Контрольна робота з теми:
АНАЛІЗ СТІЙКОСІ ПРОЦЕСІВ В НЕЛІНІЙНІЙ СХЕМІ
1.Основні поняття теорії стійкості
Будеморозглядати стійкість двох станів нелінійних схем – періодичного режиму таположення рівноваги.
Вположенні рівноваги схема знаходиться при вимкненій зовнішній дії, але призбережені джерел постійної напруги. Отже, в положенні рівноваги в елементахсхеми протікають тільки постійні струми і на елементах діють лише постійнінапруги. Цей стан має бути нестійким в автогенераторі і, навпаки, стійким впідсилювачі, помножувачі частоти та інших подібних пристроях.
Нагадаємо,що означає стійкість якого-небудь стана системи. Щоб вирішити стійкий виділенийнами стан, треба вивести систему з нього і прослідкувати за її поведінкою. Якщоз часом система повернеться до початкового стану, або приблизиться до нього, тоцей стан зветься стійким, або по-іншому – стійким за Ляпуновим. Якщо з часомсистема віддаляється від початкового стану, то його звуть нестійким.
Прийнятонаступну термінологію. Початковий стан системи отримав назву незбудженого руху.Процес, протікаючий в системі після того, як вона виведена з початкового стану,зветься збуреним рухом. Різницю між вказаними рухами назвали збуренням.Очевидно, при стані, стійким по Ляпунову, збурення протягом часу не зростають,при асимптотичній стійкості – прямує до нуля, а при нестійкому – зростають.Таким чином, для аналіза стійкості треба знати поведінку збурень. Складністьзадачі про їх поведінку визначається початковими значеннями збурень – довільневоно або мале порівняно з шуканим рухом. У зв’язку з цим стійкий стан,знайдений при довільному, але кінцевому відхиленню від нього, звуть стійким ввеликому. Стійкий стан, отриманий при малому відхиленні від початкового руху,звуть локально стійким (стійким в малому).
Знайдеморівняння, якому підпорядковані збурення
/>. (1)
Нехай/> -стаціонарний стан, стійкість якого досліджується. При /> маємо положення рівноваги, а при /> - періодичнийрежим. Запроваджуючи збурення />, запишемо збурений рух
/>. (2)
Підставимо(2) в (1) і врахуемо, що /> - рішення (1):
/> (3)
Отримаємо,що довільні збурення описуються автономним (без правої частини) нелінійнимдиференційним рівнянням. Нелінійність рівняння зберігається при усякому шуканомустані – положенні рівноваги або періодичному режимі.
Розглянемомалі збурення, для яких справедливі умови />. Це дає можливість нелінійнуфункцію з (3) розкласти в ряд по ступеням малих відхилень, обмежуваючись двома першимичленами,
/>,
/>.
Підстановкав (3) дає
/> (4)
Тутквадратні дужки вказують на те, що похідні беруться при />.
Коли/>, то />, /> -диференційна провідність і ємність в робочій точці нелінійних елементів. Якщо />, то />, />.
Такимчином, малі збурення описуються лінійним диференційним рівнянням, коефіцієнтиякого постійні в випадку, коли розглядається стійкість положення рівноваги, івиявляються періодичними функціями часу для збурень періодичного процесу.
Очевидно,що для виділених станів схеми аналіз стійкості у великому найбільш складний,оскільки він зв’язаний з рішенням диференційного рівняння. Наступним заскладністю буде вивчення локальної стійкості періодичного режиму, а самимпростим – аналіз локальної стійкості – в малому, або в великому – важливо присхемотехнічному проектуванні розглядених вузлів.
Вавтогенераторі положення рівноваги повинно бути нестійким, тому можнаобмежитися вивченням локальної стійкості. Той самий стан в підсилювачіпотужності і подібних схемах повинен бути стійким. В ході налагодження такихвузлів відхилення від стана рівноваги може і не бути малим. Тому необхіднийаналіз стійкості в великому.
Періодичнийрежим в схемах, де він є робочим, повинен бути стійким, причому бажано, щобстійкість збереглася і при великих відхиленнях. Стійкість періодичного режиму ввеликому можливо замінити вимогами про існування в схемі єдиного періодичногорежиму. Нелінійні схеми, наділені вказаними властивостями, звуть конвергентними.
