Идентификацияобъекта управления
В современных сложных объектах, какправило, выходной сигнал объекта зависит не от одного входного сигнала, как вслучае с кривой разгона, а от нескольких входных сигналов, т.е. объектуправления имеет сложное переплетение взаимосвязей входных и выходных сигналов.
/>
Рис. 1. Схемаобъекта, состоящего из нескольких взаимосвязанных входных-выходных сигналов
Для идентификации таких сложныхобъектов используется метод регрессионного анализа с проведением активногоэксперимента на базе теории математического планирования эксперимента.
Назначение этой теории – значительносократить количество экспериментальных опытов и упростить расчеты, необходимыедля получения уравнения взаимосвязи выходного сигнала с несколькими входнымисигналами – уравнения регрессии.
Сокращение числа необходимыхэкспериментов в теории математического планирования эксперимента достигается засчет одновременного изменения всех входных сигналов (факторов), а упрощениерасчетов получается за счет того, что изменение входных сигналов (факторов)нормируется, т.е. величины />. Пусть /> – зависит от 2-х входныхфакторов.
/>
Рис. 2. Схемаисследования объекта методом регрессионного анализа для двух входных сигналов(факторов)
Точка О – номинальный режим работыобъекта. Нормализация происходит за счет того, что начало координат переноситсяв точку О на />.
/>
Рис. 3. Схемацентрального плана полного факторного эксперимента для двух входных сигналов (факторов)
Здесь (рис. 3) изображен планпроведения опытов для изучения зависимости />.Число опытов равно 4=22 – полный факторный эксперимент; Для k входных факторов число опытов вфакторном эксперименте: N=2k. При k=3 N=8; k=4, N=16 и т.д.
На приведенном выше рис. 3. изображенцентральный (точка О – в центре) ортогональный полный факторный планэксперимента для 2-х входных факторов.
Таблица 1. Полный факторныйэксперимент для k=2.№ опыта
/>
/>
/> 1 +1 +1
/> 2 -1 +1
/> 3 -1 -1
/> 4 +1 -1
/>
Свойство плана, когда, называетсяортогональностью плана.
Таблица 2. Полный факторныйэксперимент для k=3.№ опыта
/>
/>
/>
/> 1 +1 +1 +1
/> 2 -1 +1 +1
/> 3 -1 -1 +1
/> 4 +1 -1 +1
/> 5 +1 +1 -1
/> 6 -1 +1 -1
/> 7 -1 -1 -1
/> 8 +1 -1 -1
/>
В полном факторном планеэкспериментов число опытов резко возрастает в зависимости от числа входныхфакторов: k=4 N=16; k=5, N=32; k=6, N=64опыта. Поэтому для сокращения числа опытов с минимальной потерей информацииприменяются сокращенные планы – дробные реплики. Если планы содержат половинуопытов полного факторного эксперимента, то такой план носит названиеполуреплики.
Таблица 3. Пример полуреплики для k=4 (ПФЭ=16)№ опыта
/>
/>
/>
/> 1 +1 +1 +1 +1 2 +1 -1 +1 -1 3 -1 +1 +1 -1 4 -1 -1 +1 +1 5 +1 +1 -1 -1 6 +1 -1 -1 +1 7 -1 +1 -1 +1 8 -1 -1 -1 -1
Используют также ¼ реплики отполного факторного эксперимента.
Уравнение взаимосвязи входного ивыходного сигналов – уравнение регрессии – записывается в виде алгебраическогополинома 1-ой и 2-ой степени в следующем виде:
1-ой степени:
xвых = b0+b1x1+b2x2;
с учетом взаимодействия входныхфакторов для 2-х входных факторовx1 и x2:
xвых = b0 + b1x1 + b2x2+ b12x1 x2 .
Полином второй степени – уравнениерегрессии:
/>
Естественно, это уравнение болееточно описывает взаимосвязь xвых – функции отклика – с входнымифакторами (сигналами) объекта.
Задача идентификации объектауправления (ОУ) методом регрессивного анализа сводится к выбору порядкаматематической модели – уравнения регрессии – и определению коэффициентов b0, b1, b2, b12 и т.д. в этом уравнении регрессии. При определении этихкоэффициентов используется метод наименьших квадратов, в котором определяетсянаименьшая сумма отклонений в квадрате (2-ой степени) между реально полученнымв эксперименте выходным сигналом и выходным сигналом, рассчитанным(предсказанным) по уравнению регрессии, т.е. ищут минимум функции:
/>
Минимум функции Ф достигается в томслучае, когда первая частная производная (тангенс угла наклона к впадине) равнанулю, т.е.
