Курсовая работа
«Замкнутые сети с многорежимными стратегиями обслуживания»
Введение
Важными задачами для развития современного общества являются сбор,обработка, хранение и распространение информации. Передача информациипредставляет собой основу для решения этих задач и потому требует тщательногоизучения. Адекватное описание процесса передачи информации с помощьюматематических моделей может быть осуществлено в рамках теории массового обслуживания.При этом для многих реальных систем такой процесс моделируется посредствомсетей массового обслуживания. Например, к указанному результату приводитматематическое моделирование мультипрограммных вычислительных систем и анализих производительности, проектирование и анализ сетей передачи данных и сетейЭВМ.
В начале XX века датский ученый А.К. Эрланг, работавший накопенгагенской телефонной станции, поставил и решил ряд новых математическтхзадач, позволивших оценивать характеристики телефонных и телеграфных линийсвязи. Это способствовало возникновению нового направления в теориивероятностей – теории массового обслуживания. На начальной стадии своегоразвития теория массового обслуживания имела дело с системами массовогообслуживания, которые описываются потоками однородных заявок, поступающих всистему, процедурами обслуживания с помощью одного или нескольких каналов,процедурами формирования очередей и способами организации процесса ожиданиязаявок. Строгое научное описание случайных процессов в теории массовогообслуживания и их всестороннее исследование впервые было осуществлено А.Я. Хинчиным.Он исследовал одноканальную систему с ожиданием, простейшим входным потоком ирекуррентным обслуживанием, установив для нее так называемый основной законстационарной очереди: стационарное распределение числа заявок в системесовпадает с их стационарным распределением в случайные моменты ухода заявок изсистемы. Большой вклад в развитие теории массового обслуживания внесли Ю.К. Беляев,А.А. Боровков, Б.В. Гнеденко, Н. Джейсуолл, Дж.Р. Джексон, Ф.П. Келли,Дж. Кендалл, Дж.Ф.С. Кингмэн, Л. Клейнрок, Г.П. Климов, И.Н. Коваленко,С. Пальм, Ф. Поллачек, Ю.В. Прохоров, Дж. Риордан, Т. Саати,В.Л. Смит и др.
В 1957 г. Дж.Р. Джексон впервые ввел в рассмотрение понятиеоткрытой сети массового обслуживания ([99]), а в 1967 г. Гордон и Ньюэллввели аналогичное понятие замкнутой сети ([91]). В отличие от системы массовогообслуживания сеть представляет собой более сложное образование, состоящее изсистем массового обслуживания, называемых узлами сети, которые взаимодействуютмежду собой с помощью некоторого вероятностного механизма. В открытых сетяхзаявки могут поступать извне, а также уходить из сети. В замкнутых сетяхсохраняется постоянное число заявок, которые с помощью случайной маршрутизациимогут перемещаться между узлами сети; при этом поступление заявок в сеть и уходзаявок из сети невозможны.
Результаты Джексона и Гордона-Ньюэлла не использовались до техпор, пока в 1971 г. Ф.Р. Мур [115] не обнаружил, что замкнутые сетиадекватно описывают вычислительные системы со многими ресурсами. С этогомомента теория сетей обслуживания стала быстро развиваться благодаря задачам,связанным с математическим моделированием мультипрограммных вычислительныхсистем и анализом их производительности, с проектированием и анализом сетейпередачи данных и сетей ЭВМ. Дополнительный толчок к дальнейшему развитиютеории дала разработка и использование в повсеместной практике различныхглобальных и локальных сетей таких, например, как EZERNET, INTERNET и т.д.Значительный вклад в развитие теории сетей внесли Г.П. Башарин, А.А. Боровков,Э. Геленбе, Дж. Джексон, В.А. Ивницкий, Ф.П. Келли, Д. Кениг,Л. Клейнрок, Ю.В. Малинковский, М. Миязава, Б. Меламед, Р. Мюнтц,С.Е.М. Перс, П.К. Поллетт, А.Н. Рыбко, Р. Серфозо, Ю.М. Сухов,П. Тейлор, А.Л. Толмачев, Д. Тоусли, П. Уиттли, Дж. Уолрэнд,Г.И. Фалин, В. Хендерсон, Х. Чао, К. Ченди, Р. Шассбергери многие другие.
