ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РФ ПО РЫБОЛОВСТВУ
МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра электрооборудования судов
Пояснительная записка
к курсовой работе по курсу «Основы теории цепей»
Тема: «Методы расчета линейных электрических цепей приимпульсном воздействии. Спектральный анализ сигналов»
Мурманск
2009
Оглавление
Формулировка задачи
Качественный анализ переходногопроцесса
Расчет переходного процессаклассическим методом
Расчет переходного процессаоператорным методом
Построение графика изменения искомойвеличины
Составление передаточной функциимежду заданными переменными
Составление переходной функции
Расчет закона изменения искомойвеличины при подаче на вход цепи импульса заданной формы
Расчет и построение графикаспектральной плотности прямоугольного импульса
Расчет и построение графикаспектральной плотности искомой переменной
Список использованной литературы
Формулировка задачи
1. Выполнить качественный анализпереходных процессов напряжений и токов на реактивных элементах. Построитьнеобходимые графики.
2. Определить закон изменения во временитока или напряжения после коммутации, используя классический метод расчета.
3. Определить закон изменения во временитока или напряжения после коммутации, используя операторный метод расчета.
4. На основании полученногоаналитического выражения построить график изменения искомой величины во временив интервале от 0 до />, где />, /> - наименьший по модулю кореньхарактеристического уравнения.
5. Записать выражение передаточнойфункции между искомой величиной и входным напряжением.
6. Используя выражение передаточнойфункции, записать выражение соответствующей ей переходной функции.
7. Рассчитать закон изменения искомойвеличины при подаче на вход цепи импульса заданной формы.
8. Рассчитать и построить графикспектральной плотности амплитуд одиночного прямоугольного импульса с амплитудойE, длительностью tи=0.2 мс в диапазоне частот, в котором сосредоточено 90℅энергии этого сигнала.
9. Рассчитать и построить графикспектральной плотности амплитуд искомой величины при подаче на вход цепиодиночного прямоугольного импульса, используя результаты пп. 5 и8. Построениепроизвести в том же диапазоне и на тех же частотах.
/>
/>
Определить />.
/>
Качественный анализпереходного процесса
Качественный анализпереходного процесса представляет собой метод грубой инженерной оценки. Онзаключается в нахождении искомых переменных в определенные моменты времени, вчастности, перед коммутацией, в момент коммутации и в установившемся режиме.
1. Расчет токов инапряжений до коммутации (/>).
/>
/>
2. Расчет токов инапряжений в момент коммутации (/>).
/>
Первый закон коммутации:ток в индуктивности в момент коммутации не может изменятся мгновенно, оностается таким же, каким был непосредственно перед коммутацией, а затем плавноизменяется. Поэтому можно записать, что />.
Второй закон коммутации:напряжение на емкости в момент коммутации не может изменятся скачком. Оноостается таким же, каким было перед коммутацией, а затем плавно изменяется.Таким образом />.
Для того, чтобы составитьсистему уравнений Кирхгофа, построим дерево графа цепи. Граф – это изображениеэлектрический цепи без элементов.
/>
Источник тока и источникЭДС, обозначающие в момент коммутации индуктивность и емкость соответственно, могутне являться идеальными, и иметь конечные значения сопротивлений, поэтомуотображаются в графе ребрами.
Таким образом по первомузакону Кирхгофа необходимо составить 2 уравнения, а по второму – 3 уравнения.
/>
Таким образом получаем
/>
3. Расчет токов инапряжений в установившемся режиме (/>).
/>
/>
/>
/>
4. Построение графиковпереходного процесса.
/>
Точки А соответствуютзначениям переменных в момент до коммутации (/>). Этизначения были рассчитаны в пункте 1. Точки В соответствуют значениям в моменткоммутации (/>). Это было найдено в пункте 2. Точки С ипроходящие через них прямые соответствуют значениям токов и напряжений вустановившемся режиме (/>), что было вычислено в пункте 3.
Линии ВС проведеныприблизительно в предположении, что во время переходного процесса токи инапряжения принимают большие значения, чем в установившемся режиме.
Расчет переходногопроцесса классическим методом
При расчете переходногопроцесса классическим методом он представляется в виде двух накладывающихсядруг на друга процессов: принужденного (который соответствует новомуустановившемуся режиму) и свободного, затухающего (который существует во времяпереходного процесса). Благодаря затуханию переходной ток все времяприближается к принужденному току.
