Методы анализа электромеханических устройств
Введение
Электроакустическая аппаратурасостоит из механических элементов: пластин, мембран, труб и т.п., которыеобладают массой m, гибкостью СМ, потерями энергии на трение, иэлектрических элементов: катушек, конденсаторов, трансформаторов, резисторов. Впроцессе работы устройства эти элементы взаимодействуют.д.ля описания этогопроцесса приходится составлять и решать систему уравнений, содержащую уравнениямеханики и теории электричества. Решение системы уравнений получаетсягромоздким.
Для упрощения решения такихзадач был разработан метод электромеханических аналогий, который позволилсвести анализ механических устройств к анализу эквивалентных электрических схем.Математический аппарат для анализа электрических цепей хорошо разработан иизвестен радиоинженерам.
1. Метод электромеханических аналогий
Рассмотрим механическую систему,состоящую из груза, масса которого />,подвешенного на пружине с гибкостью /> кнеподвижному основанию. Под действием силы /> грузможет перемещаться в направляющих, испытывая силу трения, определяемуюкоэффициентом трения />. Требуетсяописать движение груза.
В любой момент времени сила,действующая на груз, должна уравновешиваться силой инерции:
/>,
где /> -скорость колебаний, /> - сила трения, /> - сила упругости пружины. Полагая,что сила трения пропорциональна скорости, а сила упругости — величинедеформации х, получим:
/>. (1)
Напишем уравнение дляпоследовательного электрического контура:
/>,
т.к />,то:
/>. (2)
Сравнивая (1) и (2), видим, чтоэто — одинаковые уравнения, отличающиеся только обозначениями. Зная решениеодного из уравнений, можно написать решение другого, просто изменив обозначенияна эквивалентные в соответствии с таблицей 1.
Таблица 1. Электрические величины Механические величины Величина Ед. изм. Обозначение Величина Ед. изм. Обозначение Э. д. с., напряжение Вольт
/>/>/> Сила Ньютон
/> Сила тока Ампер Скорость м/с Заряд Кулон Смещение м Индуктивность Генри
/>/>/>/>/>/>/> Масса кг
/>/>/> Ёмкость Фарада
/>/>/>/> Гибкость м/Н
/>/>/>/>/>/>/>/> Активное сопротивление Ом
/>/>/> Коэффициент трения мехом
/>/>/>/>/>/> Энергия магн. поля Дж Кинет. энергия Дж Энергия электр. поля Дж Потенц. энерг. Дж
По аналогии можно написать«закон Ома» для механической цепи:
/> (3)
Величину /> можно рассматривать, какполное сопротивление механической цепи. Единица измерения механическогосопротивления получила название «мехом» и имеет размерность кг/с.
Для того, чтобы упроститьпроцедуру построения электрических схем, эквивалентных механическимустройствам, разработаны правила (алгоритм) построения таких схем. Рассмотримодин из возможных алгоритмов.
Дана конструкция устройства (см.рис.1 а).
/> />
Рисунок 1
Строим кинематическую схемуустройства, используя обозначения, приведенные в таблице 1 (см. рис.1 b).
Строим структурную схемуустройства. Для этого заменяем все условные обозначения прямоугольниками, силуF (t) изображаем, как двухполюсник (см. рис.1 с).
Соединяем все прямоугольникилинией другого типа (например, пунктирной) или другого цвета так, чтобы она непересекала линии связи и не охватывала неподвижные элементы схемы (см. рис.1. с).
Рассматриваем пунктирную (илицветную) линию как проводник эквивалентной электрической схемы, апрямоугольники заменяем обозначениями соответствующих элементов электрическойсхемы (см. рис.2). Получаем эквивалентную электрическую схему.
/>
Рисунок 2. Эквивалентнаяэлектрическая схема груза, подвешенного на пружине.
Заметим ещё, что электрическим эквивалентомрычага является трансформатор, коэффициент трансформации которого />.
Используя методы теории цепей,находим токи и напряжения на элементах схемы. Они определят скорости и силы вмеханическом устройстве.
