность обеспечения их высокого входного и малого выходногосопротивлений. Это облегчает согласование фильтров при их соединениях междусобой (имеет место независимость АЧХ промежуточных звеньев).
При проектировании сложных фильтров на основе фильтровпервого и второго порядков используются различные комбинации последних. Например,применяется каскадное соединение – выход предыдущего фильтра соединяется совходом последующего. Каскадное соединение звеньев первого и второго порядковпозволяет создать фильтр любого порядка. В этом случае передаточная функцияфильтра равна произведению передаточных функций входящих в его состав элементарныхзвеньев:
/>=/>.
Каскадное проектирование является самым распространенным методомсоздания активных фильтров.
1. Расчет операторной передаточной функции активногочетырехполюсника
На основании исходной схемы четырехполюсника составим операторнуюсхему замещения (рис. 3). Для этого пассивные элементы в исходной схеме заменимпассивными двухполюсниками с соответствующими операторными сопротивлениями(резистивному элементу с сопротивлением /> соответствуетдвухполюсник с операторным сопротивлением />,емкостному с емкостью /> – двухполюсник соператорным сопротивлением />).
/>
Рис.3. Схема замещения фильтра
Осуществим расчет методом узловых напряжений. Проведем топологическийанализ схемы, в ходе которого выявим и пронумеруем узлы. Узел, помеченныйзнаком общей шины, обозначим как нулевой (узел 0) и примем его за базисныйузел. Для операторных изображений узловых напряжений узлов 1–4 введемобозначения />–/>. При этом отметим, что />=/>, />=/>. Запишем системууравнений:
U11(g1+g2+pC1)-U22pC1-U44g2=Eg1
-U11pC1+U22(g3+pC1+pC2)=0
U33(g4+g5)-U44g5=0
U44=k(U22-U33)
При /> имеемU22=U33
U11(g1+g2+pC1)-U22pC1-U44g2=Eg1
-U11pC1+U22(g3+pC1+pC2)=0
U22(g4+g5)-U44g5=0
В матричной форме система узловых уравнений примет вид
/>
Из этой системы линейных уравнений по правилу Крамера могут бытьопределены операторное изображение узлового напряжения выхода четырехполюсника:
/>=/>,
/>
/>
Операторная функция передачи рассматриваемого активного четырехполюсникабудет равна
/>
/>
/> в виде дробно-рациональнойфункции:
/>где
/>=С1g1(g4+g5)
/>=g3g5(g1+g2)
/>=C1C2g5
/>=C1g1g5-C1g2g4+C2g1g5+C1g3g5+C2g2g5
2.Параметрический синтез фильтра
Сравним между собой две употребляемые формы записи передаточной функции /> ПФ второго порядка (см.табл. 1, формы 1, 2),
/>/>
можно видеть, что
/>
/>=/>, />=b1/b2, />
в результате получаем />=/>; />=/>=/>; />=/>.
Таким образом, для определения параметров (параметрического синтеза) семипассивных элементов (/>, />, />–/>) заданной цепи, удовлетворяющейзаданным электрическим свойствам, имеем три уравнения. Недостающие уравненияполучим, наложив следующие дополнительные условия. Исходя из сокращенияноменклатуры номиналов элементов и в целях обеспечения относительно большоговходного сопротивления каскадов положим />=/>=/>=10нФ, />=/>=/>=1000 Ом.
Воспользуемся полученными в пункте 1 выражениями для коэффициентов />, /> дробно-рациональногопредставления передаточной функции /> черезпараметры элементов схемы />, />, />–/>. В результате подстановкиполучим
/>/>
/>
/>
Отсюда находим
/> R5=/>
/> R3=114ОМ
/>
Параметры всех элементов фильтра определены. Их конкретные значениявыбраны в соответствии с рядами номинальных значений сопротивлений резисторов иемкостей конденсаторов.
Численные значения коэффициентов дробно-рационального представленияпередаточной функции />=/> рассчитанного ФНЧ равны:
/>=1.013∙10-14 ;
/>=1.277 ∙10-10
/>=1.299∙10-21;
/>=2.099∙10-16 ;
Нули /> и полюсы /> фильтра определим изуравнений
M(p0)=1.013∙10-14 p0=0
N(p*)=1.299∙10-21p*2 +2.099∙10-16 p* +1.277 ∙10-10 =0
Получаем, что фильтр имеет один нуль и двакомплексно-сопряженных полюса: />=0 рад/с;/>=-80792±ј∙302950рад/с.
Графическое изображение расположения нулей и полюсов функциина плоскости операторной переменной р=α+jwназывается диаграммой или картой нулей и полюсов
Полюсно–нулевая карта, построенная по этим данным, представлена на рис.4.
/>
3.Расчет частотных характеристик фильтра
Уравнение комплексной передаточной функции /> можетбыть получено из уравнения операторной передаточной функции /> при замене операторнойпеременной /> на мнимую частоту />:
/>=/>.
В свою очередь, после выделения действительных />, /> и мнимых />, /> составляющих числителя /> и знаменателя /> дробного выражениякомплексной передаточной функции
/>=/>=/>,
легко находятся уравнения АЧХ и ФЧХ цепи:
/>=/>=/>;
/>=/>=/>-/>;
/>=/> при />;
/>=/> при />, />;
/>=/> при />, />;
/>=/> при />;
/>=/> при />, />;
/>=/> при />, />.
