МЕТОДИ ПЕРЕТВОРЕННЯБІОСИГНАЛІВ ТА АНАЛІЗ
МЕДИКО-БІОЛОГІЧНОЇ ІНФОРМАЦІЇ
Сигнал – процесзміни у часі фізичного стану певного об'єкта, який можна зареєструвати,відобразити та передати.
Детермінованісигнали – сигнали, значення яких у будь-який момент часу повністю відомі, тобтопередбачувані з імовірністю, що дорівнює одиниці.
Випадкові сигнали– сигнали, значення яких у будь-який момент часу неможливо передбачити зімовірністю, що дорівнює одиниці.
Періодичнимназивається будь-який сигнал, для якого виконується умова
/>,
де період Т єкінцевим відрізком, а k – будь-яке ціле число.
Сигнали, щоіснують в усі моменти часу, називають аналоговими.
Послідовністьчисел, що подає сигнал при цифровій обробці, називається дискретним сигналом.Числа, що складають послідовність, є значеннями сигналу в окремі (дискретні)моменти часу й називаються відліками. Переважно відліки беруть через рівніпроміжки часу Тд, що мають назву період дискретизації (або крок дискретизації).Величина, зворотна періоду дискретизації, називається частотою дискретизації
/>,
відповідна їйкругова частота
/>.
Процесперетворення відліків сигналу в числа називається квантуванням за рівнем.
Сигнал,дискретний у часі та квантований за рівнем, називають цифровим сигналом.
Динамічнимподанням називається спосіб подання сигналів, при якому реальний сигналприблизно подається сумою деяких елементарних сигналів, що виникають упослідовні моменти часу. Якщо спрямувати до нуля тривалість окремихелементарних сигналів, то границя суми дасть точне подання вихідного сигналу.
Два сигнали u і vназивають ортогональними, якщо їх скалярний добуток, а отже, і взаємна енергіядорівнюють нулю:
/>.
Якщо в просторісигналів задана нескінченна система ортогональних функцій {a1, a2, …, an} з одиничними нормами
/>
це означає, що впросторі сигналів заданий ортонормований базис.
Розкладаннясигналу:
/>,
де сk– «проекції» сигналу на координатні вісі, напрямок яких задається функціями hk(t), називається узагальненим рядомФур'є сигналу s(t) в обраному базисі.
Сукупністькоефіцієнтів ряду Фур'є {ck} – спектр сигналу s(t).
Тригонометричнийряд Фур'є:
/>,
де t0– довільна величина;
/> – період базиснихфункцій;
/> – кругова частота, щовідповідає періоду повторення сигналу Т; частоти, кратні w0, що входять у формулу, називаютьсягармоніками;
/>;
/>;
/>.
Дійсна форматригонометричного ряду Фур'є:
/>,
де
/>;
/>;
/>.
Експоненційнийряд Фур'є:
/>; />,
де
/>.
Сукупністьамплітуд гармонік ряду Фур'є називають амплітудним спектром.
Сукупність фазгармонік ряду Фур'є називають фазовим спектром.
Коефіцієнти рядузалежать тільки від форми одиночного імпульсу s(t) і характеризуютьсяінтегралом:
/>,
який називаєтьсяспектральна щільність одиночного імпульсу s(t).
Періодичнеколивання має дискретний або лінійчатий спектр.
Відношенняперіоду послідовності прямокутних імпульсів до тривалості імпульсів називаютьщілинністю.
Амплітуднийспектр послідовності прямокутних імпульсів має вигляд функції />, графік якої носитьпелюстковий характер.
Важливоювластивістю спектра послідовності прямокутних імпульсів є те, що у ньомувідсутні (мають нульові амплітуди) гармоніки з номерами, кратними щілинності.
Відстань зачастотою між сусідніми гармоніками спектра періодичного сигналу дорівнюєчастоті імпульсів 2p/Т.
Ширина пелюстокспектра послідовності прямокутних імпульсів, виміряна в одиницях частоти,дорівнює 2p/t, тобто зворотно пропорційна тривалості імпульсів.