З’ясуємохарактер стійкості, котрий нас цікавить у розгляданих схемах, розглянемопитання, як доцільно проводити аналіз.
Насампередвідмітимо, що критерії конвергентності встановлені лише для кіл з нелінійнимиопорами. Їх в загальному випадку не можна розповсюджувати на схеми, в яких єнелінійні ємності та індуктивності. Далі, якщо встановлена стійкість положеннярівноваги в великому, наприклад, в підсилювачі потужності, то це не гарантуєнавіть локальної стійкості періодичного режиму.
Прийнявшидо уваги викладене, а також складність вивчення стійкості положення рівноваги ввеликому, приходимо до висновку: на сьогодення змушені обмежиться аналізомстійкості в малому. Це не дозволяє стверджувати, що в проектуємій схемі невиникають ніякі паразитні ефекти. Останнє примусить нас робити в ряді випадківдеякі додаткові обчислення. Наприклад, встановити, чи виходить підсилювачпотужності із положення рівноваги в періодичний режим при подачі на вхід схемизовнішнього сигналу.
2.Методи аналізу стійкості положення рівноваги
Малізбурення положення рівноваги описуються лінійним диференційним рівнянням зпостійними коефіцієнтами. Так отримаємо
/>. (5)
Тут/> - малізбурення, />,/> -диференційна провідність і ємність в робочій точці, /> - оператор диференціювання,/> — провідністьлінійної частини схеми.
Вираз(5) звуть рівнянням першого зближення. Йому відповідає лінійна схема, якавиходе із шуканої шляхом ввімкнення зовнішнього джерела живлення та замінинелінійного опора і ємності на лінійні елементи з номіналами /> і />. Таку схему називаютьлініаризованою.
Длявирішення питання відносно локальної стійкості використовується теорема, якудовів А.М. Ляпунов. Приведемо її в такій формі: якщо усі кореніхарактеристичного полінома рівняння першого приближення мають від’ємні дійснічастини, то положення рівноваги асимптотично стійке. Якщо середхарактеристичних коренів є хоч один з додатною дійсною частиною, то положеннярівноваги нестійке.
Зтеореми витікає, що рівняння першого зближення не вирішує питання про стійкістьпри характеристичних коренях з нульовою дійсною частиною. Це так званий,критичний випадок. Ми не будемо на ньому зупинятися, вважаючи, що малою зміноюякого-небудь параметра схеми ми від нього відходимо.
Такимчином, для аналізу стійкості положення рівноваги треба вирішити дві задачі:знайти характеристичний поліном лініарізованої схеми і встановити знак дійсноїчастини коренів цього поліному.
Другазадача була вирішена ще в минулому столітті. Це дало критерії стійкості,пізніше названими алгебраїчними. За їх допомогою про знак дійсної частинихарактеристичних коренів гадають по співвідношенню між коефіцієнтами полінома.Оскільки критерії стійкості, як алгебраїчні, так і частотні, докладнішерозглянуті в ряді підручників, то обмежимось тут такими ствердженнями: найбільшзручний для обчислень на ЕОМ критерій Рауса; проводити за його допомогою аналізможна лише при додатності усіх коефіцієнтів характеристичного полінома (інакше– якщо хоч один з коефіцієнтів від’ємний – серед коренів полінома будуть такі,у яких дійсна частина додатна і які називаються правими, тому що вонирозташовуються в правій частині комплексної площини).
Зпоявою ЕОМ і розвитком програмного забезпечення можливо вирішення другоїзадачі, пов’язаної з розрахунком характеристичних коренів. Це дає користувачубільш повну інформацію, дозволяючи, наприклад, при нестійкості локалізувати помінімальній частині правих коренів елементи схеми, які більше всього впливаютьна стійкість.
Звернемосьдо першої задачі. Послідовність дій при її вирішені може бути такою. В шуканійнелінійній схемі знаходиться положення рівноваги – робоча точка нахарактеристиках нелінійних елементів. Ці характеристики лініарізуються в маломуоточенні робочої точки і робиться перехід до лініарізованої схеми. Така схема єеквівалентною для малих відхилень від положення рівноваги. Для неї складаєтьсяхарактеристичний поліном.
