Пензенский государственный университет
Кафедра «РТ и РЭС»КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы»
на тему
«Определение спектра
амплитудно-модулированного колебания»Задание выполнил студент группы 01РР2 Чернов С. В.
Задание проверил
Куроедов С. К.Пенза 2003
Содержание
1. Формулировка задания….… 2
2. Шифр задания и исходныеданные… 2
3. Аналитическая запись колебания UW(t)… . 3
4. Определение коэффициентоваn….… . 4
5. Определение коэффициентов bn… . 5
6. Определение постояннойсоставляющей А0….… . 6
7. Определение амплитуд An и начальных фаз Yn… . 7
8. Временная диаграммаколебания, представляющего собой сумму
найденной постояннойсоставляющей и первых пяти гармоник
колебания uW(t)….… . 8
9. Построение графиков АЧХ иФЧХ ограниченного спектра
колебания uW(t)….… . 9
10. Аналитическая запись АМколебания… . 9
11. Построение графиков АЧХ иФЧХ АМ колебания… 11
12. Определение шириныспектра АМ колебания… . 12
1. Формулировказадания
Определить спектр АМколебания u(t) =Um(t)cos(w0t+y0), огибающая амплитуды которого связана линейнойзависимостью с сигналом сообщения Uc(t),т.е. Um(t).=U0+ Uc(t)
(коэффициентпропорциональности принят равным единице).
Сигнал сообщения Uc(t) представляет собой сумму первых пяти гармоникпериодического колебания uW(t) (см. раздел 3). Найденный аналитически спектрсигнала сообщения и АМ колебания должен быть представлен в формеамплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик. Необходимокроме того определить парциальные коэффициенты глубины модуляции mn. Несущая частота определяется как w0=20W5, где W5 –частота пятой гармоники в спектре колебания uW(t).Значение амплитуды U0несущейчастоты w0принимается равным целой части удвоенной суммы />,где Un – амплитудное значение гармоники спектра колебания uW(t).
2. Шифр задания иисходные данные
Шифрзадания: 17 – 3
Исходныеданные приведены в таблице 1.
Таблица 1.
U1, В
U2, В T, мкс
t1, мкс 3 3 250 60
Временная диаграмма исходногоколебания/> /> /> /> /> /> /> /> /> />
3. Аналитическая записьколебания UW(t)
Сначала выполним спектральныйанализ заданного колебания uΩ(t). Для этого, пользуясь графической формой колебания изаданными параметрами, запишем его аналитически. Весь период Т колебанияразбиваем на три интервала: [0;t1], [t1;t2] и [t2; T] (точка /> являетсясерединой интервала [t1; T]).Первый интервал представлен синусоидой, второй и третий – линейными функциями.В общем виде аналитическая запись сигнала будет выглядеть так:
/> /> при/>,
uΩ(t)= /> при/>, (1)
/> при />.
Частота синусоиды /> (в знаменателе записанпериод этой синусоиды).
Значения k1 и b1определяем из системы уравнений
/>;
/>,
получаемой путем подстановки во второе уравнениесистемы (1) значений времени t1 и /> и соответствующих имзначений колебания uΩ(t) (uΩ(t1)=0, uΩ(t)=-U2).Решение указанной системы уравнений дает />,/>. Аналогично определяем k2 и b2. Втретье уравнение системы (1) подставляем значения t2 и T и соответствующие им значения колебания uΩ(t) (uΩ(t2)=-U2, uΩ(T)=0).
/>;
/>.
Решив систему, получаем />, />
В результате изложенногосистема уравнений (1) принимает вид
/> /> при />,
uΩ(t)= /> при />, (2)
/> при />.
Для дальнейших расчетовопределим:
/> мкс;
/> рад/с
/>
/>
/>
/>
/> рад/с
Для разложения сигнала в рядФурье вычислим значения аn, bn, Аn и φn первых пяти гармоник.4. Определение коэффициентов an
/>
/>
Посчитаемкаждый из интегралов отдельно:
/>
/>
/>
/>;
/>,
первыйинтеграл интегрируем по частям:
/>, />,
/>, />.
/>
/>
/>
/>;
аналогично интегрируем:
/>
/>.