/>.Пример
/>
Рассмотрим пример использованияметода наименьших квадратов. Пусть выходной сигнал (функция отклика) зависит отодного фактора (входного сигнала). Активно проведено n экспериментов. Задана /> иполучена /> – результатовэкспериментов. Общий вид уравнения регрессии 1-го порядка для примера:
xвых = b0+ b1x1
Методом наименьших квадратов ищемминимум функции Ф:
/>
Для получения минимума этой Фприравниваем к нулю частные производные
/>.
Для удобства получения частныхпроизводных введем фиктивную переменную x0=1 и функцию Ф запишем:
/>
/>
x0=1 можно убрать. Тогда
/>
Решая эту систему алгебраическихуравнений (можно методом Крамера), находим:
/>
/>
Проверка идентичности математическоймодели – уравнения регрессии исследуемого объекта проводится по несколькимкритериям адекватности и идентичности модели.
Поскольку результаты опытов вэксперименте заранее точно предсказать невозможно, то обработка и самирезультаты связаны с неопределенностью или вероятностью. Вероятность изменяетсяв пределах: 0 – события быть не может, 1 – событие произойдет обязательно(день-ночь). При большом числе параллельных (одинаковые условия) опытоввероятность может быть задана в виде функции распределения вероятностей (рис. 4.):
/>
Рис. 4. Схема нормального (гауссовского) законараспределения вероятностей
На практике чаще всего используетсятак называемое нормальное (гауссовское) распределение вероятностей.
Случайная величина (/>) имеет несколько числовыххарактеристик, наиболее важные из которых – это математическое ожидание идисперсия.
Математическое ожидание – это среднеевзвешенное значение случайной величины
/>
Дисперсия характеризует разбросзначений случайной величины относительно ее математического ожидания.
/>.
Проверка значимости уравнениярегрессии проводится по критерию Фишера или F-критерию. Проверка заключается в определении, значимо ли(больше ошибки измерения) полученное уравнение /> отличаетсяот уравнения />. Для этого вычисляютдисперсию относительно среднего значения выходного сигнала:
/>,
где f1 – число степеней свободы,
/>.
А также остаточную дисперсию:
/>,
f2 – число степеней свободы.
Величину критерия Фишера (F-критерий) определяют по формуле:
/> (должно быть).
Значимость коэффициентов bi уравнения регрессии определяют по t-критерию (критерии Стьюдента):
/>,
/>./>Идентификацияобъектов управления методом корреляционного анализа
Метод корреляционного анализаиспользуется для идентификации объектов управления в том случае, если входные ивыходные сигналы являются случайными величинами.
/>
Рис. 5. Схема исследования объекта корреляционнымметодом
При корреляционном анализеиспользуются:
– автокорреляционнаяфункция (АКФ) и
– взаимокорреляционнаяфункция (ВКФ).
АКФ характеризует зависимостьпоследующих значений случайной величины от предыдущих, находящихся нарасстоянии Dt.
/>
Рис. 6. График изменения входной случайной величины –входного сигнала
АКФ:
/>.
При Dt ®0 – точнее.
Взаимокорреляционная функциясвязывает две величины, отстоящие друг от друга на Dt.
ВКФ:
/>.
С АКФ и ВКФ связаны (черезпреобразование Фурье, когда входной-выходной сигнал раскладывается в ряд Фурье,состоящий из суммы синусоидальных колебаний с различной w – ряд гармоник) спектральныеплотности случайных величин.
/> – для АКФ,
/> – для ВКФ.
Физически /> показывает,какая доля мощности случайной величины приходится на данную частоту.
Через спектральную плотность находимАФЧХ объекта:
/>./>Техническая диагностика систем
Техническая диагностика – наука ораспознавании состояния технической системы. Диагнозис (гр.) – распознавание.
Объект технического диагностирования– изделие и его составные части, техническое состояние которых подлежитопределению с заданной точностью.
Техническое состояние – совокупностьсвойств объекта, характеризуемая в данный момент времени признаками,установленными технической документацией на объект.
Техническое состояние может быть:
– исправное-неисправное;
– работоспособное-неработоспособное;
– функционирующееправильно и неправильно.
Диагностирование по алгоритму – этосовокупность предписаний с использованием диагностических признаков.
Система технического диагностирования– совокупность средств и объекта диагностирования, а также и исполнителей,осуществляющих диагностирование по правилам, установленным соответствующейдокументацией. Система технической диагностики определяет состояниетехнического объекта, характер его изменения с течением времени, поопределенным диагностическим признакам.