Часове й частотнеподання неперіодичного сигналу, що заданий на інтервалі (-¥, ¥), складає пару перетвореньФур'є:
/> – зворотне перетворенняФур'є,
/> – пряме перетворенняФур'є.
Неперіодичнісигнали мають безперервний (суцільний) спектр.
Властивістьспектра: чим коротше сигнал, тим ширше його спектр.
Добутокефективних значень тривалості сигналу й ширини його спектра називається базоюсигналу.
Дуальністьперетворення Фур'є: якщо парній функції часу f(t) відповідає спектральнафункція g(w) (вона буде також парною), то функції часу g(t) відповідатимеспектральна функція 2pf(w).
Прямокутномуімпульсу відповідає спектральна функція, що має вигляд sin(w)/w. Отже, спектральна функціясигналу sin(t)/t буде прямокутною.
ПеретворенняФур'є є лінійним інтегральним перетворенням, тобто спектр суми дорівнює суміспектрів або, математичною мовою, лінійна комбінація сигналів має спектр увигляді такої самої (з тими ж коефіцієнтами) лінійної комбінації їхспектральних функцій.
При затримцісигналу в часі амплітудний спектр цього сигналу не змінюється, фазовий спектрздобуває додатковий доданок, що лінійно залежить від частоти.
Зміна тривалостісигналу приводить до зміни ширини спектра зворотним чином в поєднанні зізбільшенням (при розтяганні, a1) рівня спектральнихскладових.
Спектр похідноїотримують шляхом множення спектра вихідного сигналу на jw. Отже, при диференціюваннінизькі частоти послаблюються, а високі підсилюються. Фазовий спектр зсуваєтьсяна 90° дляпозитивних частот і на – 90° для негативних. Множник jw називають операторомдиференціювання сигналу в частотній зоні.
При інтегруваннівихідного сигналу його спектр множиться на 1/(jw). Високі частотипослаблюються, а низькі підсилюються. Фазовий спектр сигналу зсувається на ‑90° для позитивних частот і на90° длянегативних. Множник 1/(jw) називають оператором інтегрування в частотній зоні.
Спектр згорткисигналів дорівнює добутку спектрів.
Спектр добуткудорівнює згортці спектрів. Єдиною додатковою особливістю є множник 1/(2p) перед інтегралом згортки.
При множеннісигналу на гармонічну функцію спектр «роздвоюється» – розпадається на двіскладові вдвічі меншого рівня, зсунутих на w0праворуч (w-w0) та ліворуч (w+w0) за віссю частот. При кожномудоданку є множник, що враховує початкову фазу гармонічного коливання.
Спектрдельта-функції є константа, тобто є рівномірним у нескінченній смузі частот.
Спектромконстанти є дельта-функція частоти.
Крок квантування:
/>,
де Umax – максимальне значенняаналогового сигналу на вході АЦП, що не викликає переповнення арифметичногопристрою,
m – кількість двійковихрозрядів.
ТеоремаКотельникова: будь-який сигнал s(t), спектр якого не містить складових ізчастотами вище wВ=2pfВ, може бути без втрат інформації поданий своїми дискретнимивідліками {s(k)}, узятими з інтервалом Т, що задовольняє наступній нерівності:
/> (/>або />).
Частота Найквіста–
/>.
Спектрдискретного сигналу є нескінченним рядом зсунутих на величину частотидискретизації wд копій спектра вихідного безперервного сигналу s(t), тобтоспектр дискретного сигналу періодичний з періодом, що дорівнює частотідискретизації.
сигналаналоговий перетворення фур'є
Дискретнеперетворення Фур'є (ДПФ):
/>,
де x(k) – відлікидискретного сигналу;
N – кількістьвідліків дискретного сигналу;
n – номеркоефіцієнта ДПФ.
Перехід віддискретного спектра до часових відліків сигналу здійснюється за допомогою зворотногодискретного перетворення Фур'є (ЗДПФ):
/>.
ДПФ є лінійнимперетворенням, тобто якщо послідовностям {x(k)} і {y(k)} з періодом Nвідповідають набори гармонік /> і />, то послідовності {ax(k)+by(k)}відповідатиме спектр />.