Состояние сети массового обслуживания обычно характеризуетсявектором, координаты которого описывают состояния отдельных узлов сети. В силумногомерности случайного процесса состояний и статистической зависимости междукоординатами исследование сетей массового обслуживания на порядок сложнее, чемисследование систем массового обслуживания. Даже в случае экспоненциальныхсетей, когда случайный процесс состояний является марковским, его эргодическоестационарное распределение удовлетворяет настолько сложной системе уравнений,что решить ее удается в основном только тогда, когда решение имеет формупроизведеня. Множители в этом произведении зависят только от свойствиндивидуальных узлов. В имеющейся литературе по стационарному распределениюэкспоненциальных сетей практически не рассматриваются сети с ненадежными иличастично ненадежными приборами. В считанных работах рассмотрены только оченьчастные вырожденные случаи и то для сетей, состоящих из двух узлов. В то жевремя в практических ситуациях оборудование может частично или полностьювыходить из строя. Например, при работе на персональном компьютере очень частонарушаются функциональные связи между некоторыми файлами, программами илидругими элементами, хотя компьютер продолжает работать. Налицо частичная потеряработоспособности, а значит, уменьшение интенсивности обслуживания.
Поэтому в диссертационной работе предпринята попытка построениямоделей, адекватно описывающих такую ситуацию. Рассмотрены экспоненциальныесети с многорежимными стратегиями обслуживания, в которых обслуживающиеустройства в узлах частично ненадежны и в различных режимах функционированияработают с разными интенсивностями. Для таких сетей находится инвариантнаявероятностная мера в мультипликативной форме.
1. Сети с переключением режимов приопределенном количестве заявок в узле
Рассматриваются замкнутые сети массового обслуживания сэкспоненциальным обслуживанием в узлах и марковской маршрутизацией.Однолинейные узлы могут работать в нескольких режимах, время переключения содного режима на другой имеет показательное распределение. Переключениепроисходит только на соседние режимы и с определенными ограничениями напереключения в отдельных режимах. Устанавливается достаточное условиемультипликативности стационарного распределения состояний сети.
Пусть />, где />. На фазовом пространстве /> задан многомерныймарковский процесс />, где />, своими инфинитезимальнымиинтенсивностями перехода
/>
/>
Интенсивности перехода из состояния /> вовсе состояния, отличные от вышеперечисленных, предполагаются равными нулю.Здесь /> при /> и /> при /> и />.
Марковский процесс /> описываетзамкнутую сеть, в которой циркулирует /> заявок.В />-м узле находитсяединственный экспоненциальный прибор с интенсивностью обслуживания />, зависящей от состоянияузла. Заявка, обслуженная в />-м узле,переходит с вероятностью /> в />-й узел. Как и в случаеоткрытых сетей компонента /> выражаетчисло заявок в />-м узле, акомпонента /> – номер режима работыприбора. Прибор />-го узла можетработать в /> режимах /> с показательнораспределенным временем пребывания в них; /> –интенсивность увеличения номера режима на единицу, /> –интенсивность уменьшения номера режима на единицу.
Глобальные уравнения равновесия для стационарных вероятностейэтого марковского процесса имеют следующую форму:
/>
/>
/>
Рассмотрим общий случай, когда для каждого узла /> существует натуральноечисло /> и конечное множествоиндексов /> такое, что /> для всех />, у которых /> для некоторого /> и /> для всех /> иного вида.
Будем предполагать, что матрица /> неприводима.Тогда уравнение трафика
/>
имеет единственное с точностью до постоянного множителя положительноерешение />. Рассмотрим марковскийпроцесс /> на фазовом пространстве />, заданныйинфинитезимальными интенсивностями
/>
/>
для всех иных состояний /> считаем,что />. Процесс /> описывает изолированныйузел в фиктивной окружающей среде, в которой на узел посылается стационарныйпуассоновский поток с параметром />, где /> – любое решение уравнениятрафика (3.1.1). При этом узел предполагается имеющим ограниченную емкость />. Это значит, что когда внем находится /> заявок ипоступает заявка, то она теряется. Уравнения равновесия для стационарныхвероятностей марковского процесса, описывающего такой узел, имеют следующийвид:
/>
для />
/>
для />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
для /> и для />
/>
для />
/>
Мы свяжем стационарное распределение /> процесса/> со стационарнымираспределениями /> процессов /> и будем интересоватьсядостаточными условиями выполнения равенства
/>
где /> – нормирующаяпостоянная, зависящая от числа узлов в сети и от числа циркулирующих в нейзаявок.
