1. Передатні функції імпульсних автоматичних систем
Структурнізображення і передатні функції складають основу для інженерних розрахунківімпульсних автоматичних систем. Вони дозволяють у значній мірі полегшитирішення задач дослідження.
Длядослідження динамічних властивостей системи в першу чергу необхідно визначитиїї передатні функції, що, як відомо, установлюють залежність між вхіднимвпливом і реакцією системи (ланки). Звичайно в розгляд уводять, як і придослідженні безупинних систем, такі передатні функції: передатну функціюрозімкнутої імпульсної системи і передатну функцію помилки.
Передатноюфункцією розімкнутої імпульсної системи називається відношення зображень усмислі дискретного перетворення Лапласа вихідного і вхідного імпульснихсигналів при нульових початкових умовах:
/>
Аналогічновизначається ця передатна функція в смислі Z – перетворення:
/>.
Основне завдання полягає в тому, щоб визначити передатнуфункцію W(z) по відомій передатній функції приведеної безупинної частинисистеми W(p). Цю задачу вирішують у такій послідовності:
1. По передатнійфункції W(p) у результаті застосування зворотного перетворення Лапласазнаходять функцію ваги ПНЧ:
/>
2.По функції ваги ПНЧ w(t) визначають аналітичне вираження для відповідноїдискретної функції ваги w(n).
3. Шуканупередатну функцію W(z) одержують як Z — перетворення дискретної функції вагиПНЧ:
/>
Основна передатнафункція замкнутої імпульсної системи дозволяє обчислити реакцію замкнутоїсистеми хВИХ(пТ) на вплив, що задає, Хвх(пт). Її визначають, як і вбезупинних системах, відповідно до рівняння замикання через дискретну передатнуфункцію розімкнутої системи:
/>. (1)
Передатну функціюзамкнутої системи завжди можна подати у вигляді відносини двох поліномів щодоперемінної z:
/>. (2)
Запишемо цейвираз в розгорнутому вигляді:
/>. (3)
Лівачастина цього рівняння (у дужках) є характеристичний поліном замкнутоїімпульсної системи М(z).
У результатіпереходу від зображень до оригіналів у формулі (3) легко одержати відповіднерізницеве рівняння системи М(z).
/>
Аналогічноможна одержати різницеве рівняння розімкнутої системи по передатній функціїW(z).
Передатна функціяпомилки визначається через передатну функцію розімкнутої системи за формулою
/>. (4)
Знаючивплив, що задається, і цю передатну функцію, можна оцінити динамічну точністьімпульсної системи – знайти дискретну функцію помилки ε(nT).
Розглянемоконкретний приклад визначення передатних функцій імпульсної системи. Визначимопередатні функції системи, структурна схема якої зображена на рис. 1.
/>
Рисунок 1 –Структурна схема імпульсної системи
Яквидно з рисунка, у прямого ланцюзі системи є найпростіший імпульсний елемент(фіксатор) і безупинна частина (інтегруюча ланка).
Передатнафункція приведеної безупинної частини:
/> .
Дискретнупередатну функцію розімкнутої системи знаходимо відповідно до методики,викладеної вище:
/>. (5)
Різницеверівняння розімкнутої системи визначаємо, у разі потреби, безпосередньо з (5):
/>
Знаючи W (z),легко знайти основну передатну функцію замкнутої системи:
/>. (6)
Динамічніпроцеси в замкнутій імпульсній системі описуються таким різницевим рівнянням,отриманим з (6) шляхом переходу до оригіналів:
/> .
2. Оцінка стійкості імпульсної автоматичної системи
Необхідноюумовою працездатності імпульсної системи є її стійкість. Відомі з попередніхлекцій основні визначення стійкості безупинних систем застосовні і доімпульсних систем, але з урахуванням ряду особливостей цих систем.
Звернемосядо основного формулювання умови стійкості: імпульсна система стійка, якщо їївласний рух з часом загасає.
Якуже відзначалося, на практиці часто обмежуються визначенням дискретної функціїXВИХ(n) на виході системи. Це рішення можна одержати, наприклад, зформули (4) у вигляді суми вільної і змушеної складової:
/>
Таким чином,умову стійкості системи варто записати так:
/>
Оцінку стійкостіімпульсної системи, як і безупинної, звичайно роблять на підставі дослідженняхарактеристичного рівняння замкнутої системи, яке одержують з (3):
/> (7)
Цеалгебраїчне рівняння має m коренів zi на площині z. Але, оскількиперемінна z з'явилася в зв'язку з підстановкою />,то кожен корінь zi зв'язаний з коренями pi на площині pзалежністю />
Легкопомітити, що нульовому кореню, наприклад, p1=0, відповідає корінь zi=1,а кореням pt з негативними дійсними частинами відповідають корені: />
Теперможна дати формулювання математичної умови стійкості: імпульсна автоматичнасистема стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння (7) лежатьусередині кола одиничного радіуса, побудованого на початку координаткомплексної площини z (рис. 1, точки z1,, z2,,z3,z4, z5 ).
Якщохоча б один з коренів лежить на колі з радіусом R = 1, то система знаходитьсяна межі стійкості (рис. 2, точка z6).
Занаявності коренів />система хитлива(рис. 1, точка z7).