Кількість різнихкоефіцієнтів ДПФ />, />, />, …, /> дорівнює кількості відліків N заперіод; при n = N коефіцієнт />.
Нульовийкоефіцієнт ДПФ /> (постійна складова) дорівнює сумівсіх відліків сигналу.
Властивістьсиметричності ДПФ: коефіцієнти ДПФ, номери яких розташовуються симетричновідносно />,утворюють спряжені пари.
Якщо кількістьвідліків дискретного сигналу N не є простим числом і її можна розкласти намножники, процес обчислень коефіцієнтів ДПФ можна прискорити, розділивши набірвідліків на частини, обчисливши їх ДПФ та об'єднавши результати. Такі способиобчислення ДПФ називаються швидким перетворенням Фур'є (ШПФ).
Залежно відспособу розподілу послідовності відліків на частини при реалізації ШПФ можливокілька варіантів організації обчислень: проріджування за часом; проріджуванняза частотою. Можливі різні варіанти також залежно від того, на скількифрагментів розбивають послідовності на кожному кроці (основа ШПФ).
Вибір кінцевогоінтервалу тривалістю n секунд (Т – інтервал дискретизації, n – кількістьвідліків) для заданого сигналу визначає таку особливість спектральногорозкладання: крім основних спектральних складових з'являються «фальшиві» –«розмивання» спектра. Причина «розмивання» спектра – наявність розривів намежах інтервалу спостережуваного сигналу і його періодичного продовження.
Вікна – це ваговіфункції, що використовують для зменшення розмивання спектральних компонентів,обумовленого скінченністю інтервалу спостереження.
Аналогові фільтриобробляють сигнали x(t), які є безперервною величиною.
Цифрові фільтриперетворюють відлікові значення сигналу x(n) у дискретні моменти часу n, де Т –інтервал дискретизації.
Реакція системина подану на вхід дельта-функцію називається імпульсною характеристикою системий позначається h(t).
Вихідний сигналлінійної системи з постійними параметрами дорівнює згортці вхідного сигналу йімпульсної характеристики системи:
/>.
Перехідноюхарактеристикою називають реакцію системи на подану на вхід функцію одиничногострибка. Позначається перехідна характеристика як g(t).
У частотній зоніпроходження сигналу через лінійну систему має вигляд:
/>,
де /> – перетворення Фур'єімпульсної характеристики системи
(/>)
Ця функціяназивається комплексним коефіцієнтом передачі системи, а її модуль і фаза –амплітудно-частотною (АЧХ) і фазочастотною (ФЧХ) характеристиками системи.
Фільтри нижніхчастот (ФНЧ) пропускають частоти, менші деякої частоти зрізу w0.
Фільтри верхніхчастот (ФВЧ) пропускають частоти, більші деякої частоти зрізу w0.
Смугові фільтри(СФ) пропускають частоти в деякому діапазоні w1…w2 (вони можуть також характеризуватисясередньою частотою w0=(w1+w2)/2 і шириною смуги пропускання Dw=w2-w1).
Режекторніфільтри (фільтр-пробка) пропускають на вихід всі частоти, крім частот з деякогодіапазону w1…w2 (вони можуть також характеризуватися середньою частотою
w0=(w1+w2)/2
і шириною смугизатримування
Dw=w2-w1).
Дискретний фільтр– це довільна система обробки дискретного сигналу, що має властивостілінійності та стаціонарності.
У загальномувигляді цифровий фільтр підсумовує (з ваговими коефіцієнтами) деяку кількістьвхідних відліків і деяку кількість вихідних відліків. Дана формула називаєтьсяалгоритмом цифрової фільтрації:
/>,
де ajі bi – дійсні коефіцієнти.
Якщо по-іншомузгрупувати доданки, одержимо форму запису, що називається різницевим рівнянням:
/>.
Сутність z-перетворенняполягає в тому, що послідовності чисел {x(k)} ставиться у відповідність функціякомплексної змінної z, яка визначається так:
/>.