В отличие от открытой сети, здесь удобнее пользоваться введенной в[36,37,42] концепцией ограниченной квазиобратимости. Как там показано, длязамкнутых сетей ограниченная квазиобратимость дает более широкие достаточныеусловия для выполнения (3.1.9), чем квазиобратимость.
Лемма 1.1 [46, C.325]. Еслидля изолированного узла в фиктивной окружающей среде входящий поток являетсяпростейшим, то обратимость и ограниченная квазиобратимость эквивалентны.
Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Для изолированного узла условиеограниченной />-квазиобратимости из[36,37,42] принимает вид
/>
а условие обратимости – форму
/>
и для />
/>
Достаточно показать, что при выполнении (3.1.2) – (3.1.8) из(3.1.10) следует (3.1.11). Пусть /> принекотором фиксированном />.Докажем, что тогда для всех /> выполняется(3.1.11). При /> соотношение(3.1.11) следует из (3.1.4) и соотношения (3.1.10) для состояний /> и />. Предположим, что (3.1.11)выполняется для некоторого />, т.е.
/>
Тогда из (3.1.5) с учетом (3.1.12) и (3.1.10) для состояний /> и /> вытекает (3.1.11). Итак,(3.1.11) доказано с помощью индукции по />.Лемма доказана.
Лемма 1.2 [46, C.325]. Дляограниченной />-квазиобратимостиизолированного />-го узланеобходимо и достаточно выполнения условий
а) для /> принекотором />
/>
б) для всех />
/>
/>
где при /> не определеннаяранее величина /> должна бытьзаменена на />. Марковский процесс /> эргодичен, а его финальноестационарное распределение с точностью до постоянной нормировки /> определяется соотношениями
/>
/>
/>
/>
где при /> последнеенеравенство надо заменить на />.
Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Рассмотрим случайное блуждание поточкам с целочисленными координатами прямоугольника />,задаваемое уравнениями (3.1.2) – (3.1.8). Равенство (3.1.13) есть циклическоеусловие Колмогорова (2.2.18) для четырехзвенных путей, проходящих через вершиныэлементарного квадрата /> иидущих из /> в /> по и против часовойстрелки. Равенство (3.1.14) есть условие Колмогорова для />-звенных путей, проходящихчерез вершины прямоугольника /> иведущих из /> в /> по и против часовойстрелки. Это доказывает необходимость условий (3.1.13) и (3.1.14) дляобратимости, а значит (по лемме 3.1) ограниченной />-квазиобратимостиизолированного узла в фиктивной окружающей среде. Предположим, что (3.1.13),(3.1.14) выполнены. Любой замкнутый путь из /> в/> без самопересечений либоа) представляет собой некоторую однозвенную замкнутую дугу, либо б) проходит погранице некоторой фигуры, составленной из конечного числа примыкающих друг кдругу элементарных квадратов и определенных выше />-звенных прямоугольников. Для случая а) циклическое условие (2.2.18) выполняетсяавтоматически. В случае б) перемножим равенства (3.1.13) для всех элементарныхквадратов и равенства (3.1.14) для всех прямоугольников, из которых состоитупомянутая фигура. При этом интенсивности перехода для тех направленных дуг,которые не принадлежат границе фигуры, войдут множителями как в левую, так и вправую части. После сокращения на них получится циклическое условие (2.2.18)для путей, идущих по границе фигуры по и против часовой стрелки. Достаточностьусловий (3.1.13) и (3.1.14) доказана.
Докажем, что стационарное распределение изолированного узла вфиктивной окружающей среде имеет форму (3.1.15), (3.1.16). Полагая в (3.1.11) /> получим:
/>
откуда получаем
/>
Из (3.1.10) для /> находим,что
/>
Для таких же /> из(3.1.10) также следует, что
/>
в частности,
/>
Подставляя (3.1.20) в (3.1.18), а затем подставляя полученноеравенство в (3.1.19), будем иметь для />
/>
Тем самым доказано (3.1.15).