Так как переходнойпроцесс длится от момента коммутации />, до момента установления />, то физически реальной является только свободнаясоставляющая.
Вид функции /> зависит от формы ЭДС или тока источника ихарактеризуется структурой цепи и ее элементной базой. Вид функции /> зависит только от характера цепи (структурыи элементной базы).
Функция /> рассчитывается в схеме после коммутации(ключ в рабочем положении). Вид /> определяется корнямихарактеристического уравнения, которое может быть составлено, например, повходному сопротивлению цепи. То есть в цепи выбирается ветвь без источникатока, в этой ветви делается разрыв, из цепи исключаются все источники и состороны разрыва записывается уравнение для входного сопротивления />. Далее в этом сопротивлении /> заменяют на p и приравнивают к нулю.
1. Составлениехарактеристического уравнения.
/>
/>
Характеристическоеуравнение:
/>
/>
/>
Так как /> при любом p, то
/>/>
2. Напряжение />.
Так как полученные корнихарактеристического уравнения являются комплексными сопряженными, то /> представляет собой затухающий колебательныйпроцесс и ищется как функция вида />, где A и ψ – постоянныеинтегрирования, а δ – декремент затухания. Все эти константы находятся изследующих условий:
/>
Тогда />
/>
/> (рассчитанопри проведении качественного анализа)
Так как />, то />. Решаяэто уравнение, получим значение константы А: />
В результате получаемформулу для переходного напряжения на конденсаторе:
/>
Расчет переходногопроцесса операторным методом
Суть операторного методазаключается в том, что каждому числу из области функций действительнойпеременной t ставится во взаимнооднозначноесоответствие с помощью операторного отображения по Лапласу некоторое число вобласти функций комплексной переменной частоты ω. В дифференциальноеуравнение или интегро-дифференциальное уравнения функции времени заменяетсяалгебраическим уравнением в функции частоты.
Операции в областиотображений осуществляются с помощью простых алгебраических преобразований, аполученные результаты и помощью отображения Лапласа переводятся в областьфункций времени.
Отображением по Лапласуназывается функция, которая получается в результате следующего интегрирования:
/>,где />
Операторная схемазамещения индуктивности содержит операторное сопротивление pL и источник ЭДС />. Направление источника совпадает снаправлением тока в цепи.
Операторная схемазамещения емкости содержит операторное сопротивление /> иисточник ЭДС />, напряжение которогопротивоположно исходному напряжению на емкости.
Все источники заменяютсясвоими операторными отображениями.
Сделав все необходимыепреобразования, получаем
/>
Дерево графа цепи:
/>
Составим систему из трехуравнений по методу контурных токов:
/>
Решим эту систему:
/>
Так как />, а />, то
/>
Теперь необходимо найтиоригинал данного отображения. Из таблиц преобразования по Лапласу известно, что/> ([2] стр. 255), поэтому главная сложностьзаключается в нахождении оригинала второго слагаемого.
/>
Чтобы найти оригиналвторого слагаемого, воспользуемся теоремой разложения Хевисайда: елиизображение имеет вид рациональной дроби, то оригинал определяется в зависимостиот корней знаменателя. Так как в данном случае два корня комплексныесопряженные, а третий равен 0, то
/>
/>
В результате получаемформулу для переходного напряжения на конденсаторе:
/>
Построение графикаизменения искомой величины
По правилу пяти τпереходной процесс можно считать завершенным спустя время, равное /> после коммутации. Здесь τ — постояннаявремени цепи, она определяет скорость затухания процесса, и чем выше τ,тем медленнее идет процесс.
В данной задаче
/>
/>
/>
Составление передаточнойфункции между заданными переменными
Передаточной функцией понапряжению называется отношение изображения по Лапласу выходной функции /> к изображению по Лапласу входной функции /> при нулевых начальных условиях:
/>.
Для определения передаточнойфункции достаточно заменить исходную схему операторной схемой замещения,считая, что «внутренние» ЭДС индуктивности и емкости /> и /> равны нулю. После этогопредполагаем, что на входе схемы замещения действует операторная ЭДС />. Произведя расчет операторного изображенияискомой переменной, делим его на />.
Таким образом,операторная схема замещения будет иметь следующий вид:
/>
Для расчета формулы /> используем систему уравнений, применявшуюсяпри расчете цепи операторным методом, заменив в ней ненулевые начальные условияна нулевые:
/>
/>
/>
Так как />, а />, то
/>
Таким образомпередаточная функция между напряжениеv на емкости и входным напряжением на ЭДС равна
/>
Составление переходнойфункции между заданными переменными
Переходнойхарактеристикой цепи называется реакция участка цепи или всей цепи навоздействие согнала постоянной единичной величины.
