Индивидуальное задание
№ п/п
Раздел 1
Раздел 2
/>
ПФ объекта управления, />
/>
/>
/>
/>
/> *
/>
/> 20 30 0.02 0.05 0.5
1 Повышение точности системы путем увеличения порядка астатизма системы
1.1 Исследованиестатической системы
система автоматическийуправление астатизм коррекция
Всоответствии с индивидуальным заданием пронаблюдаем за влиянием степениастатизма системы на точность и устойчивость системы автоматическогоуправления, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии представленавыражением:
/>. (1.1)
Система взамкнутом состоянии является статической, тогда исходя из аналитическихрасчетов:
— ошибка поположению равна;
— ошибка поскорости и ускорению равна />.
Переходнаяфункция замкнутой системы представлена на рисунке 1.1.
Из рисунка1.1 видно, что статическая ошибка системы равна />, что соответствует аналитическимрасчетам.
/>
Рисунок 1.1 – Переходнаяфункция статической замкнутой системы
Длянаблюдения за реакцией системы на различные воздействия удобно составить M-file со следующим программнымкодом:
/>
/>
Такимобразом, получим переходные процессы изменения выходной величины и сигналаошибки от функции Хевисайда, линейно нарастающего воздействия и сигнала,увеличивающегося с постоянным ускорением (рисунок 1.2).
/>
а)
/>
б)
/>
в)
Рисунок 1.2 – Реакциястатической системы на различные входные воздействия
а) переходнаяфункция;
б) реакция налинейно нарастающий сигнал;
в) реакция насигнал, увеличивающийся с постоянным ускорением1.2 Исследованиесистемы с астатизмом первого порядка
Для повышенияточности системы в установившихся режимах можно повысить порядок астатизмасистемы, для чего необходимо передаточную функцию разомкнутой системы (1.1)разделить на оператор Лапласа:
/>
По ЛАЧХ иЛФЧХ разомкнутой системы (рисунок 1.3) можно сказать, что система в замкнутомсостоянии будет устойчива. Тогда рассчитаем аналитически ошибки системы втиповых режимах:2.5
— ошибка поположению равна />;
— ошибка поскорости /> 1/ 24 =0,042
— ошибка поускорению равна />.
Эти значениясоответствуют результатам построения переходных процессов (рисунок 1.4).
/>
Рисунок 1.3 –Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы с астатизмом 1-гопорядка
/>
а)
/>
б)
/>
в)
а) переходнаяфункция;
б) реакция налинейно нарастающий сигнал;
в) реакция насигнал, увеличивающийся с постоянным ускорением
Рисунок 1.4 – Реакциясистемы с астатизмом 1-го порядка на типовые входные воздействия1.3 Исследованиесистемы с астатизмом второго порядка
Приувеличении порядка астатизма системы до второй степени система становитсянеустойчивой (рисунок 1.5), поэтому нет смысла рассматривать точность системы вустановившихся режимах.
Анализируявлияние астатизма системы на точность и устойчивость, можно сделать следующиевыводы:
/>
Рисунок 1.5 –Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы с астатизмом 2-гопорядка
2 Коррекция путем изменения коэффициента усиления системы2.1 Исследованиевлияние величины коэффициента усиления разомкнутой системы на запасыустойчивости
Всоответствии с индивидуальным заданием пронаблюдаем за влиянием коэффициентаусиления системы пропорционального регулятора на устойчивость, точность икачество системы автоматического управления.
Передаточнаяфункция объекта управления:
/>. (2.1)
Распределениенулей и полюсов замкнутой системы и частотные характеристики разомкнутойсистемы (рисунок 2.1) говорят о неустойчивости замкнутой системы при единичномкоэффициенте усиления пропорционального регулятора.
/>
Рисунок 2.1 — Распределение нулей и полюсов замкнутой системы и частотные характеристикиразомкнутой системы
Длянаблюдения влияния величины пропорционального регулятора на устойчивость,точность и качество системы автоматического управления создадим M-file со следующим программнымкодом:
/>
Анализируялогарифмические частотные характеристики разомкнутой системы (рисунок 2.2),можно сказать, что при увеличении коэффициента усиления системы ЛАЧХ смещаетсявверх, при этом увеличивается частота среза, следовательно, запасы устойчивостипо амплитуде и по фазе уменьшаются.