Для /> из (3.1.10)следует, что
/>
Полагая в (3.1.11) />,получим:
/>
откуда
/>
Далее, из (3.1.10)
/>
Подставляя (3.1.23) в (3.1.22), а затем полученное равенство в(3.1.21), для /> будем иметь
/>
Таким образом, (3.1.16) доказано для />
Для /> из (3.1.10)следует, что
/>
Полагая в (3.1.11) />,получим:
/>
откуда
/>
Далее, из (3.1.10)
/>
Подставляя (3.1.26) в (3.1.25), а затем полученное равенство в(3.1.24), получим (3.1.16), которое таким образом доказано и для />.
Так как /> – неприводимыйпроцесс Маркова с конечным числом состояний и непрерывным временем, то поэргодической теореме Маркова [5] он является эргодическим. Лемма 3.2 полностьюдоказана.
Основной результат 3.1 заключается в следующем.
Теорема 1.1. [46, C.326], [53, C.159–160], [56, C.325–326] Марковский процесс /> эргодичен.Для того, чтобы его стационарное распределение представлялось в формепроизведения (3.1.9), достаточно, чтобы во всех узлах сети выполнялись условия(3.1.13), (3.1.14). При этом множители в (3.1.9) имеют форму (3.1.15), (3.1.16),в которых полагается, что />, апостоянная /> имеет вид:
/>
/>
/>
где />.
Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Так как марковский процесс снепрерывным временем и конечным числом состояний является неприводимым, то онэргодичен по эргодической теореме Маркова [5]. В [42] для замкнутых сетей с «заявкосохраняющими»/> узлами установлено, чтодля мультипликативности стационарного распределения достаточно, чтобынетерминальные узлы являлись ограниченно />-квазиобратимыми.Поэтому, с учетом условия ограниченной />-квазиобратимостидля изолированного узла, которое в силу леммы 3.2 для узла с номером /> принимает форму (3.1.13),(3.1.14), имеет место первое утверждение теоремы.
Наконец, поскольку сумма всех стационарных вероятностей должнабыть равна единице, то подставляя в равенство
/>
вместо /> произведение(3.1.9) и учитывая (3.1.15), (3.1.16), после очевидных преобразований получим
/>
/>
/>
откуда вытекает (3.1.27). Теорема доказана.
Замечание 3.1. Если условия (3.1.13),(3.1.14) выполнены во всех узлах, то получается следующий алгоритм длянахождения стационарных вероятностей:
1. Решается система линейных уравнений (3.1.1). В качествеиспользуемого в дальнейшем набора /> беретсялюбой набор со строго положительными координатами.
2. Проверяется выполнение условий (3.1.13), (3.1.14).
3. По формуле (3.1.27) определяется постоянная нормировки />.
4. Определяются /> спомощью соотношений (3.1.15), (3.1.16).
5. Находится стационарное распределение состояний сети /> с помощью формулы (3.1.9).
Отметим также, что если в сети есть узлы, в которых условия(3.1.13), (3.1.14) не выполняются, то алгоритм существенно усложнится, так какв этих узлах нельзя применить (3.1.15), (3.1.16). Поэтому для таких узловнеобходимо добавить процедуру численного решения системы уравнений (3.1.2) –(3.1.8). При этом изменится также выражение для подсчета нормирующей постоянной/>. Известно, что наиболеетрудоемким этапом при вычислении стационарного распределения для замкнутыхсетей является этап подсчета нормирующей постоянной. Существуют различныечисленные процедуры, разработанные для ее вычисления, например, анализ среднихзначений [10], или алгоритм, рекуррентный по времени [4,10].
2. Примеры замкнутых сетей спереключением режимов
В 3.1 рассматривалась весьма общая модель замкнутой сети смногорежимными стратегиями. Здесь мы рассмотрим несколько полезных дляразличных приложений частных случаев этой модели. Во всех рассматриваемых нижепримерах предполагается, что для /> выполняется/> при /> и /> при />.
Случай />.Пусть для всех /> выполняется /> для /> и /> для />, а также /> для /> и /> для />. Это соответствует тому,что в модели из 3.1 полагается />.Теорема 3.1 принимает следующий вид.