В электроакустическихустройствах часто встречаются трубопроводы различного сечения. В этом случаеиспользование скорости колебаний как аналога электрического тока неудобно, т.к приизменении площади сечения трубопровода скорость изменяется скачком. В этомслучае удобно ввести понятие объёмной скорости vоб = />, где S — площадь сечениятрубопровода. Вместо силы, как аналог напряжения, принимают давление р. Тогда:
/>
и акустическое сопротивление:
/>
Эти соотношения лежат в основеметода электроакустических аналогий.
В акустических устройствахнаряду с механическими встречаются акустические колебательные системы. Примеромможет служить резонатор Гельмгольца. Он представляет собой полость, соединеннуюс окружающим пространством через горловину. Если размеры резонатора меньшедлины волны, то его можно рассматривать как систему с сосредоточеннымипараметрами. Воздух в горловине — сосредоточенная масса, упругость воздуха вполости подобна пружине. Определим гибкость этой «пружины». Процесс врезонаторе протекает адиабатически (без теплообмена с окружающей средой), тогда:
/>/>
Или
/>
Представим правую частьвыражения в виде ряда и, ограничиваясь первыми двумя членами разложения,получим:
/>
или
/>
где S — площадь сечениягорловины, ξ — смещение. Далее, умножив правую и левую часть равенства наS, получим:
/> (4)
И, наконец, заметим, что труба,площадь сечения которой изменяется скачком с S1 на S2,является трансформатором с коэффициентом трансформации />
2. Электромеханические преобразователи
Электроакустические устройствасодержат как электрические, так и механические элементы. Составив эквивалентнуюсхему механической (акустической) части устройства, её нельзя подключитьнепосредственно к электрической схеме, т.к. в этих схемах фигурируют физическиразнородные величины (в одной — токи и напряжения, а в другой силы и скорости).Схемы нужно соединять при помощи четырехполюсника, который осуществляетпреобразование механической энергии в электрическую или наоборот. Такойчетырехполюсник называют электромеханическим преобразователем (см. рис.3).
/>
U или F
Рисунок 3
Если в электрическую цепьчетырехполюсника включить э. д. с., то в этой цепи появится ток, которыйвызовет появление механической силы и механическая часть устройства начнетдвигаться.
Наоборот, если к механическойчасти приложить силу, то система приходит в движение и в электрической цепивозникает э. д. с. Мощность />,затраченная в электрической части системы, создаёт в механической частимощность />.
Механическая мощность />, приложенная к системе,создаст электрическую мощность />. (Здесьпод ZHи zHпонимаетсялибо сопротивление нагрузки, либо внутреннее сопротивление источника, взависимости от того, к какому входу четырехполюсника подключен источник)
Если затраченные мощностиодинаковы, то и полученные на выходе мощности будут равны, т.е.
/>,
/>.
Разделив второе равенство напервое, получим:
/>.
После сокращения и извлечениякорня окончательно имеем:
/>,(5)
где М — коэффициентэлектромеханической связи.
Определим входное сопротивлениеэлектромеханического преобразователя.
/>,
Или
/>,(6)
где />.Из (6) следует, что действие противоэлектродвижущей силы Е эквивалентновключению добавочного сопротивления /> - сопротивленияреакции механической системы.
3. Основные системы электромеханических преобразователей
Преобразователиэлектродинамической системы. Представим себе, что проводник, длина которого l,находится в однородном магнитном поле постоянного магнита. Вектор магнитнойиндукции поля равен В и угол между векторами В и l равен900. Если по проводнику пропустить переменный ток с амплитудой Im,то на проводник будет действовать переменная по величине сила с амплитудой />, которая вызовет колебанияпроводника. Этот принцип положен в основу работы преобразователейэлектродинамической системы. Описанный режим работы преобразователя называютмоторным.
Если заставить проводниксовершать колебания с амплитудой скорости/>,то на концах проводника появится э. д. с. />.Такой режим работы преобразователя называют генераторным.