/>
Рисунок 2.2 — Логарифмическиечастотные характеристики разомкнутой системы при изменении коэффициентаусиления регулятора2.2 Исследованиезависимости ошибки в установившихся режимах от коэффициента усиления системы
Из рисунка1.2 видно, что из пяти выбранных устойчивыми являются только первые две системыс коэффициентами усиления регуляторов /> и />. Проанализируем качество систем сэтими регуляторами. Для этого дополним M-file следующим программнымкодом :
/>
Аналитическийрасчет ошибок системы в типовых режимах дает следующие результаты:
система с />:
— ошибка поположению равна />;
— ошибка поскорости />;
— ошибка поускорению равна />;
система с />:
— ошибка поположению равна />;
— ошибка поскорости />;
— ошибка поускорению равна />.
Анализируяполученные результаты и графики переходных процессов (рисунок 2.3), можносделать следующие выводы: при увеличении (уменьшении) коэффициента усилениясистемы ее устойчивость уменьшается (увеличивается), увеличивается (уменьшается)перерегулирование, колебательность и время переходного процесса, возрастает(снижается) быстродействие, точность системы повышается (понижается).
/>
a)
/>
б)
а) переходнаяфункция;
б) реакция налинейно нарастающий сигнал
Рисунок 2.3 – Влияниекоэффициента усиления на качество системы
2.3 Определениекоэффициента усиления пропорционального регулятора для получения требуемогокачества системы
Виндивидуальном задании необходимо обеспечить следующие показатели качествауправления:
— запасустойчивости по амплитуде />;
— запас устойчивостипо фазе />;
— максимальная ошибка слежения /> при задающем воздействии,максимальная скорость и ускорение изменения которой /> и/>.
Т.к. у нассистема с астатизмом первого порядка, следовательно, составляющая ошибки поположению равна 0, а составляющая ошибки по скорости определится как />. Откуда />.
Значит,минимальный коэффициент усиления разомкнутой системы должен быть не меньше, чем/>.
Дляпостроения запретной зоны удобно воспользоваться программным кодом:
/>
После чегонакладываем ограничения на систему (рисунок 2.4), опускаем ЛАЧХ разомкнутойсистемы (путем уменьшения коэффициента усиления регулятора) практически дозапретной зоны, чтобы обеспечить требуемые запасы устойчивости (рисунок 2.5).
/>
Рисунок 2.4 – Менюпостроения запретной зоны
/>
Рисунок 2.5 – Настройкакоэффициента усиления регулятора
Хорошиезапасы устойчивости достигаются при />.
Экспортируемпараметры регулятора в рабочую область MATLABа (Workspace) (рисунок 2.6). Послечего пронаблюдаем за реакцией системы на типовые воздействия (рисунок 2.7):
/>
/>
Рисунок 2.6 – Экспортпараметров регулятора в Workspace
/>
а)
/>
б)
/>
в)
а) переходнаяфункция;
б) реакция налинейно нарастающий сигнал со скоростью />;
в) реакция насигнал, увеличивающийся с постоянным ускорением />
Рисунок 2.7 – Реакциясистемы на типовые входные воздействия
Максимальнаядинамическая ошибка системы на рисунке 2.7, а) (/>) и рисунке 2.7, б) (/>) говорят отом, что во входном воздействии не учитывались либо максимальная скорость, либомаксимальное ускорение. Однако видно, что установившаяся ошибка по положениюравна нулю, установившаяся ошибка по скорости меньше требуемой.
Для учетамаксимального ускорения изменения входного сигнала и ограничения его поскорости построен график, изображенный на рисунке 2.7, в). Из графика видно,что максимальная динамическая ошибка /> меньшетребуемой по заданию. Однако при создании регулятора учитывалась толькосоставляющая ошибки по скорости. При подаче сигнала, изменяющегося с большимускорением, необходимо учитывать составляющую ошибки по ускорению, иначединамическая ошибка может превысить заданную (рисунок 2.8).
/>
Рисунок 2.8 – Реакциясистемы на сигнал, увеличивающийся с постоянным ускорением />
В данномслучае погрешность позиционирования не такая уж и большая, однако частотребуется устранить и такую погрешность, для чего воспользуемся выражением для определениявеличины ошибки астатической системы при параболическом входном воздействии [1,с. 208-210]:
/> (2.2)
Из выражения(2.2) определяем необходимый коэффициент усиления системы />, тогда />. При таком коэффициенте корректирующегоустройства максимальная динамическая ошибка меньше, чем требуемая по заданию(рисунок 2.9).
