ОСНОВНІФІЗИЧНІ ПРОЦЕСИ В ОПТИЧНИХ ЛІНІЯХ ЗВ’ЯЗКУ
1. Розповсюдженняелектромагнітних хвиль в оптичних волокнах
Модельрозповсюдження світла крізь обмежену структуру подібну до оптичного волокна втермінах геометричних променів представляє тільки приблизний опис ефектіврозповсюдження в них. Цей підхід добре діє поки характерний розмір поперечногоперетину волокна як діаметр серцевини (2а, де а-радіус серцевини) великий упорівнянні з довжиною хвилі (l), що розповсюджується в волокні, і відносна різницяіндексів серцевини і оболонки не надто мала. Фактично, як а, так і D можуть бути з'єднані разом зl, щоб створити комплекснийпараметр, що називається нормалiзованою частотою (V-числом) волокна, щовизначається, як
/>. (1)
Якщо числоV-волокна більше 10, результати геометричної оптики, основаної на променевихтраєкторіях, приводять до точних рішень для багатьох ефектів розповсюдження воптичних волокнах. Для V£10, геометрична оптика не в змозіпояснити ефекти розповсюдження в волокнах, що й вимагає здійснитиелектромагнiтний аналіз, оснований на хвильовій оптиці, щоб дослідити ефектирозповсюдження. Для одержання загальної основи, що могла б бути застосована длябудь-якого волоконного хвильоводу з довільним числом V, починають з рівнянняМаксвела і відтворюють так звані векторні хвильові рівняння [5, 6], щозадовольняють електричному (/>) та магнiтному (/>) полю векторівсвітлової хвилі:
/>, (2)
/>, (3)
де e=e0n2, e0є значенням e для вільного простору, n — показник заломлення, ε — />діелектрична проникність волокна іm0 — магнитна проникність для вільногопростору, що по значенню така як і в волокні, при припущенні, що волокно не єнемагнетиком. Перша форма розподілу індексу заломлення, запропонована дляоптичного волокна, являє собою профiль, в якому поза серцевиною з показникомзаломлення n1 (діаметр 2а) знаходиться однорідна оболонка зпоказником заломлення n2; так, що можна алгебраїчно представитипрофіль показника заломлення (ППЗ) як:
/>. (4)
Волокна зпрофілем, аналогічним (4) відомі як волокна зі східчастим ППЗ. Для такогооднорідного середовища член Ve дорівнюватиметься 0 як в серцевині,так і в оболонці, і в кожній з цих областей кожна декартовська компонентаелектричного та магнiтного поля буде задовольняти рівнянню
/>. (5)
Воно відоме якскалярне хвильове рівняння, де Y представляє будь-яку з декартовських компонент полів /> та />. Оскільки n єнезалежним від z, рішення рівняння може, взагалі, бути записано так:
Y(r,j,z,t)=y(r,j)exp( i [wt-bz]), (6)
де напрямокрозповсюдження — уздовж z, і b — поширена стала розповсюдження. Рівняння (6)допускає два вигляду рішень в (5) — перше, в якому поле експоненціальнезменшується з r, при якому r>а і осцилює всередині серцевини (r
/>. (7)
В (7) /> – представляєсуму дискретних направлених мод, тоді як інтеграл — безрозмірна сукупність радіаційнихмод. Реальні значення bP будуть визначатися граничними умовами.
Ми можемозгадати, що в якісних волокнах телекомунікації відносна різниця показниказаломлення оболонка-серцевина звичайно ніколи не перевищує 1-2%. Такі волокнащо мають D
Так як длясхідчастого волокна, і залежить від r і лише від нього, тобто є цилiндричносиметричним, (5) записують в цилiндричнiй системі координат
/>, (8)
де /> – хвильовечисло вільного простору.
