Содержание
Введение
1. Классификация конфигураций решеток
2. Гибридный оптимизационный алгоритм
3. Пример оптимизации
Список литературы:
Заключение
Введение
За последнее десятилетиеприменение генетических алгоритмов (ГА) в качестве оптимизационных средстврасчета антенн стало активной областью исследований. Основные причины такогоинтереса связаны с их устойчивостью, позволяющей решать такие оптимизационныезадачи, для которых локальные методы оптимизации не эффективны, а также с ихуниверсальностью, дающей возможность успешно применять одни и те же схемы крешению разных задач (Гаупт 1995).
Однако у применимости ГАесть и характерные ограничения. В связи с их архитектурой, задачи, в которыхполучение точных результатов от моделирования каждого возможного решениятребует большого времени вычисления, до сих пор остаются чрезвычайнозатратными.
Чтобы преодолеть такиетрудности, были предприняты усилия по нахождению более эффективныхоптимизационных схем, что дало не только усовершенствованные версии генетическихалгоритмов, напр., микрогенетические алгоритмы (µГА) (Кришнакумар 1989) игибридные ГА-тагучи (Цай и др. 2004), но также новые глобальные методыоптимизации, основанные на разных философиях, напр., оптимизации по принципуроения элементов (Кенеди и Эберхард 2001) и оптимизации по принципу муравейника(Колеман и др. 2004). Подобные усовершенствования в сочетании с расширяющимисявозможностями компьютеров и разработкой параллельных кодов (Левин 1995)обеспечили получение удовлетворительных решений для более сложных задач.
Кроме того, в задачах,когда точность оптимизированного решения не является критичной, обычная мера,направленная на снижение полного времени вычисления, заключается в уменьшениивычислительной нагрузки моделей посредством, к примеру, использования грубойсхемы расчетной сетки в эмуляторах, основанных на методах конечных элементов(Мохамед 1999), или посредством уменьшения числа базисных функций в кодах,основанных на методе моментов (Фернандес-Пантойя и др. 2000). К сожалению, зачастуюбывает сложно выполнить оценку ошибок, связанную с этими подходами.
В данном сообщении дляобеспечения точности конечного результата мы вводим в процедуру оптимизациидополнительный этап. Такой этап, основанный на методе картирования пространства(КП) (Бандлер и др. 2004), вначале позволяет операторам ГА использовать примоделировании грубые модели с тем, чтобы найти приблизительное решение задачи.После этого с помощью КП получают точное решение задачи, экономя навычислительных затратах. Методы КП в сочетании с разными методами локальнойоптимизации уже доказали свою эффективность при решении разных оптимизационныхзадач в электромагнетике (Бакр 2000, Бандлер и др. 1995).
В качестве примераоптимизации приведем использование гибрида ГА-АКП для выбора длин и точеквозбуждения для антенной решетки, состоящей из 3 х 3 излучателей (микрополосокпо типу заплат) и находящейся на конечном (заземленном?) экране. Результаты играфики для такого примера содержатся в стендовой презентации, подготовленнойдля данного сообщения.
1. Классификацияконфигураций решеток
Антенные решетки можноклассифицировать по разным основаниям; в данной работе мы выбрали широкий классконфигураций, объединяемых по признаку однородного возбуждения (намагничивания)элементов. Самыми распространенными здесь являются периодическая и произвольнаярешетки. Такие решетки являются полярно противоположными с точки зрения ихгеометрии и характеристик. Периодические решетки способны иметь относительнонизкие уровни боковых лепестков, но являются не очень устойчивыми. Произвольныерешетки, с другой стороны, устойчивы, но им обычно не присущ низкий уровеньбоковых лепестков. Поэтому периодические и произвольные решетки наилучшимобразом пригодны только для своих специфических применений.