/>
Рисунок 2 –Комплексна площина Z
Визначеннякоренів характеристичного рівняння (7) при m ³ 3 поєднано з відомимитруднощами. Тому на практиці знаходять застосування непрямі оцінки — критеріїякості, що дозволяють оцінювати стійкість імпульсних систем без визначеннякоренів.
До імпульснихсистем можна застосувати кожен з відомих критеріїв стійкості безупинних систем.Однак для цього попередньо необхідно зробити білінійне перетворення поліномаМ(z) у поліном М(w) за формулою
/>. (8)
Такеперетворення дозволяє відобразити одиничне коло площини Z (рис. 2) у лівучастину комплексної площини p, аналогічну області стійкості безупинних системна площині p.
Дохарактеристичного рівняння М(w) = 0, що також має порядок т, застосовні алгебраїчнікритерії стійкості І. А. Вишнєградского і Гурвіца. Оцінимо стійкість двохконкретних систем.
Приклад 1.Імпульсна система першого порядку має характеристичне рівняння/>
/>/> .
Після підстановки(8) одержимо
/>
або
/>
Система першогопорядку стійка, якщо коефіцієнти її характеристичного рівняння позитивні:
/>
/>.
Досліджуємостійкість імпульсної системи з передатною функцією (6) (рис.2).
Характеристичнірівняння цієї системи
/>
/>
Звідси одержуємодві умови стійкості:
/>
/> .
Другаумова розкриває важливу властивість досліджуваного класу систем: стійкістьімпульсної системи залежить не тільки від загального коефіцієнта передачі врозімкнутому стані kv, як це має місце і у безупинних системах, алеі від періоду дискретності Т: чим більше Т, тим складніше забезпечити стійкістьсистеми, при незмінному kv..
Приклад 2.Характеристичне рівняння імпульсної системи другого порядку
/>
Після переходу доперемінного w одержуємо
/>
Система стійка,якщо коефіцієнти її характеристичного рівняння позитивні:
/>
/>
/>
Ці три нерівності дозволяють оцінити стійкість імпульсноїсистеми.
Досліджуютьстійкість систем третього і вищих порядків за допомогою критерію Гурвіца.
3. Якістьпроцесів у лінійних імпульсних системах
Основні показники якості процесів в імпульсних системах такіж, як і в безупинних автоматичних системах: час регулювання tp,величина перерегулювання /> ікількість перерегулювань n(показники якості перехідного процесу); точністьроботи систем у сталих режимах.
У чому ж особливості дослідження якості імпульсних автоматичнихсистем?
Оцінюють показники якості перехідного процесу роблять заімпульсною перехідною функцією системи h(пТ) — реакції на одиничну східчастудискретну функцію Хвх(пТ) — 1(пТ).
Зображення реакції системи в смислі Z-перетворення знаходятьза (1)
/>
Оскількизображення одиничної дискретної функції
/>
то зображеннядискретної перехідної функції імпульсної системи
/>
Яквидно з цієї формули, зображення можна подати в загальному випадку у виглядівідношення двох поліномів.
Отже,для того, щоб знайти Н(z), досить знати передатну функцію замкнутої системиФ(z).
Далі,необхідно по зображенню знайти оригінал h (nТ), тобто здійснити операціюзворотного Z-перетворення. Цю задачу часто вирішують методом розкладання функціїв степеневий ряд по негативних ступенях z (діленням полінома чисельника наполіном знаменника). Коефіцієнти отриманого ступеневого ряду дорівнюютьдискретним значенням імпульсної перехідної функції в моменти часу t — пТ. Іншийметод вимагає розкладання Н (z) на прості дроби.
Розглянемона прикладі методику оцінки показників якості перехідних процесів імпульсноїсистеми, зображеної на рис. 1, при різних значеннях її параметрів кv і Т. Зображення перехідноїфункції системи з урахуванням (8)
/> .
1. При kv=1,5 зображенняперехідної функції системи
/>
У результатіділення чисельника на знаменник знаходимо:
/>.
Коефіцієнтиступеневого ряду визначають такі значення дискретної перехідноїфункції-оригіналу:
/> і т.д.
Графік перехідноїфункції для цього випадку зображений на рис. 3, а. Аналіз графіка дозволяє визначитипоказники якості перехідного процесу: tp = 5Т сек; s= 50%; п = 4.
Очевидно, що для зменшеннявеличини перерегулювання необхідно зменшувати добуток kv.
/>
Рисунок3 – Перехідні функції імпульсної системи
2. При к vT =1 зображення перехідної функції системи
/>.
Дискретиперехідної функції:
h(0)=0; h(t)=1;h(2T)=1.
Зграфіка перехідної функції, поданого на рис. 1.б, видно, що при kv T= 1 у системі має місце оптимальний по швидкодії перехідний процес, оскільки вінзавершується за один період дискретності Т без перерегулювання.
3. При kvT =0,5 маємо:
/>.
Звідсизнаходимо:
/>
Графікцієї функції, зображений на рис. 1, в, близький до експоненти. Час регулюванняв цьому випадку tp = 5Тсек.
Проведенийаналіз дозволяє зробити важливий висновок про те, що показники якостіперехідного процесу імпульсної системи істотно залежать від величини добуткукоефіцієнта передачі ку на період дискретності T.
Точність імпульсної системи оцінюється величиною помилки всталих режимах. Для розрахунку помилки необхідно знати зображення впливу, щозадається, і передатну функцію помилки Фf (z). Методика обчислення дискретноїфункції е (пТ) аналогічна викладеної вище.