Теоретический фундамент техническойдиагностики – теория распознавания образов, разработка алгоритмовраспознавания, создание диагностических математических моделей, устанавливающихсвязь между состояниями технической системы и их отображением в пространстведиагностических признаков (сигналов). Диагнозы – классы типичных (типовых)состояний.
Важная часть распознавания – правилапринятия решений (решающие правила).
Диагностика в режиме работы объектаназывается функциональным техническим диагностированием.
Диагностика, когда проводятсятестовые воздействия – тестовая техническая диагностика.
В технической диагностике введенопонятие глубины поиска дефекта, задаваемое указанием составной части объектадиагностики, с точностью, до которой определяется место дефекта. Обычно этомодуль или блок, иногда даже микросхема (ЛОМИКОНТ).
Актуальность технической диагностикиподтверждается следующими цифрами: в США исследования показали техническоеобслуживание и ремонт самолета в 3-4 раза больше его стоимости, ремонт иобслуживание радиотехнического оборудования – 1200% от его стоимости. В СССР(по 181 г.) ремонтом и обслуживанием металлорежущих станков занимались в 4 разабольше рабочих, чем изготовлением этого оборудования. Стоимость заводскогоремонта в ВВС США в 187 г. составила 15 млрд. долл., что в 2 раза больше, чем в180 г.
Тенденция роста убытков, связанных сотказами техники, имеет место во всех развитых странах. Отказы, неисправности,поломки, сбои, ошибки и даже катастрофы – неизбежные факторы, дестабилизирующиепроцесс нормального функционирования объекта и системы управления. Имеется 3причины отказов и катастроф:
а) применение малоизученныхфизических явлений для создания изделий;
б) несоблюдение принципа системностипри проектировании изделий; применение несовершенных и неадекватных расчетныхсхем;
в) «человеческий фактор» вразработке, производстве и эксплуатации изделий («защита от дурака»).
Так, например, недостаточнаяизученность свойств материалов и несовершенство расчетов привели к катастрофе вСША реактивного пассажирского самолета «Комета», который развалился ввоздухе. Причина – прямоугольные иллюминаторы, в углах которых возниклаконцентрация напряжений, что привело к разрушению корпуса самолета. Второйпример. В 167 г. во время наземных испытаний космического корабля «Аполлон»США возникло короткое замыкание в проводе под креслом космонавта – мгновенныйпожар в избытке кислорода – погибли 3 человека. В США подсчитано в 156 г., чтоиз-за ошибок рабочих и служащих возникло 2 млн. отказов промышленногооборудования, что стоило 2 млрд. долл. Причина большинства авиакатастроф – «человеческийфактор».
Объективность «человеческогофактора» и необходимость его учета отражена в шуточных законах Мэрфи:
1. Инструмент падаеттуда, где может нанести наибольший вред.
2. Любая трубка приукорачивании оказывается слишком короткой.
3. После разборки исборки какого-либо устройства несколько деталей оказываются лишними.
4. Количествоимеющихся в наличии запчастей обратно пропорционально потребности в них.
5. Если какая-либочасть устройства может быть смонтирована неправильно, то всегда найдетсякто-нибудь, кто так и сделает.
6. Все герметическиестыки протекают.
7. При любом расчетечисло, правильность которого для всех очевидна, становится источником ошибок.
8. Необходимостьвнесения в конструкцию принципиальных изменений возрастает непрерывно по мереприближения к завершению проекта.
Необходимость в разработке научнообоснованных методов технической диагностики и технических средств дляреализации диагностических систем и комплексов подтверждают результатыисследований, по которым установлено, что специалист 25% времени тратит на определенныечасти изделия, где произошла неисправность, 62% – на определение неисправнойдетали и только 13% времени – на восстановление отказавшей детали. Техническоедиагностирование использует технические математические модели. Отличиедиагностических моделей от обычных математических моделей, которые отражаютноминальный режим функционирования объекта или системы управления состоит в том,что диагностическая модель описывает существенные свойства аварийных режимов,вызванных различными отказами. Объект или система при разработкедиагностической модели рассматриваются по следующей схеме (рис. 3.):
/>
Рис. 7. Схема разработки диагностической модели объектаили системы управления
/>Иерархия диагностических моделей (ДМ)
/>
Рис. 8. Иерархия диагностических моделей
Из схемы видно, что диагностическиемодели могут быть различной сложности: от простых описательных (текст) доматематических моделей высокого уровня./>Классификацияотказов
а) по степени влияния: полные,частичные;
б) по характеру проявления:окончательные, перемежающиеся;
в) по степени связи: зависимые,независимые;
г) по частоте проявления:однократные, многократные;
д) по характеру возникновения:внезапные, постепенные;
е) по математическим моделям:параметрические, сигнальные;
ж) по видам проявления: обрывы,короткие замыкания, дрейф, переориентация, изменение эффективности.