Всіетапи, до отримання еквівалентної схеми, можна зробити за допомогою ЕОМ.Доцільно покласти на машину і складання характеристичного полінома, тому, щопри високому порядку схеми трудомісткість ручної роботи велика та зростаєвірогідність помилок. Для розрахунка коефіцієнтів характеристичного поліномапотрібна програма, яка дозволяє скласти функції кола в символьному тачисельно-символьному вигляді.
Довільнафункція кола /> уявляє собою відношення поліноміввід />
/>.
Коефіцієнтиполіномів залежать від параметрів елементів схеми.
Будемоказати, що функція кола записана в чисельно-символьному вигляді, якщокоефіцієнти її поліномів – числа. Очевидно, що при цьому всі параметриелементів схеми задані чисельними значеннями. Якщо всі або частина параметрівможуть приймати різні значення з деякого чисельного інтервалу, то такі елементипозначають символами (наприклад, />, />, /> і т.д.). Тоді коефіцієнтиполіномів будуть функціями символів. Тепер будемо вважати, що функція колаподана в символьному вигляді.
Покажемо,як по функції кола визначити характеристичний поліном. Нехай відносно довільнихдвох точок еквівалентної схеми для малих збурень знайдено вхідний опір
/>,
де/> - джерелострума, ввімкнене на виділених затискачів схеми;
/> - напруга,викликана цим джерелом.
Представимозв’язок між струмом і напругою в вигляді
/>.
Оскільки/> -оператор диференціювання, то цей вираз – диференційне рівняння, в якому /> - реакціясхеми на зовнішній вплив />. При /> рівняння описує приватніколивання напруги в схемі, тому /> - характеристичний поліном.Аналогічно виділяють характеристичні поліноми і при інших функціях кола.
Мине будемо конкретизувати алгоритм аналізу локальної стійкості положеннярівноваги нелінійної схеми, так як він залежить від програм, якими володієрозробник.
Накінець,розглянемо причини, які можуть порушити стійкість положення рівноваги в схемі.Частіш усього, таких причин дві – зворотній зв’язок та елементи, вхарактеристиці яких є спадаюча ділянка.
Зворотнійзв’язок в окремих схемах створюється штучно, наприклад в автогенераторі. Впідсилювачі потужності на біполярному транзисторі він може викликатисяіндуктивностями виводів та між електродними ємностями, а також ємністюодного із переходів.
Спадаючаділянка в вольт-амперній характеристиці діода може створюватися спеціально(тунельний діод), але бувають випадки, коли вона виникає поза нашого бажання,наприклад, при напругах переважаючих гранично допустимі значення.
Уявленняпро причини нестійкості допомагає цілеспрямовано впливати на їх. Крім того,наявна відсутність перелічених факторів може бути основою для відмови від аналізустійкості.
3.Елементи теорії лінійних диференційних рівнянь із періодичними коефіцієнтами
Вищебуло показано, що поведінка малих відхилень від періодичного режимувизначається диференційними рівняннями з періодичними коефіцієнтами, якіназиваються рівняннями першого приближення. Стосовно до періодичного режиму задопомогою (4) отримаємо
/>. (6)
Тут,на відміну від рівняння (5), /> і /> - періодично змінюваніпровідність і ємність. Період зміни цих елементів співпадає з періодомусталеного режиму в шуканій нелінійній схемі, позначимо його /> — період модуляціїпараметрів.
Рівнянню(6) відповідає еквівалентна схема для малих збурень (лініаризована схема). Вонавиходить з шуканої усуванням зовнішнього джерела струму та заміною нелінійнихелементів на елементи з періодично змінюваними параметрами.
Періодичнийзакон, за яким модулюються параметри, описується або функцією часу, абоспектральними методами рядів Фур’є. Обидві форми визначаються періодичнимрежимом. Якщо який-небудь параметр нелінійної схеми, або зовнішнього впливузмінюється, то характеристики періодичного режиму теж змінюються, а це робить в(6) зміну функцій, модулюючих параметри.