Следствие 2.1. Марковский процесс /> эргодичен. Для того, чтобыего стационарное распределение представлялось в мультипликативной форме(3.1.9), достаточно, чтобы во всех узлах сети выполнялись условия
/>
/>
Множители в (3.1.9) имеют форму
/>
а постоянная нормировки имеет вид
/>
/>
/>
Случай />.Во многих практических ситуациях переход с одного режима работы на другиеневозможен, когда в узле нет заявок. Поэтому пусть для всех /> выполняется /> при />. Пусть также для всех /> выполняется /> для /> и /> для />, а также /> для /> и /> для />. Это соответствует тому,что в модели из 3.1 полагается />.
Следствие 2.2. Марковский процесс /> эргодичен. Для того, чтобыего стационарное распределение представлялось в мультипликативной форме(3.1.9), достаточно, чтобы во всех узлах сети выполнялись условия
/>
/>
Множители в (3.1.9) имеют форму
/>
/>
а постоянная нормировки имеет вид
/>
/>
/>
Случай />.Предположим, что когда все /> заявокскапливаются в одном узле, прибор не может переходить с одного режима работы надругие: /> при />. Пусть также для всех /> выполняется /> для /> и /> для />, а также /> для /> и /> для />. Это соответствует тому,что в модели из 3.1 полагается />.
Следствие 2.3. Марковский процесс /> эргодичен. Для того, чтобыего стационарное распределение представлялось в мультипликативной форме(3.1.9), достаточно, чтобы во всех узлах сети выполнялись условия
/>
/>
Множители в (3.1.9) имеют форму
/>
а постоянная нормировки имеет вид
/>
/>
/>
Случай />.Когда в узле нет заявок или все заявки скапливаются в нем, переход с одногорежима работы на другие невозможен: /> при /> или />. Пусть также для всех /> выполняется /> для /> и /> для />, а также /> для /> и /> для />. Это соответствует тому,что в модели из 3.1 полагается />.
Следствие 2.4. Марковский процесс /> эргодичен. Для того, чтобыего стационарное распределение представлялось в мультипликативной форме(3.1.9), достаточно, чтобы во всех узлах сети выполнялись условия
/>
/>
Множители в (3.1.9) имеют форму
/>
/>
а постоянная нормировки имеет вид
/>/>
/>
В следующих двух случаях стационарное распределение всегда имеетформу произведения, поскольку марковский процесс, описывающий изолированныйузел в фиктивной окружающей среде, обратим. Поэтому не надо накладывать никакихограничений типа (3.1.13), (3.1.14).
Случай />.Прибор может переключаться с одного режима работы на другие только тогда, когдав узле нет заявок: для /> выполняется /> при /> и /> при />. Кроме того для всех /> выполняется />. Это соответствует тому,что в модели из 3.1 полагается />.
Следствие 2.5. Марковский процесс /> эргодичен, а егостационарное распределение представляется в мультипликативной форме (3.1.9),множители в которой имеют форму
/>
а постоянная нормировки имеет вид
/>/>
/>
Случай />.Переход с одного режима работы прибора на другие возможен только тогда, когдавсе заявки скапливаются в узле: для /> выполняется/> при /> и /> при />. Кроме того для всех /> выполняется />. Это соответствует тому,что в модели из 3.1 полагается />.
Следствие 2.6. Марковский процесс /> эргодичен, а егостационарное распределение представляется в мультипликативной форме (3.1.9),множители в которой имеют форму
/>
/>
Можно выписать решения для других интересных с практической точкизрения случаев. Например, можно рассмотреть случай, когда переключение с одногорежима работы на другой может производиться только при определенномфиксированном числе заявок в />-ом узле />, где />. В этом случае марковскийпроцесс /> обратим без всякихдополнительных предположений типа (3.1.13), (3.1.14).
Заключение
В работе рассмотрена задача установления достаточных условий,которые надо наложить на изолированные узлы замкнутой сети массовогообслуживания с многорежимными стратегиями обслуживания, чтобы стационарноераспределение состояний сети имело мультипликативную форму с множителями,зависящими от состояний отдельных узлов. При этом изолированные узлы помещаютсяв фиктивную окружающую среду, характеризующуюся поступлением в нихпуассоновских потоков заявок. Такие достаточные условия мультипликативностистационарного распределения состояний замкнутой сети в стационарном режиме ееработы установлены как для случая, когда интенсивности перехода в соседниережимы работы строго положительны при любых числах заявок в узлах, так и дляслучая, когда при определенных числах заявок в узлах они строго положительны, апри других числах все они равны нулю.