/>
Рисунок 2.9 – Реакциясистемы на сигнал, увеличивающийся с постоянным ускорением />
Однако притаком регуляторе и таких параметрах входного воздействия не удаетсяодновременно удовлетворить требованиям точности и запасам устойчивости системы(рисунок 2.10). Следовательно, безынерционный регулятор в данном случае неможет справиться с отработкой входного воздействия, меняющегося с большимускорением, значит, необходимо применить другие виды регуляторов.
/>
Рисунок 2.10 — Распределение нулей и полюсов замкнутой системы и частотные характеристикиразомкнутой системы при />
Вывод:
· преимуществапропорционального регулятора:
– наиболеепростой способ обеспечения запаса устойчивости
– простаяреализация
· недостаткипропорционального регулятора:
– невозможнодобиться устойчивости и одновременной точности САР
· П-регуляторпредставляет собой усилительное звено с коэффициентом усиления К. Передаточнаяфункция регулятора имеет вид: />.
3 Коррекция с отставаниемпо фазе (применение интегрирующих звеньев)3.1 Требования ксистеме управления
Всоответствии с индивидуальным заданием необходимо обеспечить следующиепоказатели качества:
— запасустойчивости по амплитуде />;
— запасустойчивости по фазе />;
— максимальная ошибка слежения /> призадающем воздействии, максимальная скорость и ускорение изменения которой /> и />;
— времярегулирования />;
— перерегулирование />.
В связи сужесточившимися по сравнению с пунктом 2 требованиями к качеству регулированияприменением пропорционального регулятора невозможно добиться устойчивости иодновременной точности системы автоматического регулирования. Для коррекцииобъекта управления (2.1) в данном случае следует применить интегрирующеекорректирующее устройство, имеющее передаточную функцию:
/>.
Причем />.
3.2 Аналитическоеопределение параметров регулятора
Для настройкипараметров регулятора воспользуемся методикой, представленной в [2, с. 338 — 342]:
1. Дополним передаточнуюфункцию объекта коэффициентом />, удовлетворяющим требования ксистеме в области низких частот:
/>.
Следовательно,
/>.
2. Определим частоту, накоторой />.
Излогарифмических частотных характеристик разомкнутой системы (рисунок 3.1)видно, что система обладает запаздыванием по фазе /> на частоте />.
3. Зададим значение нулярегулятора:
/>
4. Определим значение полюсарегулятора:
/>
5. В результате передаточнаяфункция регулятора примет вид:
/> (3.1)
/>
Рисунок 3.1 –Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы
ЛЧХскорректированной системы (рисунок 3.2) говорят о том, что с помощьюсинтезированного корректирующего устройства удалось добиться приемлемых (покрайней мере близких к требуемым) показателей качества системы. Однакорегулятор еще требует «подгонки».
Дляпостроения регулятора с отставанием по фазе удобно воспользоваться следующимпрограммным кодом:
/>
/>
Рисунок 3.2 –Логарифмические частотные характеристики скорректированной системы3.3 Определениепараметров регулятора с помощью среды Control System Toolbox
Болеепрофессиональный подход к синтезу интегрирующего корректирующего устройстваможет быть осуществлен при помощи MATLAB Control System Toolbox. Для этого запускаемфункцию sisotool(«объект управления») и создаем запретные зоны (рисунок 3.3):
/>
/>
Рисунок 3.3 – Запретныезоны на логарифмических частотных характеристиках объекта управления и корневомгодографе
Анализрисунка 3.3 позволяет сказать о неустойчивости замкнутой системы и наметитьпути дальнейшей коррекции системы:
— необходимодобавить регулятор интегрирующего типа (полюс и ноль корректирующегоустройства);
— можноуменьшить коэффициент усиления, приблизив ЛАЧХ к запретной зоне.
Изменяявеличины нуля, полюса и коэффициента усиления регулятора, добиваемся требуемыхпоказателей качества (рисунки 3.4 и 3.5). Передаточная функция регулятора(рисунок 3.6) имеет следующий вид:
/>
Сравнениерезультатов (3.1) и (3.2) говорит о схожести регуляторов, и выбор егоконкретной конфигурации лежит в области инженерного творчества и долженопираться на соображения целесообразности, простоты реализации и минимизациистоимости.