Переходные характеристикиудобно вычислять в операторной форме, используя выражение передаточной функциисоответствующего вида.
Таким образом переходнаяфункция по напряжению k(t) – закон изменения напряжения назажимах некоторого участка цепи при подключении к источнику постоянной ЭДС в 1Впри нулевых начальных условиях и отсутствии других источников.
Отображение по Лапласу переходнойфункции по напряжению /> можно найти, используя формулу
/>
/>
Чтобы найти оригиналданного отображения воспользуемся теоремой разложения Хевисайда. Для этогоопределим корни знаменателя:
/>
Так как в данном случаедва корня комплексные сопряженные, а третий равен 0, то
/>,где />
/>
Таким образом переходнаяфункция по напряжению равна
/>
Расчет закона измененияискомой величины при подаче на вход цепи импульса заданной формы
Если на цепь воздействуетсигнал произвольной формы, то необходимо разбить воздействие на отдельныеучастки, для которых может быть определен временной скачек, и рассматриватьреакцию цепи в виде суммы участков на основании принципа наложения.
Для расчета реакции цепина каждом участке используется интеграл Дюамеля:
/>
Если воздействие имеетсложную форму, имеет скачи тока или напряжения, то интервал интегрированияразбивается на отдельные участки, и реакция цепи определяется для отдельныхучастков. При этом результаты не суммируются, а описываются для отдельныхучастков.
Для того, чтобы применитьинтеграл Дюамеля, необходимо определить закон изменения входного сигнала накаждом участке:
/>
1. />
/>
/>
2. />
/>
/>
3. />
Таким образом />
/>
/>
/>
I. />
/>
/>{интегрируемпо частям, как в пункте I}=
/>
/>
II. />
/>
В результате получаемзакон изменения искомой величины при подаче на вход цепи импульса заданнойформы:
/>
Расчет и построениеграфика спектральной плотности прямоугольного импульса
Основой спектральногоанализа является то, что любой непрерывный сигнал можно представить какпериодический с периодом />. Энергия сигнала при этомне меняется. То есть каждая амплитуда гармонического ряда Фурье начинаетубывать с ростом числа гармоник. Расстояние между отельными гармониками приувеличении их количества уменьшается. Но энергия спектра и его формасохраняются.
Аналитическое описание ввиде ряда Фурье преобразуется в аналитическое выражение в виде интеграла Фурье:
/>
По условию дан одиночныйимпульс амплитудой E и длительностью tи=0,2мс:
/>
Чтобы найти спектральнуюхарактеристику данного воздействия, представим с учетом принципа наложения егов виде двух сигналов, используя единичную функцию:
/>
/>
/> (потеореме о запаздывание оригинала)
/>
Полученная величинаявляется спектральной плотностью сигнала f(t). Физическуюценность имеет модуль спектральной плотности сигнала />,который согласно теореме Релея (правило Парсиваля) характеризует распределениеэнергии в спектре сигнала.
/>
/>
90℅ энергии сигналасосредоточено в диапазоне частот первого лепестка графика, то есть в пределахот /> до />. Вданном случае это соответствует изменению частоты от /> до/>.
Расчет и построениеграфика спектральной плотности искомой переменной
Используя определениепередаточной функции, можно записать, что />. Заменивв этом равенстве оператор р на />, получим формулу длянахождения спектральной плотности искомой величины:
/>
Ранее было определено,что />. Н(p) также была найдена.
Чтобы перейти к функциичастоты, заменим оператор р на />. В результате получим:
/>
Таким образом получаем
/>
/>
Список использованнойлитературы
1. Борисова Л.Ф.Конспект лекций по курсу «Основы теории цепей». – Мурманск: Изд-воМГТУ, 2007 г. – 157 с.
2. Шебес М.Р.,Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. Учеб. пособ.для эдектротехнич., радиотехнич. спец. вузов. – 4е изд., перераб. и доп. – М.:Высш. шк., 2000. – 379 с.
3. Методическиеуказания к курсовой работе по курсу «Теоретические основы электротехники»для курсантов и студентов-заочников по специальности 1613 /Сост. КаценельсонН.В., Докунин Е.А. – Мурманск, 2007. — 112