Доказана эргодичность марковского процесса, описывающего состояниясети. При выполнении установленных достаточных условий мультипликативности ваналитической форме найдены множители в мультипликативном представлениистационарного распределения и нормирующая постоянная. Построен алгоритм длярасчета стационарных вероятностей состояний сети.
Литература
1. Кениг Д., Рыков В.В., Шмидт Ф. Стационарные системымассового обслуживания с зависимостями // Итоги науки и техники. – М.,1981. – Т.18. – С. 95–186. – (Сер. Теория вероятностей. Матем. статистика.Теор. кибернетика / ВИНИТИ).
2. Клейнрок Л. Коммуникационные сети. – М.: Наука, 1970. – 255 с.
3. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. – М.: Мир,1979. – 600 с.
4. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. – М.:Наука, 1966. – 243 с.
5. Ковалев Е.А. Сети с ненадежными каналами и резервом //Математические методы исследования сетей связи и сетей ЭВМ. Тезисы докладов VIБелорусской школы-семинара по ТМО. – Минск, 1990. – С. 70–71.
6. Ковалев Е.А., Чикунова Н.А. Стационарноераспределение двухузловой замкнутой ненадежной сети с делящимся резервом //Материалы международной конференции «Современные математические методыисследования телекоммуникационных сетей». – Минск, 1999. – С. 85–89.
7. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория иприложения. – М.: Мир, 1965. – 302 с.
8. Крыленко А.В. Сети массового обслуживания снесколькими типами заявок, немедленным обслуживанием и обходами узлов заявками //Проблемы передачи информации. – 1997. – Т. 33, Вып. 3. – С. 91–101.
9. Крыленко А.В. Малинковский Ю.В. Сетимассового обслуживания с мгновенно обслуживаемыми заявками II. Модели снесколькими тинами заявок // Автоматика и телемеханика. – 1998. – №2. – С. 62–71.
10. Крыленко А.В., Малинковский Ю.В. Замкнутые сетимассового обслуживания с обходами узлов и несколькими классами заявок //Becni Акад. навук Беларусi. Сер. ф1з.-мат. навук. – 1998. – №2. – С.
11. Крыленко А.В. Инвариантность стационарногораспределения замкнутых сетей массового обслуживания с обходами узлов,неэкспоненциальным обслуживанием и несколькими типами заявок // BecniАкад. навук
12. Крыленко A.В., Малинковский Ю.В. Сети обслуживания собходами и несколькими классами заявок // Исследование систем и сетеймассового обслуживания: Тез. докл. 12‑й Бел. зимней школы-семинара поТМО, Гр., 1996 г. / Бел. гос. унив. – 1996. – С. 48–49.
13. Крыленко А.В., Малинковский Ю.В. Замкнутые сетимассового обслуживания с обходами узлов и несколькими классами заявок //VII Белорусская математ. конф. Тез. докл. науч. конф., Минск, 18–22 нояб. 1996 г./ Бел. матем. общ-во, Бел. гос. унив., Ин‑т матем-ки Академии наукБеларуси. – 1996.
14. Крыленко А.В. Инвариантность сетей массовогоообслуживанием и обходами узлов заявками // Математические методы исследованиятелекоммуникационных сетей: Материалы 13‑й Бел. зимней школ. (науч. конф.BWWQT‑97), Минск, 3 – 1997 г. / Бел. гос. унив. – 1997. – С. 50–52.
15. Малинковский Ю.В. Критерий точечной независимостисостояний узлов в открытой стационарной марковской сети обслуживания с однимклассом заявок // Теория вероятностей и ее применения. – 1990. – Т.35, №4.– С. 779–784.
16. Малинковский Ю.В. Мультипликативность стационарногораспределения открытых сетей обслуживания со стандартными узлами и однотипнымизаявками // Проблемы передачи информации. – 1999. – Том 35, Вып.1. – С. 96–110.
17. Малинковский Ю.В. Мультипликативность стационарногораспределения состояний для одного класса сетей массового обслуживания //Автоматика и телемеханика. – 1988. – №2. – С. 108–118.