Лабораторная работа
«Дифференцирующие иинтегрирующие цепи»Полянчев С.,Коротков Р.
Цели работы: ознакомление с принципом действия,основными свойствами и параметрами дифференцирующих и интегрирующих цепей, установление условиядифференцирования и интегрирования, определение постоянной времени.
Теоретическаячасть.
В радиоэлектронике иэкспериментальной физике возникает необходимость преобразования формы сигналов.Часто это может быть выполнено путём их дифференцирования или интегрирования.Например, при формировании запускающих импульсов для управления работой рядаустройств импульсной техники (дифференцирующие цепи) или при выделенииполезного сигнала на фоне шумов (интегрирующие цепи).
Анализ простейших цепей длядифференцирования и интегрирования сигналов
Дифференцирующей называетсярадиотехническая цепь, с выхода которой может сниматься сигал, пропорциональныйпроизводной от входного сигнала Uвых(t) ~ dUвх(t)/dt (1)
Аналогично, для интегрирующей цепи: Uвых(t) ~ òUвх(t)dt (2)
Поскольку дифференцирование иинтегрирование являются линейными математическими операциями, указанные вышепреобразования сигналов могут осуществляться линейными цепями, т.е. схемами,состоящими из постоянных индуктивностей, емкостей и сопротивлений.
Рассмотрим цепь с последовательносоединёнными R, C и L, навход которой подаётся сигал Uвх(t) (рис.1).
/>
Выходной сигал в такой цепи можноснимать с любого её элемента. При этом:
UR+UC+UL= Ri(t) + 1/c òi(t)dt + L di(t)/dt = Uвх(t). (3)
Очевидно, что поскольку значения UR, UC и UL определяются параметрами R, C и L, топодбором последних могут быть осуществлены ситуации, когдаUR, UC и ULсущественно неодинаковы. Рассмотримдля случая цепи, в которой UL» 0 (RC –цепь).
А) UC >> UR, тогда из (3) имеем:
i(t) = C dUвх(t)/dt (4)
Отсюда следует, что напряжения насопротивлении пропорционально производной от входного сигнала:
UR(t) = RC dUвх(t)/dt = t0dUвх(t)/dt. (5)
Таким образом, мы приходим к схемедифференцирующего четырёхполюсника, показанной на рис.2, в которой выходнойсигал снимается с сопротивления R.
/>
Б) UR >> UC.В этом случае из (3) получаем:i(t) = Uвх(t)/R (6) и напряжение на емкости равно:
UC = 1/RC òUвх(t)dt = 1/t0òUвх(t)dt. (7)
Видно, что для осуществления операцииинтегрирования необходимо использовать RC-цепочку в соответствии со схемой на рис.3.
/>
Для получения как эффектадифференцирования, так и интегрирования, сигнал надо снимать с элемента, накотором наименьшее падение напряжения. Величина Uвых(t) определяетсязначением постоянной времени t0, равной RC для RC-цепочки.
Очевидно, что эффектыдифференцирования и интегрирования в общем случае отвечают, соответственно,относительно малым и большим t0.
Условия дифференцирования иинтегрирования
Уточним теперь, как связаны условия Аи Б, а также использованные выше понятия «малого» и «большого» t0с параметрами R, C, L и характеристиками сигнала.
Пусть входной сигнал Uвх(t) обладает спектральной плотностью />, т.е.
/>/> (12)
Тогда при точном дифференцированиидля выходного сигнала получим:
/>, (13)
откуда следует, что коэффициентпередачи идеального дифференцирующего четырёхполюсника (/>) равен:
/> (14)
Рассмотренная нами дифференцирующаяцепь (рис.2) имеет коэффициент передачи:
/> (15)
Из сравнения (14) и (15) видно, чторассмотренная нами цепь будет тем ближе к идеальной, чем лучше выполняетсяусловие
wt0
Причём, для всех частот вспектре входного сигнала. Для упрощения оценки в неравенство (16) обычноподставляют максимальную частоту в спектре входного сигнала wmt0
Итак, чтобы продифференцироватьнекоторый сигнал, необходимо найти его спектральный состав и собрать RC-цепь с постоянной времени t0
Отметим, что для импульсных сигналовверхнюю границу полосы частот можно оценить по формуле (2) wm = 2p/tu, где tu – длительность импульса. Т.о., вэтом случае условие дифференцирования запишется в виде
t0
Совершенно аналогично можно показать,что для удовлетворительного интегрирования требуется выполнение условия
wt0>> 1 (18)
также для всех частот спектравходного сигнала, в том числе и для самой нижней. Аналогично для интегрированияимпульсов длительностью tu условие интегрирования запишется в виде
t0
Из неравенств (16), (18) следует, чтопри заданной цепи дифференцирование осуществляется тем точнее, чем нижечастоты, на которых концентрируется энергия входного сигнала, а интегрирование– чем выше эти частоты. Чем точнее дифференцирование или интегрирование, темменьше величина выходного сигнала.