Помимо указанныхконфигураций возможны и иные, основанные на ряде разнообразных подходов красчету их геометрии. К примеру, оказалось, что весьма ценные особенности имеютконфигурации, построенные на фрактальных геометриях [19-21]. Детерминистскиефрактальные решетки обладают такими автомодельными геометрическими свойствами,которые можно использовать при создании быстрого алгоритма формирования ДН, чтоявляется очевидным преимуществом при работе с решетками, имеющими большое N. Кроме того, детерминистские фрактальныерешетки можно математически рассчитывать с помощью метода, строящегося насистеме итерированной функции (СИФ). В основе СИФ лежит ряд аффинных линейныхпреобразований, выполняемых в точке (x,y), находящейся на эвклидовойплоскости. Обычно для решеток с геометриями, основанными на фракталах, такиепреобразования описываются тремя локальными параметрами rn, φn, ψnи глобальным фрактальным масштабнымпараметром sf, так что.
Такое определениеаффинных линейных преобразований и использование глобального масштабногопараметра обеспечивает, что каждый преобразованный объект имеет идентичныймасштаб и аналогичен исходному объекту. Ряд N аффинных линейных преобразований ω1, ω2,...,ωN называется оператором Хатчинсона,для которого мы введем символ W.Операцию Хатчинсона можно применять рекурсивно и получить СИФ следующего вида:где фрактал ступени ℓ+1, (обозначаемый Fℓ+1) строится из фрактала ступени ℓ (обозначаемого Fℓ). Последовательные примененияоператора Хатчинсона дают все более высоко-порядковые итерации фрактальнойструктуры.
Другой тип решетки,называемый фрактально-произвольной, сочетает упорядоченные свойства фракталов снеупорядоченными свойствами произвольных решеток. Фрактально-произвольныерешетки создаются способом ad hoc (для особого случая), когдагенераторы произвольно выбираются из ряда возможных выборов и применяются кфрактальной структуре. Такой произвольный выбор генераторов затрудняетматематическое описание этих решеток с помощью СИФ. В целом из малого наборапараметров, содержащихся в генераторах, невозможно точно воспроизвестифрактально-произвольные геометрии, и потому они по-настоящему не рекурсивны.Этот факт препятствует использованию рекурсии при создании быстрого алгоритмаформирования ДН для такого класса решеток. Тем не менее, благодаря сочетаниюупорядоченных и неупорядоченных геометрических свойств, оказалось, чтофрактально-произвольные решетки обладают относительно низким уровнем боковыхлепестков и в то же время являются устойчивыми. Тем самым такие решетки имеютрабочие характеристики, сочетающие характеристики периодических и произвольныхрешеток.
Чтобы преодолетьнедостатки фрактально-произвольных решеток и одновременно сохранить многие изих желательных свойств, создан особый подкласс фрактально-произвольных решеток,названный ПФР. В предыдущей работе мы разработали новый вид СИФ, способныйпроизводить полифрактальные структуры. Аналогично фрактально-произвольным, ПФРстроятся из множества генераторов, 1,2,… М, каждый из которых имеетсоответствующий оператор Хатчинсона W1, W2,..., WM. Каждый оператор Хатчинсона Wm, в свою очередь, содержит Nm аффинных линейных преобразованийωm,1, ωm,2,..., ωm,Nm. Такие преобразования ωm,n идентичны по форме Ур.1, включая три локальныхпараметра rm,n, φm,n,ψm,n и один глобальный масштабный параметр sf, который применяется по всейфрактальной структуре (нижний индекс m добавляется для указания на конкретный генератор). Помимо трех локальныхпараметров здесь введен четвертый локальный κm,n, который связан с каждым аффинным линейным преобразованием.Этот параметр, называемый показателем связи, является целым значением впределах от 1 до М, т.е. числа генераторов, используемых для построения ПФР, иприменяется для предписания того, как используются аффинные линейныепреобразования. Преобразование ωm,n можно выполнить только для тех ПФР ступени ℓ,где генератор, используемый на ступени ℓ, соответствует показателю связиκm,n. Такая процедура приводит к тому, что с каждымоператором Хатчинсона может быть связана только одна уникальная геометрия ПФР.Следовательно, набор ПФР Fℓ ступени ℓ можно для удобствавыразить в следующей записи (см. Ур.3), где первый нижний индекс определяетуровень ПФР, а второй — генератор, используемый на этом уровне. Отсюда, ПФРступени ℓ+1, созданный генератором m, можно представить в виде Ур.4. Чтобы настраиватьмежэлементное пространство в конфигурации ПФР, мы используем еще одинглобальный масштабный параметр sg. Наконец, отметим, что глобальный масштабный параметр sf можно вынести (факторизовать) изоператоров Хатчинсона, что дает эффективную нормализованную процедурупостроения СИФ для ПФР ступени L (см.Ур.5).
