Реферат по предмету "Коммуникации и связь"


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

Линейныеметрические, нормированные и унитарные пространства

Введение
При решениимногих технических и прикладных задач радиотехники возникают вопросы: какобъективно сравнить какой сигнал больше другого или как оценить«близость» двух сигналов.
Оказывается,что методы функционального анализа, создав стройную теорию сигналов, в основекоторой лежит концепция сигнала как элемента специально сконструированногопространства, позволяют ответить на эти вопросы.
Введем обозначения. Если R– некоторое множество элементов, то f Î R означает, что f является элементом R; /> или f Ï R означает, что f не принадлежит R.
Множество элементов х Î R, обладающих свойством А обозначаетсясимволом /> например /> - множество точек,принадлежащих полукругу х2 + y2 £ 1, x ³ 0.
Если M и N – двамножества, то прямое произведение M х N этих множеств определяется следующимобразом
/>
то есть представляетсобой множество всех упорядоченных пар (x, y), где x Î M, a y Î N.

1. Линейные метрическиепространства
Множество R называетсялинейным пространством, если
1) в R определенаоперация «сложения», которая подчиняется всем правилам сложения: еслиf Î R, g Î R, то f + g Î R; в R имеется нулевой элемент 0 такой,что 0 +f = f для всех f Î R;
2) в R определена операцияумножения элемента f Î R на числа a измножества К (a Î К, f Î R Þ a f Î R). Чаще всего К – множество всех действительных или комплексных чисел.
В дальнейшем будемрассматривать только линейные пространства.
Рассмотрим отображение Т,которое каждому элементу f Î R однозначно ставит в соответствие элемент h Î R*, где R* является также линейнымпространством. Если R* = R, то Т отображает R в самого себя. Отображение Т называетсяоператором и отображение R в R* записывается в виде уравнения
T f = h (f Î R, h Î R*).
В частном случае, когда R*- пространство комплексных чисел, Т носит название функционала.
Пусть уравнениеT f =h
имеет единственное решениеи каждому элементу h Î R* можно поставить в соответствие единственный элемент f Î R. Оператор, осуществляющий это соответствие,называется обратным по отношению к Т и обозначается Т-1. Таким образомможно записать

f = T-1 h.Пример. Пусть имеетсясистема линейных уравнений
/>
Представим эту систему вматричном виде
/>/>
Если ввести пространствоматриц – столбцов R, то /> где
/>
и /> Здесь оператор А – матрицаразмера n x n
/>
Если матрица Аневырождена, то обратная матрица и является обратным оператором:

/>
Определение. Линейноепространство R называется метрическим, если каждойпаре элементов х, y Î R ставится в соответствие вещественное число r (x, y) – расстояниемежду x и y – удовлетворяющее условиям:
1.  r (x, y) ³ 0, если r (x, y) = 0, то x = y;
2.  r (x, y) = r (y, x);
3.  r (x, y) £ r (x, z) + r (z, y) (неравенствотреугольника).
Если введением расстоянияпространство R превращено в метрическое пространство,то говорят, что в пространстве Rвведена метрика.
В радиотехнике элементамипространства являются сигналы (токи или напряжения), математическими моделямикоторых являются функции времени x(t), y(t),…. Рассмотримследующее пространство сигналов.
1. С[a, b] — пространство непрерывных на промежутке [a, b] функций с метрикой:
/>
/> y(t)
r(x,y)
/>

2. L2(a, b) — пространство интегрируемых в квадрате функций (x(t) Î L2(a, b), если /> сметрикой
/>
Определение. Элементы линейногопространства R называются линейно независимыми,если из условия
/>
следует, что
a1 = a2 =… = an = 0.
В противном случаеэлементы f1, f2,..., fn считаются линейно зависимыми.
Максимальное числолинейно независимых элементов определяет размерность dim R пространства R иобразуют базис этого пространства. Если m = dim R, то пространствообозначается Rm.
2. Линейные нормированныепространства
Определение. Линейноепространство R называется нормированным, есликаждому элементу х Î R ставится в соответствие вещественноечисло /> («длина»элемента х), называемое нормой х, которое удовлетворяет условиям:
1.  />, тогда х = 0;
2.  /> (однородность нормы);
3.  /> (неравенство треугольника).
Положив для />
/>
превращаем нормированноепространство R в метрическое.
Можно и метрическоепространство R превратить в нормированное, еслиметрика удовлетворяет условиям:
/>/> положив />
Рассмотренные ранеепространства сигналов С[a,b] и L2(a,b) становятся соответственно нормированными, если
/> />
/>
и /> />
Если положить а = ¥, b = ¥,то квадрат этой нормы в теории сигналов носит название энергии сигнала.
/>

