Випадковіпроцеси та одновимірні закони розподілу ймовірностей
Характер прийнятих сигналів як носіївінформації є випадковим і заздалегідь не є відомий, тому з цього поглядусигнали треба розглядати як випадкові функції часу. Крім того, передаванняінформації завжди супроводжується дією різноманітних завад та шумів, томуреальні сигнали є сумішшю корисного сигналу та завади.
Ha відміну від детермінованихсигналів, які не несуть інформації і однозначно визначають значення конкретногопроцесу в будь-який момент часу, перебіг випадкових сигналів передбачитинеможливо. Проте, спостерігаючи за численними реалізаціями одного і того жвипадкового процесу під імовірнісним кутом зору, можна виявити певнізакономірності, що характеризують цей процес, та визначити сукупністьневипадкових числових характеристик, які описують його.
Математичноюмоделлю випадкового сигналу є випадкова функція. Випадкова функція будь-якогоаргументу – це функція, значення якої при кожному значенні аргументу є випадкове.Випадкову функцію часу називають випадковим процесом. Випадковий процеспозначимо функцією />. Спостерігаючибагаторазово за одним і тим же випадковим процесом, що перебігає в незміннихумовах, кожен раз отримуємо конкретні реалізації />,не подібні одна на одну.
Крімтого, неможливо передбачити, яку саме реалізацію отримаємо при даномуконкретному спостереженні. Кожне окреме спостереження називають дослідом абовипробуванням.
Випадковийпроцес повністю характеризується нескінченно великою кількістю реалізацій, якіутворюють ансамбль реалізацій. Ha основі дослідження заданого ансамблю можнавизначити статистичні характеристики, властиві випадковому процесові.
Розглянемо/> реалізацій випадковогопроцесу /> (рис. l). Сукупністьмиттєвих значень випадкового процесу, заданого ансамблем реалізацій у довільниймомент часу, називають перетином випадкового процесу.
Haрис. 1 показано перетин випадкового процесу /> вмомент />, який дає змогу визначитисукупність миттєвих значень процесу />;/>,../>. Ця сукупність даєможливість визначити одновимірну функцію розподілу ймовірностей випадковоївеличини />. Для цього виділимо тізначення, які в момент часу /> задовольняютьумову:
/> (1)
де/> – деяке вибране значеннявипадкового процесу.
/>
Рисунок 1 – Ансамбльреалізацій випадкового процесу
Позначимочисло цих значень як />. Відношення /> називають у теоріїймовірностей частотою настання події. У даному разі під подією розуміємовиконання умови (1). При достатньо великому значенні /> відношення /> прямуватиме до постійногочисла, яке називають ймовірністю того, що при /> випадковафункція /> менша від значення />:
/> (2)
Haпрактиці при достатньо великих /> можнанаближено вважати:
/> (3)
Діючианалогічно для інших значень /> вінтервалі /> можемо побудуватиодновимірну функцію розподілу ймовірностей випадкового процесу (рис.2):
/> (4)
/>
Рисунок 2 – Одновимірнафункція розподілу ймовірностей випадкового процесу
Функція/> матиме ступінчастий характеру тому разі, якщо випадковий процес набирає дискретних значень. Якщо жвипадковий процес змінює свої значення неперервно, то функція /> теж матиме вигляд плавноїкривої. Очевидно, що для її побудови треба зменшувати до нуля інтервал /> між сусідніми значеннями /> (рис.2). Зауважимо, щофункція розподілу ймовірностей є неспадаючою функцією свого аргументу. Цевипливає з її означення.
Тіснопов'язаною з одновимірною функцією розподілу ймовірностей випадкового процесу єодновимірна густина розподілу ймовірностей випадкового процесу, яку на основіансамблю реалізацій наближено визначимо так:
/> (5)
де/> – кількість реалізацій,значення яких у момент /> були менші від /> визначаємо, як і раніше.