Зв'язок z-перетворенняX(z) з перетворенням Фур'є />:
/>,
/>.
Z-перетворення є лінійною комбінацієювідліків, тому воно підлягає принципу суперпозиції: якщо
/> й
/>,
то
/>.
Якщо z-перетворенняпослідовності {x(k)} дорівнює X(z), то z-перетворення послідовності, затриманоїна k0тактів
(y(k)=x(k-k0)),
матиме вигляд
/>,
тобто призатримці послідовності на k0тактів необхідно помножити її z-перетворенняна />(операторзатримки дискретної послідовності на k0тактів).
Згортцідискретних послідовностей відповідає добуток їх z-перетворень.
Вихідна реакціяна одиничний імпульс x0(k) називається імпульсною характеристикоюдискретної системи й позначається h(k).
Вихідний сигнал єлінійною комбінацією імпульсних характеристик, що випливає з лінійності тастаціонарності розглянутої системи. Цей вираз називається дискретною згорткою:
/>.
Для системи, щофізично реалізується, формула дискретної згортки має вигляд:
/>.
Функція H(z), щодорівнює відношенню z‑перетворень вихідного та вхідного сигналів і є z‑перетвореннямімпульсної характеристики системи, називається функцією передачі або системноюфункцією дискретної системи:
/>.
Щоб одержатикомплексний коефіцієнт передачі (частотну характеристику) дискретної системи,скористаємося формулою, що описує зв'язок z‑перетворення й перетворенняФур'є:
/>.
Частотнахарактеристика дискретної системи є періодичною функцією частоти з періодом, щодорівнює частоті дискретизації.
Функція K(jw) є перетворенням Фур'єімпульсної характеристики ЦФ.
Модулькомплексної частотної характеристики A(w)=|K(jw)| називаєтьсяамплітудно-частотною характеристикою фільтра (АЧХ).
Аргументкомплексної частотної характеристики j(w)=arg[K(jw)] називається фазо-частотноюхарактеристикою фільтра (ФЧХ).
Цифрові фільтри,які при обчисленнях не використовують попередні відліки вихідного сигналу,називаються нерекурсивними (трансверсальні фільтри) (НЦФ):
/>.
Кількістьпопередніх відліків m, що використовуються у розрахунках, називається порядкомфільтра.
Цифрові фільтри,які при обчисленнях використовують попередні відліки вихідного сигналу,називаються рекурсивними (РЦФ):
/>.
Кількістьпопередніх вхідних та вихідних відліків, що використовуються для обчислень,може не збігатися. У такому випадку порядком фільтра вважається максимальне ізчисел m і n.
Рекурсія –математичний прийом, що становить циклічне звертання до даних, які отримані напопередніх етапах.
Характеристикивипадкових сигналів є статистичними.
Імовірність подіїоцінюють частотою сприятливих результатів.
Якщо проведено N незалежнихвипробувань, причому в n із них спостерігалася подія А, то емпірична(вибіркова) оцінка ймовірності Р(А):
/>.
Функція розподілувипадкової величини дорівнює ймовірності того, що випадкове число з Х приймезначення, рівне або менше певного х:
/>;
/>;
/>; />,
де Х – випадковавеличина, тобто сукупність дійсних чисел х, що приймають випадкові значення.
Щільністьімовірності випадкової величини – імовірність влучення випадкової величини Х упівінтервал (х, х + dx], тобто похідна від функції розподілу:
/>;
/>;
/>; />.
Математичнеочікування (момент першого порядку) є теоретичною оцінкою середнього значеннявипадкової величини:
/>.
Дисперсія(центральний момент):
/>.
Середньоквадратичневідхилення, необхідне для кількісного опису міри розкиду результатів окремихвипадкових випробувань щодо математичного очікування:
/>.
Випадковий процесX(t) – функція, що характеризується тим, що в будь-який момент часу t прийнятінею значення є випадковими величинами.
Фіксуючи напевному проміжку часу миттєві значення випадкового сигналу, одержуємореалізацію випадкового процесу.
Випадковий процесє нескінченною сукупністю реалізацій, що утворюють статистичний ансамбль.