Застосовуючизасіб розділення перемінних, тобто записуючи
/>, (9)
Рівняння (9) може бути вирішене окремо для своєї радіальноїта азимутальної компонент. Азимутальна компонента може бути представлена
F(j)~exp(± i l j ), (10)
де l=0, 1, 2,3… Радіальна частина Y задовольнить таким рівнянням
/>, r
/>, r³a. (12)
Рівняння (11),(12) — стандартна форма рівнянь Бесселя, які допускають чотири різноманітнихтипи циліндричних функцій: J1(x), Y1(x), та K1(x),I1(x) відповідно. Проте для полів мод кінцевих та обмежувальнихсерцевин і експоненціальне загасаючих в оболонці, можна обрати функцію БесселяJ1(x), як поширення (11) всередині серцевини і модифіковану функціюБесселя K1(x), як рішення (12) всередині оболонки. Відповідно,рішення (11) і (12) можуть бути записані як:
/>, (13)
де />і /> такі, що
/> (див. (2.1)). (14)
В записі (13)була використана безперервність Y, та EY була обрана як домінантна поперечнакомпонента електричного поля, тоді як при D
/>. (15)
Тепер, як ужевстановлено D
/>, (16)
де (') — позначаєдиференціювання циліндричних функцій по їх аргументу. Використовуючи рекурентнірівняння, регулюючі функції Бесселя, і модифіковані функції Бесселя, як можнапоказати, зводиться до:
/>. (17)
Рівняння (17) — трансцендентальне рівняння, рішенняякого в межах діапазону зазначеного (15) будуть визначати дискретні постійніпоширення для різноманітних направлених мод.
Тут требавизначити, що при більш точному наближенні слідувало б вирішити (5) в циліндричнихполярних координатах для y (=EZ) і одержати Er (та Hr)і Ej (також і Hj) через EZ і HZіз замкнутих рівнянь Максвела шляхом переписання їх компонентів в циліндричнихкоординатах. Після цього, вважаючи безперервність EZ(HZ)та Ej(Hj), які є тангенціальнимикомпонентами, при заміні (16), результат в наступному трансцендентальномурівнянні для b був би:
/>, (18)
де (') — диференціювання по аргументу функцій. Такий висновок (18) не включає будь-якихнаближень в собі. Проте, якщо застосовуються слабко направлені умови, а саме D в рівнянні(17)), таким чином підтверджуючи наші більш ранні припущення про те, що в слабконаправлених волокнах моди практично лінійно поляризовані з електричним полемвздовж осей X та Y. Рівняння (17) — апроксимована форма точного рівняння (18)для певних постійних поширення різноманітних мод за умови D
2 Режими роботиоптичних волокон
Графік 1 показуєзалежність нормалізованих постійних поширення b від V, b визначається як:
/>, (19)
так що дляспрямованих мод, умова (15) може бути переписана:
1³ b³ 0. (20)
На нижній межіb=0: b=kon2 є тільки постійною поширення плоскої хвилі вневизначеному однорідному середовищі з індексом n2 (нескінченнооднорідному середовищі). За визначенням мода, як кажуть має відсічку, тобтоприпиняє поширюватися як направлена мода, якщо її b=kon2.При b=kon2, W стає рівним 0, також при b
b=k0n2ÞW=0. (21)
/>
Рисунок 1 –Залежність відносної постійної розповсюдження b од V для різних LPlm мод:b=(b2 / k02 — n22) / (n12 — n22)і V=ak0(n12 — n22)0,5
Таким чином стаєвідомою умова відсічки моди. В межах W®0 для моди нижчого порядку(відповідає l=0), (17) показує, що частота відсічки (Vc) цієї модидає перший корінь рівняння:
/>, (22)
в той час як длянаступної моди, частота відсічки дала б перший корінь:
/>, (23)