Затакого визначення густина розподілу теж має ступінчастий вигляд, як показано нaрис.
/>
Рисунок 3 – Одновимірнагустина розподілу ймовірностей
Підвищенняточності визначення густини розподілу можна досягти зменшенням інтервалу /> до нуля:
/>.(6)
Із(6) бачимо, що густина розподілу є похідною по /> одновимірноїфункції розподілу. Узагальнюючи, можемо записати:
/>.(7)
Очевидно,що в загальному випадку графік функції /> маєвигляд плавної кривої (рис. 3):
/>,(8)
зякого випливає, що значення функції розподілу ймовірностей для аргументу /> дорівнює площі під кривоюгустини розподілу ймовірностей у межах від /> до/>.
Очевидно,що ймовірність того, що значення випадкового процесу лежить у межах від /> до />, дорівнює одиниці, тобто
/> (9)
аймовірність того, що випадкова функція /> умомент /> перебуває в інтервалі між /> та />, дорівнює:
/> (10)
Отже,ймовірність того, що значення випадкової функції у момент /> перебувають у заданомуінтервалі, дорівнює різниці значень функції розподілу ймовірностей для верхньоїта нижньої меж заданого інтервалу.
Співвідношення(9) називають умовою нормування.
Зауважимотакож, що функції /> та /> для довільних значень /> та /> завжди приймають додатнізначення.
Частофункцію розподілу ймовірностей /> називаютьінтегральним законом розподілу, а густину розподілу ймовірностей –диференціальним законом розподілу ймовірностей.
Функції/> та />статистично повністюхарактеризують значення випадкової функції /> узаданий момент часу /> і тому їхназивають одновимірними. Ці функції є найпростішими характеристикамивипадкового процесу, оскільки вони дають уявлення про процес лише в окремі фіксованімоменти часу.
Утаблицях 1 та 2. подані деякі найбільш поширені одновимірні закони розподілуймовірностей випадкових процесів.Таблиця 1 – Типові одновимірніфункції розподілу ймовірностей випадкових процесів />Назва закону
Одновимірна функція розподілу />
Графік функції /> 1 2 3 Рівномірний
/>
/> Експоненційний
/>
/> Нормальний (закон Гауса)
/>
/> - інтеграл імовірностей
/>
Таблиця 2 – Типові одновимірніфункції розподілу ймовірностей випадкових процесів />Назва закону
Одновимірна густина розподілу />
Графік функції /> Рівномірний
/>
/> Експоненційний
/>
/> Нормальний (закон Гауса)
/>
/>
Проходженнясигналів в електронних колах супроводжується різноманітними перетвореннямихарактеристик сигналів. У випадкових сигналів можуть змінюватися закони їхрозподілу, аналітичний розрахунок часто дуже складний.
Виявляється,що значно простішим є завдання розрахунку певних числових характеристик законіврозподілу, які можна визначити на основі нескладних експериментів. У багатьохвипадках точність розрахунків, що забезпечують згадані числові характеристики,цілком задовільна для потреб практики. Такими числовими характеристиками ємоменти випадкової величини. Вони є детермінованими числами.
Момент/>-го порядку /> неперервної випадковоївеличини /> визначають за формулою:
/> (11)
де/> – одновимірна густинарозподілу ймовірностей випадкової величини />.
Моментпершого порядку
/> (12)
називаютьматематичним сподіванням або середнім значенням випадкової величини.
Зауважимо,що згідно з (12) усереднення випадкової величини /> проводитьсяпо ансамблю із /> реалізаційвипадкового процесу. Статистичне визначення його середнього значення у перетинів момент часу /> здійснюємо за формулою:
/> (13)
Для прикладу визначимо моменти першого тадругого порядку для рівномірного та експоненційного закону розподілуймовірностей (табл. 1 та 2).
Рівномірнийзакон розподілу.
Математичнесподівання
/> (14)
Моментдругого порядку
/> (15)
Експоненційнийзакон розподілу.