Аналізлокальної стійкості періодичного режиму проводиться на основі двох теорем.Перша доведена А.М. Ляпуновим і відноситься до неавтономної схеми. Ствердженнядругої, доведено А.А. Андроновим і А.А. Виттом. Вона визначає стійкістьавтоколивань.
ТеоремаЛяпунова. Якщо всі характеристичні корені рівняння першого зближення за модулемменше одиниці, то періодичний режим в нелінійній неавтономній схеміасимптотично стійкий; якщо є хоч один характеристичний корінь, за модулембільший одиниці, то періодичний режим нестійкий.
ТеоремаАндронова-Витта. Якщо серед характеристичних коренів рівняння першого зближенняавтономної схеми є хоч один звичайний, за модулем рівним одиниці, топеріодичний процес стійкий за Ляпуновим (асимптотичний орбітально стійкий);якщо хоч один характеристичний корінь, за модулем більший одиниці, топеріодичний процес нестійкий.
Роз’яснимоасимптотичну орбітальну стійкість періодичного режиму. Будемо уявлятиперіодичний режим в нелінійний схемі рухом зображуючої точки по замкнутійкривій. Під дією флуктуацій виникає збурений рух, який визначаєтьсяпереміщенням другої зображаючої точки. Очевидно, що після дії флуктуацій обидвізображені точки будуть знаходитись неподалік одна від одної. Припустимо,періодичний процес стійкий та траєкторії збуреного та незбуреного руху протягомпевного часу з’єднуються. В цьому випадку для зображаючих точок можливі дваваріанти: обидві точки при з’єднанні траєкторій зливаються або з’єднаннятраєкторій не супроводжується збігом обох точок. Перша ситуація характеризуєасимптотично стійкий періодичний процес, друга – асимптотичний орбітальностійкий (або стійкий за Ляпуновим).
Щобзрозуміти, що таке характеристичні корені лінійних диференційних рівнянь ізперіодичними коефіцієнтами, розглянемо основні положення теорії таких рівнянь.
Дляспрощення припустимо, що порядок рівняння (6) дорівнює трьом. Тоді його можнапривести до виду
/>,
деточки означають диференціювання в часі, коефіцієнти /> - періодичні функції з періодом />, />.
Усякеконкретне рішення записаного рівняння відповідає конкретним початковим умовам,які можна задати вектором />. Якщо взяти три лінійнонезалежних початкових вектора, то вони визначають три лінійно незалежнихрішення. Прийнявши останнє за стовпці, сформуємо фундаментальну матрицю рішень.За допомогою цієї матриці можна виразити усяке рішення (6), відповідаючєдовільним початковим умовам.
Середфундаментальних матриць відокремимо таку, котра в початковий момент часавиявляється одиничною. Іншими словами, розглянемо фундаментальну матрицю />, складену зрішень, для котрих початкові умови складають стовпці одиничної матриці. Якщо вцій фундаментальній матриці покласти />, то отримаємо характеристичнуматрицю />.Її власні числа /> і є характеристичні корені рівняння(6). Отже, характеристичний поліном при /> можна записати у вигляді
/>,
де/> -одинична матриця.
Кожномупростому одиничному кореню /> відповідає рішення />, маюче властивість
/>. (7)
Вказанавластивість породила ще одну назву характеристичних корнів – мультіплікатори(помножувачи). Послідовне використання цієї властивості відносно рішення /> дозволяєзаписати
/>.
Тобто,при /> рішеннязменшується, а при зворотній нерівності зростає. Тепер стає зрозумілим змісттеорем про стійкість періодичного режиму.
Рішення,для якого вірно (7), можна переписати в такій формі:
/>, (8)
де/> -характеристичний показник,
/> - обмеженаперіодична функція.
ТеоремиЛяпунова та Андронова-Витта можна сформулювати інакше, вводячи характеристичніпоказники замість характеристичних коренів. Тепер стійкість має місце при />.
Задопомогою (6) можна отримати рівняння для характеристичних показників.Попередньо (6) треба записати у вигляді
/> (9)
В(9) позначено: />; />, /> - середнє значення функцій />, /> за періодмодуляції; />,/> -періодичні функції з нульовим середнім.