Коэффициент электромеханическогопреобразования такого преобразователя:
/> (7)
Преобразователи электромагнитнойсистемы. Преобразователь электромагнитной системы состоит из постоянногомагнита, магнитопровода, якоря — упругой пластины и катушки, надетой намагнитопровод (см. рис.4). Постоянный магнит создаёт в зазоре между якорем имагнитопроводом магнитный поток />, где а- величина зазора, S — площадь сечения магнитопровода в звзоре. Переменный ток,протекающий по катушке, создаёт переменный магнитный поток />. Для упрощения выкладокполагаем, что магнитное сопротивление определяется только сопротивлениемвоздушного зазора. Натяжение (т.е. сила, приложенная к единице поверхности),создаваемое магнитным полем равно />. Тогдасила, приложенная к якорю, равна /> или:/> />
/>.
1 — постоянный магнит, 2 — магнитопровод, 3 — якорь, 4 — катушка.
Рисунок 4.
Таким образом, сила, действующаяна якорь, содержит постоянную составляющую, составляющую с частотой тока исоставляющую с удвоенной частотой (т.к />.Следовательно, такой преобразователь создаёт нелинейные искажения сигнала. Чтобыуменьшить нелинейные искажения, необходимо, чтобы />.Переменная составляющая силы:
/>
Откуда коэффициентпреобразования электромагнитной системы:
/> (8)/> />
1 Преобразователи электростатической системы. Преобразовательэлектростатической системы состоит из мембраны, расположенной на небольшомрасстоянии d от основания, изготовленного из проводящего материала. Междумембраной и основанием через большое сопротивление включен источник постоянногонапряжения (см. рис.5).
1 — мембрана, 2 — основание, 3 — изолирующая прокладка.
Рисунок 5.
Рассмотрим работупреобразователя в двигательном режиме. Если к резистору R подвести переменноенапряжение, то к мембране будет приложено напряжение U=+ U/>. Сила, действующая намембрану:
/>,
где d — расстояние междумембраной и основанием, S — площадь мембраны, D — электрическое смещение, E — напряженность электрического поля. Первое слагаемое — постоянная составляющаясилы — создаёт прогиб мембраны. Второе слагаемое — составляющая силы,изменяющаяся пропорционально приложенному переменному напряжению — полезныйрезультат преобразования. Третье слагаемое — составляющая силы,пропорциональная квадрату приложенного напряжения — определяет нелинейныеискажения сигнала. В выражении полезной составляющей силы выразим переменноенапряжение через силу тока:
/>,
где С — ёмкость пластинпреобразователя. Из этого выражения получим:
/>.
Преобразователь может работать ив генераторном режиме. Колебания мембраны вызывают изменение ёмкостипреобразователя и, следовательно, полного сопротивления цепи. Изменениясопротивления вызывает изменение силы тока в цепи и падения напряжения нарезисторе R. Это напряжение является полезным результатом преобразования.
Пьезоэлектрические преобразователи.Пьезоэлектрический эффект был открыт в 1880 г. братьями Кюри. Суть эффектасостоит в том, что некоторые кристаллы поляризуются при деформации. Приприложении силы к граням кристалла изменяются расстояния между атомами ирасположение зарядов — происходит сдвиг электронной решетки относительнорешетки положительных зарядов, вследствие чего на гранях кристалла появляютсяэлектрические заряды. Такой сдвиг возможен лишь при определенных видахсимметрии кристаллической решетки. Поэтому пьезоэлектрический эффектпроявляется не у всех веществ. Наиболее известными веществами, обладающимипьезоэлектрическим эффектом являются: кварц, сегнетова соль, дифосфат аммония,дифосфат калия, сульфат лития и т.д. Пьезоэффектом могут обладать и некоторыеполикристаллические вещества. Созданы пьезокерамики на основе титаната бария,титаната бария-кальция, титаната бария-свинца и т.п.
Конструктивно преобразователивыполняют в виде пластин, трубок, биморфных элементов и т.п. Коэффициентпреобразования таких элементов:
/>,
где П — пьезоэлектрическаяпостоянная кристалла (пьезомодуль), А — коэффициент, зависящий от формы иразмеров кристалла (например, для прямоугольной пластины с однороднойдеформацией А = />).
Пьезоэлектрическиепреобразователи находят применение при создании миниатюрных излучателей длямобильных телефонов и т.п., а также в ультразвуковой аппаратуре.