Если использоватьопределение подобия аффинных линейных преобразований так, как это представленов Ур.1, с добавлением глобальных масштабных коэффициентов и конструкции,основанной на показателе связи, то можно распространить действие быстрыхалгоритмов формирования ДН, связанных с обычными фрактальными решетками, наПФР. Такую широкую методологию формирования ДН, подробно освещенную в, можнорассматривать как усовершенствованную СИФ, действующую не на геометрическихструктурах подгрупп, а на основе их диаграмм направленности. Другими словами,общую ДН можно рассматривать как образуемую решеткой, состоящей из решеток, ане как наложение радиоизлучения, произведенного набором отдельных изотропныхточечных источников. В Уравнении 6 дано выражение для конфигурации подгруппыгенераторов m ступени ℓ, которое основано наряде конфигураций фрактальных подгрупп ступени ℓ-1. Конечную конфигурациюрадиоизлучения можно определить, используя изотропные источники для образованияДН исходных подгрупп и рекурсивно применяя данное выражение вплоть до полученияДН ступени L. Рекурсивные свойства формированияДН, имеющиеся у ПФР, позволяют исследовать в ходе процедуры оптимизации гораздобольшие геометрии решеток.
Таким образом,детерминированные фрактальные, полифрактальные и фрактально-произвольныерешетки соотносятся друг с другом во многом так, как квадрат с прямоугольником,а прямоугольник с параллелограммом. Фрактально-произвольные решетки обладаютнаиболее общей геометрией, чем прочие, что в наибольшей степени затрудняетработу с ними. Поскольку в ПФР применяются показатели связи для определениятого, как и когда применяется любой из множества генераторов, они являются подклассомфрактально-произвольных решеток. В свою очередь, детерминистские фрактальныерешетки по сути являются полифрактальными или фрактально-произвольнымирешетками, в которых для выбора имеется лишь один генератор. Примеры всех трехтипов решеток показаны на Рис. 1. Чтобы вам было легче представить конфигурациюрешеток, мы используем характерную геометрию фрактального дерева. Кроме того,на Рис. 2 для представления отношений, связывающих три типа антенных решеток вплане их конфигурации, использована диаграмма Венна. Параметр Sc представляет поле решения и содержитнабор всех возможных методов, используемых для построения антенных решеток.
Концепции детерминистскихфрактальных и полифрактальных решеток можно использовать не только ради ихсвязи друг с другом, но и для описания конфигураций периодических ипроизвольных решеток. Поскольку ПФР являются подклассом фрактально-произвольныхрешеток, положения, связанные с ПФР, в равной степени применимы кфрактально-произвольным. Понятия, касающиеся ПФР, можно использовать вописаниях всего ряда периодических антенных решеток, если тщательно подбиратьпараметры генератора так, чтобы антенные элементы были на равном расстояниидруг от друга. Для решения этой задачи есть несколько способов: возможно,простейшим для понимания является разложенное (факторированное) полифрактальноепредставление. Возьмем, к примеру, периодическую решетку, полное количествоэлементов PT которой можно представить составнымчислом простых множителей М, так что PT = р1 р2… рМ. ПФР уровня Мможно построить из М генераторов, по одному на каждый из простых множителей.Любой оператор Хатчинсона Wm имеет рm аффинныхлинейных преобразований (т.е. Nm = pm), когдапреобразования выбираются таким образом, чтобы каждая из преобразованных(перенесенных) подгрупп имела периодический интервал. Показатель связи длякаждого из этих преобразований равен уровню ℓ фрактально-произвольнойрешетки, так что каждый из генераторов полностью применяется только кодному-единственному уровню ПФР. Поэтому очевидно, что любая конфигурацияпериодической решетки должна иметь, по крайней мере, одно соответствие средиПФР.