так как такая энергиявыделяется на резисторе с сопротивлением в 1 Ом при напряжении x(t) на его зажимах.
Пример. Имеетсятреугольный импульс длительности t:
/>
Вычислить энергию и нормусигнала.
Решение.
/>
/>
3. Линейноеунитарное пространство
Определение. Линейноенормированное пространство Rназывается унитарным, если в нем введено скалярное произведение, которое каждойпаре элементов x, y Î R ставит в соответствие действительное или комплексное число (x, y), удовлетворяющее условиям
1. (x, y) = (y, x)* ( * — знак комплексногосопряжения);
2. (a1 х1 + a2 х2, y) = a1(x1, y) + a2(x2, y) (a1, a2 Î K);
3. (x, x) ³ 0, если (х, х) = 0, то х = 0.
В унитарном пространственорма вводится следующим образом
/>

Теорема 1. Для " х, y унитарного пространства R справедливо неравенство Шварца
/>
Равенство имеет местолишь для линейно зависимых элементов.
Теорема 2. Для " х, y унитарного пространства R имеет место неравенство
/>
Равенство имеет место,если один из элементов х или yравен нулю или, когда х = l y (l > 0).
Теорема 3. Для " х, y унитарного пространства R выполняется равенство параллелограмма
/>
Равенство имеет место,если один из элементов х или yравен нулю или, когда х = l y (l > 0).
Определение. Два элементах, y Î R (x ¹ 0, y ¹ 0) называются ортогональными, если(х, y) = 0.
Система элементов e1, e2,..., en,… унитарного пространства R называется ортонормированной, если
/>

Пусть система элементов х1,х2,..., хn,… ортогональна ((xi, xj)=0, i ¹ j), тогда ее можно нормировать, положив
/>
Из ортонормированностисистемы следует ее линейная независимость. Обратно – любую линейно независимуюсистему можно ортонормировать. Процесс ортонормированности следующий. Еслисистема элементов y1, y2,..., yn,… –линейно независимая, то система e1, e2,..., en,… ., где
/>
становится ортонормированной.
Пусть теперь f – любой элемент унитарногопространства R, a e1, e2, ..., en,… – ортонормированная системаэтого пространства. Величина
/>
носит названиекоэффициента Фурье, а ряд
/>
носит название рядаФурье. Ряд Фурье наилучшим образом аппроксимирует f (приближается к f). Это значит, если рассматривать норму разности элемента f и ряда Фурье

/>
то наименьшее значениенорма примет при
/>Можно показать, чтовыполняется неравенство
/>
которое называетсянеравенством Бесселя.
Примеры ортонормированныхсистем:
1.  Система гармонических функций,записанных в комплексном виде
/>
образуют ортонормированнуюсистему в />
2.  Функции
/>
образуют для m = 1, 2, 3,… ортонормированнуюсистему, состоящую из неотрицательных функций на отрезке [0,1].
3. Ортонормированнаясистема функций Уолша wal(m, x) /> заданная на интервале /> широкоиспользуется при дискретной обработке сигналов. Аналитическое описание функцийУолша довольно сложно. Легко понять принцип построения этих функций из графиков
/>
4. Важный классортонормированных систем можно получить при помощи ортогонализации функций 1, t, t2, ..., tn,… в унитарном пространстве /> со скалярнымпроизведением
/>
где р(t) – некоторая положительная,непрерывная на интервале [a, b] функция. Для отрезка [-1, 1] и p(t) = 1 получаем полиномы Лежандра; для отрезка [-1, 1] и /> — полиномы Чебышева первогорода; для полупрямой [0, ¥]и p(t) = е-t – полином Лягерра; для всей оси (-¥, ¥) и p(t) = е-t – полином Эрмита и т.д.
Определение. Линейноеметрическое пространство Rназывается полным, если оно содержит все предельные точки. Это значит, если r(хm+p, xn) ® 0при m ® ¥ (xm Î R), " p = />, то $ хо Î R такое, что lim r(xm, xo) = 0.
m ®¥
Определение. Полное метрическоепространство называется пространством Банаха.
Полное унитарноепространство носит название пространства Гильберта.
Примеры.
1. Пространство L(a, b) – абсолютно интегрируемых на интервале (а, b) функций (x(t) Î L(a, b), если /> с метрикой
/>
является пространствомБанаха.
3.  Пространство L2(a, b), соскалярным произведением
/>
является пространствомГильберта.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Муниципальное право 5
Реферат Философия Владимира Сергеевича Соловьева 1853-1900 г.г
Реферат Стилистический анализ черт модернистского романа С. Вулф "Миссис Дэллоуэй"
Реферат Модернизация системы энергоснабжения цементного завода
Реферат Организация безналичных расчетов
Реферат Муниципальная СЛУЖБА задачи, функции, оценка эффективности
Реферат Экономическая реформа 1993 г.
Реферат Программа регистрации процесса производства для автоматизированной системы управления предприятием электронной промышленности
Реферат Классификация конструкции и основные параметры конденсаторов используемых в медицинской электронике
Реферат Narrative Style And Character In James Joyce
Реферат Патологическая анатомия . Воспаление
Реферат Великое княжество Познанское
Реферат Экология города Камышлова
Реферат Норманны
Реферат Impartiality Essay Research Paper Miles LoveImpartiality beneficence