Прохождение прямоугольных импульсовчерез RC-цепи
В качестве примера, иллюстрирующегодифференцирование и интегрирование сигналов, рассмотрим отклик RC-цепей, показанных на рис.2 и 3, напрямоугольный импульс. Возьмём цепь, на выходе которой стоит сопротивление(рис.2), найдём осциллограмму выходного напряжения, т.е. вид UR(t). Пусть в момент времени t = 0 на входе возникает скачок напряжения U0(рис.4).
/>
В этом случае для 0
U0= 1/C òi(t)dt + UR(t). (17)
После дифференцирования получим
dUR/dt + UR/t0= 0. (18)
Поскольку ёмкость С не можетзарядиться мгновенно, то для t = 0,UR = U0всё входное напряжение оказывается приложенным ксопротивлению. С учётом этого начального условия решение уравнения (18)запишется в виде:
/>. (19)
Экспоненциальный спад выходногонапряжения описывает процесс зарядки ёмкости через сопротивление R и соответствующее перераспределениенапряжения между R и C. При этом постоянная времени t0характеризует скорость зарядки ёмкости и может бытьинтерпретирована как время, за которое напряжение UR уменьшится в е раз.
Для t0
Если выходное напряжение снимается сконденсатора, то для 0
/> (21)
и для t >= tu
/>. (22)
/>
Если цепь является интегрирующей, товыполняется неравенство t0>> tu, что позволяет использоватьразложение экспоненты в ряд Тейлора.
В результате для выходного напряженияпри 0
/>. (24)
Т.о., выходной сигнал в первомприближении действительно пропорционален интегралу от входного (рис.5).
Практическая часть.
Задание 1: Получить амплитудно-частотную ифазово-частотную характеристики RC-цепочки.Построить графики.
1) С = 0,05 мкФ; R= 1,5 кОм
Таблица для графиков:
f, Гц*103 0,9 1,5 2 3 4 5 6 7 9 11 13 16 20 K 0,85 0,75 0,69 0,54 0,47 0,42 0,31 0,28 0,22 0,19 0,16 0,13 0,08
Dj,o 13,4 18,1 22,0 30,0 41,8 48,6 55,5 56,4 57,8 59,0 60,1 61,6 62,8
График К(f):
/>
График Dj(f):
/>
2) С = 0,1 мкФ; R= 470 Ом
Таблица для графиков:
f, Гц*103 0,2 0,5 0,9 1,4 2 3 4 5 6 7 9 11 13 16 20 К 0,98 0,97 0,95 0,87 0,81 0,70 0,60 0,50 0,44 0,39 0,35 0,26 0,22 0,13 0,09
Dj,o 4,3 9,22 12,9 17,1 21,9 29,2 39,9 47,3 56,2 58,4 60,4 63,7 66,9 69,3 72,5
График К(f):
/>
График Dj(f):
/>
Видно, что графики для К(f) в обоих случаях совпали стеоретическим. Для графиков Dj(f) наблюдается небольшое различие стеорией, т.к. не удалось достигнуть сдвига фаз p/2.
Задание 2: Провести измерение переходнойхарактеристики RC-цепочки придвух способах её включения, сравнить с теорией.
Были проведены измеренияоткликов интегрирующей и дифференцирующей цепей на прямоугольный импульс придвух значениях постоянной времени t (см. осциллограммы на миллиметровой бумаге). Вид осциллограммUC(t) и UR(t) совпадает с рассчитанным в теоретическойчасти отчёта (см. рис. 4,5).
Задание 3: Определить t0.Определим величину t0по наклону касательной к осциллограмме в точке t = 0 (см. прилагаемый рисунок). Тогда значение, отсечённоекасательной на оси абсцисс, и будет соответствовать t0. Видно, что t0= 0,8*50*10-6 с = 40 мкс.
Вывод: в данной работе мы изучилидифференцирующие и интегрирующие электрические цепи. Были поучены АЧХ и ФЧХ дляRC-цепочки, установлены условиядифференцирования и интегрирования. Также был исследован откликчетырёхполюсников на прямоугольный импульс, измерены их переходные характеристикии экспериментально определена величина t0.
Литература
1. В.Н.Ушаков. ”Основырадиоэлектроники и радиотехнические устройства”. М., «Высшая школа», 1976.
2. Е.И. Манаев. “Основырадиоэлектроники”. М., «Радио и связь», 1985.