Математичнесподівання
/> (16)
Моментдругого порядку
/> (17)
Взаємозв'язокміж формою закону розподілу ймовірностей та його числовими характеристикамистає більш наочним при використанні поняття центрованої випадкової величини.Випадкова величина називається центрованою, якщо її середнє значення дорівнюєнулеві.
Отже,випадкова величина /> центруєтьсявідніманням від неї середнього значення />:
/> (18)
Із(18) випливає, що центрування випадкової величини є рівнозначне зміщеннюпочатку координат на графіку одновимірної густини розподілу ймовірностей /> на величину /> вздовж осі абсцис і неприводить до деформації закону розподілу. Сказане ілюструє рис. 4.
/>
Рисунок 4 – Центруваннявипадкової величини
Haвідміну від початкових моментів, які визначають за формулою (11), моментицентрованої величини називають центральними моментами.
Центральниймомент /> ro порядку визначають заформулою:
/> (19)
Центральниймомент першого порядку центрованої випадкової величини завжди дорівнює нулевіза означенням:
/>.(20)
Центральниймомент другого порядку
/> (21)
Із(21) випливає, що другий центральний момент можна визначити через початковімоменти таким чином:
/>
/>
/> (22)
Цеймомент характеризує розсіювання можливих значень випадкової величини /> відносно її середньогозначення і називається дисперсією. Стосовно електричних сигналів дисперсіяхарактеризує потужність відхилень випадкової величини від середнього значення,яка виділяється на навантаженні в 1 Ом.
Частовикористовують таке позначення дисперсії:
/>.(23)
Величину/>, що дорівнює додатномузначенню кореня квадратного з центрального моменту другого порядку, називаютьсереднім квадратичним відхиленням випадкової величини />.
Розмірність/> збігається із розмірністювипадкової величини /> і тому її можнавикористовувати для оцінювання ширини кривої густини розподілу ймовірностей:чим більше значення />, тим ширшим єграфік функції />.
Наоснові ансамблю з /> реалізаційвипадкового процесу статистичне визначення дисперсії проводимо за формулою:
/> (24)
Визначимоперший та другий центральні моменти для рівномірного та експоненційного законів(табл.1 та 2).
Рівномірнийзакон. Оскільки математичне сподівання для цього випадку дорівнює нулеві, тообидва центральні моменти збігаються з початковими моментами, тобто
/>,/>
Експоненційнийзакон. Перший центральний момент за означенням дорівнює нулеві. Другийцентральний момент (дисперсія), згідно з (22), визначаємо за формулою:
/>.
Прирозв'язуванні багатьох практичних завдань доводиться додавати, віднімати таперемножувати випадкові сигнали. При цьому числові характеристики результуючихсигналів достатньо просто визначають через числові характеристики первиннихсигналів.
Наприклад,якщо /> та /> є первинними незалежнимисигналам, /> –постійна величина, то справедливі такі співвідношення:
/> (25)
/> (26)
/> (27)
/> (28)
/>
/> (29а)
/>.(29б)
Поданіспіввідношення можна узагальнити на випадок більшої кількості випадковихсигналів. У загальному випадку числові характеристики одновимірних розподілів залежатьвід часу. Це зумовлюється часовою залежністю функції розподілу /> та одновимірної густинирозподілу />. Тому в цьому разі числовіхарактеристики замість чисел стають функціями часу і їх називають моментними функціями.На рис. 5a зображена реалізація випадкового процесу, перша моментна функціяякого (середні значення) не змінюється в часі і дорівнює нулеві, а центральнамоментна функція другого порядку (дисперсія) з часом зростає. Рисунок 5білюструє варіант реалізації випадкового процесу з незмінною дисперсією тазмінним у часі середнім значенням.
/>
Рисунок 5 – Варіантиреалізацій випадкового процесу із змінними в часі числовими характеристиками.