Хотя для описания любойпериодической решетки можно использовать разложенное полифрактальноепредставление, могут существовать также и более простые схемы полифрактальныхпериодических решеток. Разложенное полифрактальное представление можноупростить путем объединения нескольких простых множителей в небольшие составныечисла, сокращая тем самым общее количество уровней, необходимых для полученияантенной структуры. Более того, хотя и не столь очевидным образом,периодические решетки можно также строить из ПФР более общего характера. Далее,некоторые периодические решетки можно также описывать через детерминистскиефрактальные решетки. Помимо тривиального случая одноступенчатой решетки,периодическую решетку можно построить в том случае, когда есть возможностьразложить число элементов в структуру NL, где Nпредставляет число трансформов в операторе Хатчинсона, а L представляет количество ступеней вофрактальной решетке. Параметры определяют так, чтобы интервалы между любымиаффинными линейными преобразованиями оператора Хатчинсона были равны.
Если набор применяемыхгенераторов столь велик, что ни один из них не может быть выбран более одногораза, методологией ПФР можно пользоваться для описания полностью произвольныхрешеток. Полифрактальная модель, хотя и является для чисто произвольных решетокгромоздкой и неэффективной, с теоретической точки зрения все же вполне здесьприменима. Таким образом, можно сделать вывод, что с помощью ПФР можно описатьлюбой класс антенных решеток. Кроме того, в большинстве случаев оказывается,что для решеток, построенных из множества генераторов, разупорядоченность(произвольность) ПФР является большей. Показанная диаграмма Венна представляетклассификацию периодических, произвольных, фрактальных и полифрактальныхрешеток относительно конечной конфигурации решетки. В поле решения Sa показан ряд всех возможныхконфигураций решеток; это поле отличается от поля решения Sс, представленного выше. Также очевидно, что любуюрешетку можно представить в виде ПФР. Однако пунктиром обозначена граница, запределами которой полифрактальную модель больше невозможно использовать дляописания геометрии антенной решетки. В данном реферате мы предъявляемоптимизационную процедуру, с помощью которой можно, используя понятия,характерные для ПФР, последовательно преобразовывать решетки, имеющиепериодическую конфигурацию, основанную на фракталах, в более произвольныерешетки. В следующих разделах подробно обсуждаются процессы, используемые длятого, чтобы оптимизация могла следовать в этом русле.
антеннаоптимизационный гибридный алгоритм
2. Гибридныйоптимизационный алгоритм
Блок-схема алгоритма,представленная на Рисунке 1, в целом состоит из двух разных процедур,выполняемых последовательно. Вначале оптимизатор ГА обеспечивает — посредствомпериодически повторяющегося, быстрого машинного моделирования возможных решений- оптимальное решение задачи с низкой точностью. Такой промежуточный результатназывают грубым оптимальным решением. Далее в целях проверки того, насколькотакое решение приемлемо для получения конечного решения задачи, выполняетсяточное моделирование грубого решения. Если при этом выявляютсянеудовлетворительные характеристики, т.е. смещение резонансных частот илиповышенный уровень входных коэффициентов отражения, то запускается следующаяпроцедура, основанная на АКП. На этом этапе для получения точного решениязадачи, называемого точным оптимальным решением, используют локальный оптимизатор,задействующий как грубую, так и точную модель. Такое решение схоже с грубымрешением, выданным ГА, в плане соответствия тех параметров, которые избраны вкачестве целей оптимизации. Следовательно, разработчику нужно определитьпараметры, которые изменяются в процессе оптимизации — они имеют обозначения хси хf(здесь и далее см. обозначения втексте), а также характеристики (базисные функции, погрешность интегралов ит.п.) как грубых, так и точных моделей. Этот этап критичен, т.к. правильностьвыбора определяет конечный успех оптимизации. Грубая модель должна быть какможно более быстрой, но такой, чтобы ее выход Rc(хс) сохранял определенноесходство с выходом Rf(хf)от точной модели. Иначе не будет работать этап АКП. После того, как выборсделан, оптимизатор ГА, применяя генетические операторы только к грубыммоделям, находит оптимальное грубое решение, обозначаемое х*с. Еслиоказалось, что отклонение выхода, полученного при точном моделировании Rf(х*с) оптимального грубогорешения, является более высоким, чем это приемлемо, то АКП ищет соответствие Рмежду точной и грубой моделями хс = Р(хf) так, чтобы Rf(хf) ≈ Rc(хс). Для определения Рвыполняют итеративную локальную оптимизацию. Ключевыми этапами АКП являютсяфаза извлечения параметров, когда утверждается грубая модель, лучше всегоподходящая для определенной точной модели; уровень обновления соответствия(картирования), когда с помощью уравнения Бройдена (Бандлер и др. 1995)изменяется оценка Р; и уровень инвертирования соответствия, когда определяетсяточная модель для следующей итерации. Если грубая и точная модели выбраны так,как следует, такая итеративная процедура выдает точное оптимальное решение х*f, при котром выходы Rf(хf) и Rc(хс) являются схожимивплоть до заранее установленного уровня точности. Подробнее об АКП можнопрочитать в (Бандлер и др. 2004).