Уравнения АЧХ и ФЧХ фильтра получим из дробно-рационального выражения егооператорной функции передачи:
/>=/>
Положив />=/>, получим выражение длякомплексной передаточной функции:
/>=/>=/>=
=/>
Определив модуль этого комплексного выражения, найдем уравнение АЧХфильтра:
/>=/>=/>=/>
Для нахождения уравнения ФЧХ нужно найти аргумент функции />:
/>=/>=/>=/>-/>.
Оставаясь действительным, полином числителя
/>=/>
при любой частоте не меняет свой знак. Поэтому />=0 при любой/> (/>≥0).
У полинома знаменателя
/>= />
действительная часть
/>=/>
при частоте ω>313538 рад\с меняет знак. Взависимости от знака действительной части аргумент комплексной функции будетопределяться по разным формулам:
/>=/>
при 0≤/>>0);
/>= />
при />≥313538 рад/с (/>
/>=/>
при />=313538 рад/с
Таким образом, уравнение ФЧХ будет выглядеть следующим образом
/>=-/>
при 0≤/>
/>=/>
при />>313538рад/с
/>=/>
при />=313538 рад/с
По полученным уравнениям (задавая с определенным шагом значения /> и вычисляя соответствующиезначения />=2π/>) можно построить графикиАЧХ /> и ФЧХ /> фильтра, а также диаграммуАФХ. Для построения амплитудно–фазовой характеристики (АФХ или частотногогодографа) целесообразно воспользоваться не показательной формой комплексногопараметра KU(jf)=K(ω)ехр(jφ(f)), аалгебраической КU(jf)=A(f)+jB(f)=K(f)cosφ(f) + j K(f)sinφ(f).
По графику определим частоту среза /> полосу пропускания />, крутизну спада амплитудно-частотнойхарактеристики />:
/>/>
/> Дб/дек /> Дб/дек
/>н=39300Гц
/>н=63300Гц
/>→63300-39300=24000Гц
Расчет частотных характеристик всегда проводят в определенном диапазоне частот, в котором проявляются основные частотныесвойства электрической цепи. Величину диапазона частот можно определить пополюсно-нулевой карте операторной функции.
В качестве нижней граничнойчастоты fн можнопринять значение, близкое к величине
/>
где Smin – расстояние от начала координатдо ближайшей особой точки (нуля или полюса)
Это расстояние определяетсякак модуль особой точки: S =p0или S=p*.
За верхнюю граничную частоту fв можно взять значение
/>
где Smax –расстояние от начала координат до самой удаленной особой точки. Рассчитаемграничные частоты для нашего примера.
p0=0 рад/c, />
Следовательно, Smin=p0, Smax=p*,
/>
/>
/>
/>
4.Расчет переходной характеристики фильтра
По формуле />=/> найдем операторноеизображение переходной характеристики /> фильтра.Используя выражение для операторной передаточной функции /> из пункта 3, запишем
/>=/>=/>
Определение оригинала переходной характеристики /> по данному изображению /> осуществим по теоремеразложения. Для этого вычислим корни уравнения
/>=/>=0,
которые являются полюсами операторной функции />.Она имеет два комплексно-сопряженных полюса:
/>=– 80792+ј∙302950; />= – 80792-ј∙302950рад/с.
Воспользуемся формулой теоремы разложения для случая трех простых (некратных)полюсов, один из которых нулевой:
/>=/>+/>+/>.
/>h(t)=/>+ +/>
/>Проведяпреобразования, получим искомое уравнение переходной характеристики фильтра:
/>
В ходе преобразований при подобных вычислениях полезно помнить формулы
/>; />;
Расчет переходной характеристики проводят в определенном временноминтервале и с определенным шагом изменения времени, которые зависит отвида функции, составляющих переходную характеристику.
Временной интервал 0 ÷ T1определяется показателем экспоненты s и принимаетсяпримерно равным
T1 = (4 ÷ 5)/s=/>
Шаг изменения времени T2 можно оценить по периоду T гармонического колебания
T = 2/>/w =6.28/302950=2,074∙/> с.
Если принять 10 точек на период T, то шагизменения времени T2 будет равным
/>
/>
5.Анализ полученных результатов
В случае /> конфигурацияцепи упрощается, т.к. емкостные сопротивления стремятся к нулю и емкостныеэлементы следует закоротить.
Рассмотрим уравнения АЧХ и ФЧХ при условии:
/>
а) />=-/>
при 0≤/>
б) />=/>
при />>313538рад/с
в) />=/>
при />=313538 рад/с
так как у нас />, то для ФЧХбудем применять формулу б).
/>
/>
В случае /> (режимпостоянного тока) конфигурация цепи упрощается, так как постоянный ток непротекает через емкостные элементы. Поэтому для определения передаточнойфункции на постоянном токе емкостные элементы следует заменить разрывом цепи.
/>
/>
При w=313538 рад/с имеем
/>
/>=/>
Список использованной литературы
1. Расчётлинейных активных RC-цепей: Методические указания квыполнению курсового проекта по курсу «Теоретические основы электротехники».Старцев С.А. –КГЭУ, Казань, 24с.
2. Расчет частотных и переходных характеристик линейныхактивных цепей: методическое пособие по курсовой работе. В.А. Михайлов, Э.И.Султанов. Казан. гос. техн. ун-т. Казань, 2001, 27 с.
3.Основыпромышленной электроники/Под ред. В. Г.Герасимова. М.: Высшая школа, 1986.