Задачи диагностирования по следующейсхеме (рис. 9.):
/>
Рис. 9. Схема диагностирования по отказам
Для диагностики моделей используется(см. классификацию) множество физических видов отказов – диагностическихпризнаков.
В качестве прямых диагностическихпризнаков соответствующего отказа используют Dli = li-liном – отклонение диагностическогопараметра li от номинального значения. Косвенныедиагностические признаки оценивают через отклонение величины xвых – выходного сигнала объекта(системы).
Разработка диагностическогообеспечения системы управления или объекта идет по следующей схеме (рис. 10.):
/>
Рис. 10. Схема разработки диагностического обеспечениясистемы управления или объекта/>Математическаяпостановка задачи технического диагностирования объекта (системы управления)
Пусть:
а) задана система линейная спостоянными характеристиками на отдельном отрезке времени стационарная,работающая в номинальном режиме;
б) задано множество контрольныхточек;
в) задано множество физическихотказов с характеристикой отказов;
г) задано множество тестовых ирабочих сигналов управления;
д) задано время диагностирования ОУ (СУ).
Требуется:
Провести техническое диагностированиеОУ (СУ) в целях контроля технического состояния – обнаружение отказов, поискместа и определение причин отказа.
При вероятностных методахраспознавания технического состояния системы вероятность постановки диагноза />, где Ni – число состояний объекта из общегочисла состояний N, у которых имелместо диагноз Di, а P(kj/Di) – вероятность появлениядиагностического признака kjу объекта с диагнозом Di. Если среди Niсостояний объектов, имеющих диагноз Di, у Nij появился признак kj, то
/>
Вероятность появлениядиагностического признака kjво всех состояниях объекта N независимо от их диагноза с учетом того, что kj появляется только в Nj состояниях объекта, равна:
/>.
Из изложенного выше вытекает, чтовероятность совместного появления следующих событий: наличия у объекта диагнозаDi и диагностического признака kj – равна:
/>.
Отсюда:
/> – формула Байеса.
Формула Байеса неточно отражаетреальное положение при постановке диагноза Di при наличии диагностическогопризнака kj. Дело в том, что в этой формуле априорно (без доказательства,заранее) принято, что все диагностические признаки имеют равную вероятностьпоявления в реальных условиях работы системы, при этом не учитываетсяинформационная ценность того или иного диагностического признака.
Информационная ценностьдиагностического признака определяется количеством информации, которое вноситданный диагностический признак в описание технического состояния объектауправления (ОУ) или системы управления (СУ).
Количество информации связано сэнтропией (степенью неопределенности) состояния системы, чем вышеопределенность состояния системы (меньше энтропия), тем меньше информации мыполучим, изучая (диагностируя) эту систему (о ней и так почти все известно).
Энтропия (степень неопределенности)системы по Шеннону (разработчик теории информации) находят по формуле:
/>
где H(A) – энтропиясистемы A; P(Ai) –вероятность Ai состояния системы А.
Количество информации определяетсякак разность энтропии системы в 2-х различных состояниях:
J = H(A1) – H(A2),
где J – количество информации, H(A1) – энтропия 1-го состояния, H(A2) – энтропия 2-го состояния системы.
Список литературы
1. Льюнг Леннарт.Идентификация систем. – М.: Наука, 191.
2. Интеллектуальные системыавтоматического управления. / Под ред. И.М. Макарова, В.М. Лохина – М.:Физматпит, 2001.
3. В.О. Толкачев, Т.В.Ягодкина. Методы идентификации одномерных линейных динамических систем. – М.:МЭИ, 197.
4. К.А. Алексеев.Моделирование и идентификация элементов и систем автоматического управления. –Пенза, 2002.
5. Дочф Ричард, ВишопРоберт. Современные системы управления. – М.: Юнимедиастайп, 2002.
6. С.В. Шелобанов.Моделирование и идентификация систем управления. – Хабаровск, 199.
7. К.В. Егоров. Основытеории автоматического регулирования. – М.: Энергия, 167.