Запишемвыражение для аn, как функции порядкового номера nгармоник колебания UW(t):
/>
/>
/>
/>
/>.
Подставляяранее вычисленные значения k1 b1, k2, b2, заданное значение U1 и значения n=1,2,…,находим численные значения пяти коэффициентов an:
/>В
/>В
/>В
/>В
/>В.
Заносимполученные результаты в таблицу 2.5. Определение коэффициентов bn
/>
/>.
Расчеткаждого из интегралов произведём отдельно:
/>
/>;
/>
/>, />,
/>, />.
/>
/>;
/>
/>.
Запишемвыражение для bn, как функции порядкового номера nгармоник колебания UW(t):
/>
/>
/>.
Подставляяранее вычисленные значения k1 b1, k2, b2, заданное значение U1 и значения n=1,2,…,находим численные значения пяти коэффициентов bn:
/>В
/>В
/>В
/>В
/>В.
Занесёмполученные данные в таблицу 2.6. Определение постояннойсоставляющей А0
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>В.7. Определение амплитуд An и начальных фаз Yn
ЗначенияAn и Ψnвычисляем с помощью полученных ранее коэффициентов an и bn.
/>,
/>.
/>В,
/>В,
/>В,
/>В,
/>В;
/>рад,
/>рад,
/>рад,
/>рад,
/>рад.
Полученныерезультаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2n 1 2 3 4 5
an 1.641 0.033 -0.368 -0.237 -0.128
bn 1.546 0.548 0.442 0.028 -0.093
An 2.254 0.549 0.575 0.239 0.159
Ψn 0.756 1.511 2.264 3.023 -2.512 8. Временная диаграмма колебания,представляющего собой сумму найденной постоянной составляющей и первых пятигармоник />
t, мкс
u(t) – заданное колебание,
S(t)=S1(t)+ S2(t)+ S3(t)+ S4(t)+ S5(t)+A0,
S1(t) –первая гармоника,
S2(t) –вторая гармоника,
S3(t) –третья гармоника,
S4(t) –четвертая гармоника,
S5(t) –пятая гармоника,
A0 – постояннаясоставляющая.9. Построение графиков АЧХ и ФЧХограниченного спектра колебания uW(t)
Пользуясьданными таблицы 2, строим АЧХ и ФЧХ сигнала сообщения uc(t),представляющего собой, в соответствии с заданием, сумму первых пяти гармоникколебания uW(t).
АЧХколебания uW(t)
/>
ФЧХколебания uW(t)
/> 10. Аналитическая запись АМколебания
Вкачестве модулирующего колебания (сигнала сообщения) используем только первыепять гармоник спектра колебания uW(t) (постоянную составляющую А0отбрасываем).В соответствии с этим искомое амплитудно-модулированное колебание запишем как
/>
/>
/>
/> рад/с – несущая частота.
Значение амплитуды U0несущей частоты w0принимается равным целой части удвоенной суммы />,где Un – амплитудное значение гармоники спектра колебания UW(t).
/>,
/>В.
/> – начальная фаза несущего колебания.
/> – парциальные коэффициенты глубины модуляции.
Вычислим значенияпарциальных коэффициентов:
/>,
/>,
/>,
/>,
/>.
Полученные результатызаносим в таблицу 3.
Представим АМ колебание вформе суммы элементарных гармоник
/>/>
/>.
Вычислимзначения />:
/>В,
/>В,
/>В,
/>В,
/>В.
Полученныерезультаты заносим в таблицу 3.
Таблица 3.n 1 2 3 4 5
mn 0.3221 0.0784 0.0822 0.0341 0.0227
Bn, В 1.127 0.274 0.288 0.119 0.079 11. Построение графиков АЧХ и ФЧХАМ колебания
Воспользовавшисьчисленными значениями U0, ω0, Bn,Ω, Ψ0, Ψn,построим графики АЧХ и ФЧХ амплитудно-модулированного колебания.
АЧХАМ колебания
/>
ФЧХ АМ колебания/>12. Определение ширины спектра АМколебания
Ширинаспектра АМ колебания равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектремодулирующего низкочастотного сигнала.
/> рад/с.