/>
Рисунок 3.4 – Частотныехарактеристики и корневой годограф скорректированной системы управления
/>
Рисунок 3.5 – Переходнаяфункция скорректированной системы
/>
Рисунок 3.6 – Частотныехарактеристики объекта управления, регулятора и скорректированной системы
ЭкспортируемПФ регулятора в рабочую область MATLABа и определим ошибку системы при типовыхвоздействиях (рисунок 3.7):
/>
/>
а)
/>
б)
/>
в)
а) реакция налинейно нарастающий сигнал со скоростью />;
б) реакция насигнал с постоянным ускорением />;
в) реакция насигнал с постоянным ускорением />
Рисунок 3.7 – Реакциясистемы на типовые входные воздействия
Как видно изграфиков переходных процессов, установившаяся ошибка при линейно нарастающемвоздействии меньше требуемой по заданию, однако неучтенная составляющаяпогрешности по ускорению является существенной даже при ускорении сигнала /> (рисунок 3.7). Дляустранения этой погрешности необходимо произвести перерасчет регулятора сучетом перестройки запретной зоны по коэффициенту усиления. Для этоговоспользуемся методикой, описанной, например, в [3].
/>
Приперестроении запретной зоны (рисунок 3.8) выясняется, ЛАЧХ скорректированнойсистемы заходит в запретную зону, чем и объясняется неудовлетворительнаяточность позиционирования системы при параболическом входном воздействии(рисунок 3.7, б).
/>
Рисунок 3.8 – Частотныехарактеристики и корневой годограф скорректированной системы управления сперестроенной запретной зоной
Следовательно,для получения удовлетворительной точности системы по всем требованиямнеобходимо применять другой тип регулятора.
Вывод:
· преимуществаПИ-регулятора:
–характеристики системы в области низких частот лучше, чем в случае коррекции засчет изменения коэффициента усиления
– запасыустойчивости сохраняются и улучшаются
– снижаетсячувствительность к высокочастотному шуму
· недостаткиПИ-регулятора:
–неудовлетворительная точность позиционирования системы при параболическомвходном воздействии
– меньшеебыстродействие, более длительное время установления
· ПИ-регуляторприменяется в области низких частот
· ПИ-регулятор– регулятор с отставанием по фазе. Его передаточная функция имеет вид: />, где />
4Коррекция с опережением по фазе (применение дифференцирующих звеньев)
4.1 Требования к системеуправления
Всоответствии с индивидуальным заданием необходимо обеспечить следующиепоказатели качества:
— запасустойчивости по амплитуде />;
— запасустойчивости по фазе />;
— максимальная ошибка слежения /> призадающем воздействии, максимальная скорость и ускорение изменения которой /> и />;
— времярегулирования />;
— перерегулирование />.
Для коррекцииобъекта управления (2.1) применим дифференцирующее корректирующее устройство,имеющее передаточную функцию:
/>.
Причем />.
Еслирегулятор с отставанием по фазе применяется в области низких частот, тодифференцирующий регулятор – в среднечастотной области для поднятия фазовойхарактеристики с целью увеличения запаса устойчивости по фазе.
Простымкоэффициентом усиления не удается совместить требование устойчивости системы ипоказателей качества (рисунок 4.1). Введение в систему последовательногокорректирующего устройства дифференцирующего типа (рисунок 4.2) позволяетдобиться устойчивости, требуемого запаса устойчивости по амплитуде,быстродействия, приемлемого запаса устойчивости по фазе. Однако некоторыепоказатели качества (такие как перерегулирование (рисунок 4.3) и запасустойчивости по фазе) выходят за рамки требуемых.
Передаточнаяфункция корректирующего устройства имеет вид:
/>(4.1)
Недостаткомтакого типа регулятора является возможные большие сигналы на выходе регулятора(рисунок 4.4), способные вывести систему из строя или заставить ее работать внелинейном режиме.
Реакцияскорректированной системы на типовые воздействия (рисунок 4.5, в) говорит ополном соответствии скорректированной системы требованиям точностипозиционирования.