де Vc представляєвеличину V при відсіканні моди (W=0 для відсічки моди, його параметри: U=V=VC).Так як нулі I1(x) та I0(x), відповідно, мають місце при VС=0;3.8317; 7.0456; і при VC=2.4048; 5.5201; 8.6537;…, моди, які мають VC=0;2.4048; 3.8317;… відповідно позначаються як LP01, LP11;LP02…моди. Позначення LPlm витікає з факту, що ці моди лінійнополяризовані. Індекс l позначає l-й порядок функції Бесселя, який визначаєумову відсічки для відповідного порядку моди, що пов'язаний із азимутальною періодичністю,тоді як m (яке — також ціле число) визначає послідовні корені відповідноїфункції Бесселя. Фізично 1 представляє номер пучності або півцикла, в той часяк m є числом радіальних пучностей в структурі поля моди. У прикладі булизображені модові структури двох LPlm мод порівняно високого порядку(рисунок 2) — у їх вигляді на фотографії. Тут можна визначити, що, на практиці,вкрай важко одержати експериментально моду відносно високого порядку, зокрема вбагатомодовому волокні, і забезпечити її поширення вздовж волокна великої довжини.Все тому, що будь-яка мала неоднорідність вздовж довжини волокна (геометричнанедосконалість, неоднорідність і т. п.) викликають перекачку енергії від однієїмоди до інших при поширенні.
/>
Рисунок 2 –Схематичне представлення структури напруженості поля моди для мод: a – LP41та (б) LP82..
Внаслідок цього,коли багатомодове волокно збуджується, наприклад, He-Ne лазером, все, щоспостерігається на вихідному кінці, представляє, по суті, суперпозиціюрізноманітних модових структур. Тільки в разі, якщо волокно настількивизначено, що його постійна V лежить в межах 0
0
Ця умова можебути використана для одержання проектних настанов, наприклад, вибору а та D для одержання одномодовогостану при конкретному l. Тоді, щоб стримати втрати розсіяння на добавках в волокні уприйнятно низьких величинах, D звичайно не повинно перевищувати 0.003%, щобзадовольняти умові (24) для одномодового ефекту; діаметр серцевини (2а) требазробити 4-6 мкм в першому поколінні довжин хвиль ~0.8 мкм, 8-10 мкм в 2-му і3-му поколінні довжин хвиль ~1.3 мкм. Умова (24) також часто навпаки виражаєтьсячерез довжину хвилі відсічки, що визначається як:
/>. (25)
При будь-який l>>lC для конкретного волокна, можепідтримуватися тільки LP11 мода, бо другий, більш високий порядокмоди, а саме, LP11 мода і всі наступні моди більш високого порядкубудуть мати відсічку, тобто будуть відсутні в волокні. В цьому розумінніконцепція lC дуже важлива, бо вибір lC, що реально диктується такимипередумовами, як низькі втрати при передачі, якість ширини смуги пропускання ввікні довжин хвиль, довжина хвилі, на якій піки ефективності джерела тадетектору співпадають і т. д. — максимально визначить а та D.
Для того, щободержати точне значення потужності, що переноситься різноманітними модами,треба, по суті, розрахувати z-компоненти вектору Пойнтінгу, зв'язані з кожноюмодою і проiнтегрувати їх по поперечному перетину волокна. Шляхом простоїалгебри можливо показати, що в слабко направляючому волокні частини енергії(потужності), що переносяться спрямованою модою в серцевині та оболонці,будуть, відповідно:
hсердц=Pсердц / Ptotal=1-(U2 / V2)(1-k), (26)
hclad=Pclad / Ptotal= U2 (1-k) / V2, (27)
де />.
Ці рівняння яснопоказують, що далеко від відсічки поки W буде відносно великою величиною,більшість з спрямованої потужності буде розташовуватися в серцевині. З іншогобоку біля відсічки, W
hcore@1-(1+l2)-0,5, (28)
hclad@(1+l2)-0,5. (29)
Таким чином, длямод з l=0 більшість потужності буде витікати через оболонку, що невірно для модз l>>1.