3. Пример оптимизации
Для проверки адекватностиметода в качестве примера оптимизации предлагается определение необходимых длини точек возбуждения для антенной решетки, состоящей из 3 х 3 излучателей (типазаплат), размещенной на конечном квадратном (заземленном?) экране и работающейна частоте 4,5 ГГц. При симметричности задачи, представленной на Рисунке 2(а),имеем всего 12 оптимизационных параметров, связанных как с длиной (L1..., L6), так и с расстоянием точеквозбуждения от центра излучателя (d1,… d6). Постоянными величинами в данном примере являютсяширина излучателя (W = 3 см), длина стороны экрана (Lg = 12 см) и расстояние между антеннами и землей (h = 0,15 см). Используемой подложкой является воздух.
Для решения этой задачи спомощью глобального оптимизатора необходим надежный код, который моделировал быпроизвольно созданные конструкции. Все результаты, представленные в работе,получены из решения интегрального уравнения электрического поля со смешаннымпотенциалом, содержащего высоко-порядковые базисные функции Лежандра, с помощьюметода моментов (Йоргенсен и др. 2004). При заданном специфическом наборе длини точек возбуждения, описанном выше, для точного решения задачи требуется 6000базисных функций и, если использовать 2,2 ГГц-ый процессор AMD Opteron, необходимо время анализа, равное 4 мин. на однучастоту. Поскольку для выполнения оптимизационного процесса в пространствопоиска входит 1012 возможных решений, алгоритм µГА получаетрезультаты оптимизации спустя примерно 3000 эмуляций. При отсутствиипараллелизма обработки общее время оптимизации для такой простой задачи моглобы быть около девяти дней. Применение грубой модели элементов, дающеесокращение как числа базисных функций, так и точности интегралов, что былоописано в предыдущем разделе, помогает получить результат быстрее, правда ценоюсмещения эмулированной характеристики по частотному спектру примерно на 100МГц.
Таким образом, пришлосьприбегнуть к выполнению оптимизации ГА-АКП. Этап ГА, где использовались толькогрубые модели решетки, был выполнен с помощью зарекомендовавшего себя алгоритмаµГА (Кришнакумар 1989), при использовании совокупности, равной 5 элементам исмене совокупности при сходимости в 80%. В качестве операторов ГАиспользовались турнирный отбор и двухэлементное скрещивание (Бэк и др. 1997).Получаемые результаты имели формат с фиксированной точкой, в котором всего было12 целых разрядов; для представления длины — от 3 до 3,25 см, а для представления расстояния точек возбуждения до центра излучателя — от 0,33 до 0,60 см. Значения, допустимые для длин излучателей в процессе ГА, были установлены с помощьюаппроксимирующих уравнений, используемых для расчета частоты резонансапрямоугольной микрополосковой излучательной антенны, расположенной набесконечном (заземленном?) экране; значения частоты лежали в интервале от 4,4до 4,8 ГГц, что соответствовало значениям длин в 3,25 и 3 см, соответственно. Функция пригодности (соответствия) F была выбрана так, чтобы при 4,5 ГГц минимизировать максимальное значениемодуля (амплитуды) входного коэффициента отражения для любой антенны решетки (F = max{|S11|i}; i =1,...,6). На Рисунке 3 показана амплитуда входного коэффициента отражениякаждого антенного элемента для такого грубого решения; у каждого излучателяздесь разные частоты резонанса, но все они находятся около желаемого рабочегозначения в 4,5 Ггц.