/>
Рисунок 4.1 – Частотные характеристикисистемы управления, скорректированной изменением коэффициента усиления
/>
Рисунок 4.2 – Частотныехарактеристики системы управления, скорректированной дифференцирующим устройством
/>
Рисунок 4.3 – Переходнаяфункция скорректированной системы
/>
Рисунок 4.4 – Переходнаяфункция скорректированной системы и
сигнала с выходарегулятора
/>
а)
/>
б)
/>
в)
Рисунок 4.5 – Реакциясистемы на типовые входные воздействия
/>а) переходная функция;
б) реакция налинейно нарастающий сигнал со скоростью />;
в) реакция насигнал, увеличивающийся с постоянным ускорением />
Вывод:
· преимуществаДиференцирующего-регулятора:
– позволяетдобиться устойчивости, требуемого запаса устойчивости по амплитуде,быстродействия, приемлемого запаса устойчивости по фазе
· недостаткиДиференцирующего-регулятора:
– некоторыепоказатели качества (такие как перерегулирование (рисунок 4.3) и запасустойчивости по фазе) выходят за рамки требуемых
– на выходерегулятора могут появляться большие сигналы, способные вывести систему из строяили заставить ее работать в нелинейном режиме
– система сДиференцирующего-регулятором более чувствительна к высокочастотному шуму
· Диференцирующего-регуляторприменяется в средне частотнойобласти
5Коррекция с опережением и отставанием по фазе (применениеинтегро-дифференцирующих звеньев)5.1 Требования ксистеме управления
Всоответствии с индивидуальным заданием необходимо обеспечить следующиепоказатели качества:
— запасустойчивости по амплитуде />;
— запасустойчивости по фазе />;
— максимальная ошибка слежения /> призадающем воздействии, максимальная скорость и ускорение изменения которой /> и />;
— времярегулирования />;
— перерегулирование />.5.2 Аналитическоеопределение параметров регулятора
Для настройкипараметров регулятора воспользуемся методикой, представленной в [2, с. 355 — 359]:
1. Займемся синтезом частирегулятора, обеспечивающей отставание по фазе. Зададим запас устойчивости пофазе в />.Определяем частоту, на которой фазовый сдвиг функции /> равен />. />, тогда />. Разомкнутая система начастоте /> обладаеткоэффициентом передачи 2,321, тогда />.
2. Получаем передаточнуюфункцию регулятора: />
3. Чтобы синтезироватьрегулятор с опережением по фазе, используем частотные характеристикиразомкнутой системы с передаточной функцией />.
4. Регулятор долженобеспечивать запас устойчивости по фазе в />. Определяем частоту, на которойфазовый сдвиг функции /> равен />. />
5. При этом значениечастотной функции эквивалентной разомкнутой системы равно />. Тогда требуемый фазовыйсдвиг, создаваемый регулятором, должен быть равен />.
6. Определяем коэффициенты,необходимые для нахождения ПФ регулятора:
/>
/>
7. Передаточная функциярегулятора примет вид: />
8. Результирующая ПФрегулятора с отставанием и опережением по фазе будет равна: />
Для коррекцииобъекта управления (2.1) применим дифференцирующее корректирующее устройство,имеющее передаточную функцию:
/>.
Введение всистему последовательных корректирующих устройств дифференцирующего илиинтегрирующего типа не позволяет добиться требуемых запасов устойчивости приодновременном удовлетворении остальных показателей качества, таких как перерегулированиеи время регулирования. Введение в систему последовательного корректирующегоустройства интегро-дифференцирующего типа (рис. 5.2) позволяет добитьсяодновременного удовлетворения всех показателей качества (рис. 5.3).
Передаточнаяфункция корректирующего устройства имеет вид (рис. 5.1):
/> (5.1)
Реакцияскорректированной системы на типовые воздействия (рисунок 5.4) говорит о полномсоответствии скорректированной системы требованиям точности позиционирования.
/>
Рисунок 5.1 – Частотныехарактеристики объекта управления, регулятора и скорректированной системы
/>
Рисунок 5.2 – Частотныехарактеристики системы управления, скорректированной интегро-дифференцирующимустройством
/>
Рисунок 5.3 – Переходнаяфункция скорректированной системы
/>
а)
/>
б)
а) реакция налинейно нарастающий сигнал со скоростью />;
б) реакция насигнал, увеличивающийся с постоянным ускорением />
Рисунок 5.4 – Реакциясистемы на типовые входные воздействия
Вывод:
· преимуществаПИД-регулятора:
– большаягибкость по сравнению с ПИ- и ПД-регуляторами.
– обеспечиваетодновременное удовлетворение всех показателей качества системы
· ПИД-регуляторприменим в области низких частот (интегральная составляющая) и в областивысоких частот (дифференциальная составляющая).
· ПИД-регуляторпредставляет собой комбинацию ПИ- и ПД-регуляторов. Его передаточная функцияимеет вид: />
Перечень ссылок:
1. Теория системавтоматического регулирования. Бесекерский В.А., Попов Е.П., издательство«Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М. 1972, 768 стр.
2. Филлипс Ч., Харбор Р.Системы управления с обратной связью. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 –616 с.: ил.
3. В.Н. Бакаев. Теорияавтоматического управления: учебное пособие. Вологодский государственныйтехнический университет, кафедра дистанционного и заочного обучения. Вологда2004. Электронная версия.