Випадковіпроцеси, статистичні характеристики яких однакові у всіх часових перетинах,називають стаціонарними випадковими процесами.
Стаціонарнийвипадковий процес називається ергодичним, якщо при визначенні будь-яких йогостатистичних характеристик усереднення за ансамблем реалізацій еквівалентноусередненню за часом однієї, теоретично довгої, реалізації.
Кореляційнийаналіз полягає у кількісному вимірі ступеня подібності різних сигналів.
Автокореляцінафункція (АКФ) дозволяє судити про ступінь зв'язку (кореляції) сигналу s(t) зйого зсунутою за часом копією:
/>,
де t – величина часового зсувусигналу.
Взаємнакореляційна функція (ВКФ) дозволяє оцінити ступінь подібності двох сигналів s1(t)і s2(t):
/>.
ВКФ зв'язанаперетворенням Фур'є із взаємним спектром сигналів. Взаємний спектр /> для сигналів –це s1(t) і s2(t) є добутком їх спектральних функцій, одназ яких піддана комплексному спряженню: />. Якщо спектри сигналів неперекриваються, то їх взаємний спектр дорівнює нулю на всіх частотах, отже,дорівнює нулю і їх ВКФ при будь-яких часових зсувах t. Отже, сигнали зі спектрами,що не перекриваються, є некорельованими.
АКФ сигналузв'язана перетворенням Фур'є із квадратом модуля спектральної функції, або зенергетичним спектром сигналу.
Коваріаційнафункція – це статистично усереднений добуток значень випадкової функції X(t) умоменти часу t1 і t2:
/>.
Кореляційнафункція є статистично усередненим добутком значень центрованої випадковоїфункції X(t)-mx(t) у моменти часу t1 і t2:
/>.
Мірою лінійногостатистичного зв'язку між випадковими величинами є коефіцієнт кореляції:
/>,
/>, граничні значення ±1 досягаються, якщореалізації випадкових величин жорстко зв'язані лінійним співвідношенням x2=ax1+b,де a і b – деякі константи. Знак коефіцієнта кореляції збігається зі знакоммножника a. Рівність коефіцієнта кореляції нулю свідчить про відсутністьлінійного статистичного зв'язку між випадковими величинами (тобто вонинекорельовані).
Для стаціонарноговипадкового процесу кореляційна функція залежить не від самих моментів часу, атільки від інтервалу між ними t=t2-t1:
/>.
Абсолютнізначення кореляційної функції при будь-яких t не перевищують її значенняпри t=0 (цезначення дорівнює дисперсії випадкового процесу):
/>.
Використовуютькоефіцієнт кореляції (його також називають нормованою кореляційною функцією):
/>;
rx(0) =1, |rx(t)|£1 і rx(-t)=rx(t).
Функції Rx(t) і rx(t) характеризують зв'язок(кореляцію) між значеннями X(t), розділеними проміжком t. Чим повільніше убувають ціфункції з ростом абсолютного значення t, тим більше проміжок, протягом якогоспостерігається статистичний зв'язок між миттєвими значеннями випадковогопроцесу, і тим повільніше, плавніше змінюються в часі його реалізації. Усередненаспектральна щільність випадкового процесу є спектром його детермінованої складової(математичного очікування). Для центрованих випадкових процесів:
/> та />.
Усередненезначення спектральної щільності не несе ніякої інформації про флуктуаційну,тобто випадкову, складову випадкового процесу.
Обчисленняспектра випадкового процесу виконується на основі його кореляційної функції задопомогою теореми Вінера-Хінчина – кореляційна функція випадкового процесу ійого спектральна щільність потужності зв'язані перетворенням Фур'є:
/>,
де />
– спектральнащільність середньої потужності реалізації («спектральна щільність потужності»або «спектр потужності»);
/> – спектральна щільністьреалізації на інтервалі часу Т, обчислена за допомогою прямого перетворенняФур'є.
Дискретний аналогтеореми Вінера-Хінчина – спектр дискретного випадкового процесу є перетвореннямФур'є від його кореляційної функції:
/>