Тем не менее,моделирование, выполненное на точной модели той же антенны, показало смещениеспектра приблизительно в 130 МГц (см. Рисунок 4). Для исправления этого эффектабыла проведена процедура АКП. Точное пространство определили с помощью лишьдвух параметров хf, каждый из которых масштабировал соответственнозначения длин и расстояний от точек возбуждения, полученных при оптимальномгрубом решении. Как указано в (Бакр 2000), схождение модели лучше всегодостигается при использовании в анализе нескольких частотных точек. В данномслучае в интервале от 4,25 до 4,75 ГГц распределили 11 частотных точек. Фазуизвлечения параметров выполнили с помощью агрессивного подхода картированияпространства (Бандлер и др. 1995), а также принятия для всех излучателей,расположенных вдоль частотной кривой нашего анализа — в качестве меры подобияточной и грубой моделей — среднеквадратической ошибки от расстояния между ихсоответствующими действительными частями входного полного сопротивления.Другими важными моментами выбора на этапе АКП были критерии останова процесса,которые были установлены на 10-4, а также числовая оценкааналитического определителя Якоби, выполняемая с помощью разностнойаппроксимации вперед. Основной момент при достижении быстрой сходимостизаключался в оценке подобия между выходами из грубой и точной моделей, когда вкачестве измерительной функции использовали не амплитуду входного коэффициентаотражения, а действительную часть входного полного сопротивления. Это былообусловлено тем, что большая монотонность действительной части входногополного сопротивления позволяет получить лучшие значения разностнойаппроксимации вперед. Проведя всего три точных эмуляции и 45 грубых, алгоритмдостиг окончательного решения. На Рисунке 5 показано эффективноекорректирование рабочей точки к 4,5 ГГц.
Наконец, была выполненаоценка времени, сэкономленного за счет использования метода ГА-АКП по сравнениюс методом ГА, использующим только точные эмуляции. Зная, что в данном случаерасход времени на работу с точной моделью в 6,5 раз больше на одну частоту, чемпри работе с грубой моделью, и что каждая точная или грубая эмуляция,выполненная на этапе АКП, решала 11 частотных точек, определили, что применениегибридного метода позволило выполнить оптимизацию примерно в 5,25 раз быстрее.Следовательно, пока показатель времени зависит от разницы между временеманализа точной и грубой моделей, для достижения большей экономииразработчику придется искать быстрее выполнимые грубые модели. В любом случаеэтот процесс следует выполнять очень тщательно, поскольку этап АКП эффективентолько тогда, когда выход из грубой модели подобен выходу из точной.
Заключение
В данном сообщениипредложена эффективная схема оптимизации антенн. Она заключается в применениивслед за основанной на ГА оптимизацией, использующей при моделированиихарактеристики антенны грубую модель, дополнительной процедуры АКП. Этотпоследний этап увеличивает точность оптимизированных результатов, а весь подходв целом, как показано, имеет преимущество с точки зрения вычислительных затратпо сравнению с применением ГА только к эмуляции точной модели. Планируютсядальнейшие исследования для сравнения эффективности метода ГА-АКП сэффективностью других гибридных методов, сочетающих методы локальнойоптимизации с АКП.
Список литературы:
1. Антенны и устройства СВЧ. Расчет ипроектирование антенных решеток и их излучающих элементов / Под ред. Д.И.Воскресенского. М.: Сов. радио, 1972.
2. Драбкин А.Л., Зузенко В.Л., КисловА.Г. Антенно-фидерные устройства. М.: Сов. радио, 1974.
3. Антенны и устройства СВЧ:Методические указания к лабораторным работам. Часть 1 / Под ред. А.В. Рубцова.Рязань, 2006.
4. Антенны и устройства СВЧ.Проектирование фазированных антенных решеток / Под ред.Д.И. Воскресенского. М.: Радио и связь, 1994.