Щобзнайти потрібне рівняння, підставимо в (9)
/>, />,
/>.
Нагадаємо,в рядах Фур’є для /> і /> члени при /> дорівнюють нулю.
Післяелементарних перетворювань маємо
/>
/>.
Покладемо/>. Тоді
/>.
Складеналінійна комбінація лінійно незалежних функцій /> може дорівнювати нулю тільки приперетворенні в нуль кожного співмножника, взятого в фігурні дужки:
/>, (10)
/>
Отрималидля спектральних складових напруги /> нескінечнну систему алгебраїчнихрівнянь з нульовою правою частиною. Щоб рішення системи не було нульовим, требавимагати рівності нулю її головного визначника />. Цей нескінченний визначникзветься визначником Хілла. Він залежить від />, що і дає шукане рівняння: />.
Нехай/> - елементвизначника, належний до k-го рядка та m-го стовпця. Із (10) можна отримати
/>, (11)
/>.
Задопомогою (11) знайдемо, що елементи головної діагоналі (k=m) дорівнюютьодиниці.
Використовуючи(11), можна встановити наступну властивість: заміна /> на/>не змінює значення визначника
/>.
Цевиникає тому, що змінивши нумерацію рядків після вказаного підставлення,отримаємо той самий визначник.
Зцієї властивості витікає: якщо /> - корінь визначника, то коренямибудуть />.Отже, визначник має нескінченне число коренів. Встановлено, що кожномукомплексному кореню відповідає комплексно-спряжений.
Нескінченнийвизначник Хіла вдалося звести до виразу, який для (9) має вигляд:
/>, (12)
де/> - коренізнаменика z(p) в (9),
n– порядок рівняння (9),
/> - безкінечнічисельні визначники, не вміщаючи />, які знаходяться із наступногорівняння:
/>. (13)
Значеннячисельних визначників можна розраховувати із наперед заданою точністю.Доведено, що в сумі вони дорівнюють нулю.
Наприкінцівизначимо суть полінома, вхідного до знаменника опору /> в рівнянні (9). Із виразу
/>
витікає,що цей – опір між точками вмиканняння елементів з періодично зміннимипараметрами, в який увійшли середні значення змінної провідності та ємності.Знайти цей опор можна, підімкнувши до відповідних точок джерело струму />, визначившивикликану ним напругу v та використав рівність />. Звідки визначимо, що /> -характеристичний поліном схеми для малих збурень, в якій />. Цю схему назвемоусередненою, оскільки вона крім лінійних елементів вміщає середнє значенняперіодично змінних провідностей та ємностей.
4. Зв’язок розрахунку періодичного режиму із аналізомстійкості
Аналіз стійкості періодичного режиму нелінійної схемі повинен бути пов’язаноз методом, за яким цей режим визначається. Інакше можна отримати результати, щоне мають ніякого фізичного смислу. Для приклада звернемо увагу на частотнухарактеристику контуру із нелінійною ємністю. Дослідження стійкості, щовиконане в відриві від методу розрахунку періодичного режиму, може привести дотого, що точки із вертикальними дотичними не будуть визначати межі стійкості.
Так, як же повинні бути зв’язані ці дві задачі – розрахунокперіодичного режиму та аналіз його стійкості? Щоб зрозуміти цей зв’язокскористаємось спектральним уявленням.
Припустимо, періодичний режим розраховується часовим методом. Тоді, наспектральний склад усталеного процесу обмеження не накладаються. Тому можнаказати, що враховано багато гармонік (можливо нескінченна кількість). Цюобставину і треба мати на увазі при обранні методу дослідження стійкості: прианалізі повинно враховуватися багато гармонік. Очевидно підходять обидварозібрані вище методи, які опираються на характеристичну матрицю і нескінченнийвизначник Хіла.
Зараз припустимо, що періодичний режим був знайдений спектральнимметодом і було взято до уваги N гармонік. Нехай результати обліку ще однієїгармоніки практично співпали з попередніми. Це означає, що на лінійну частинусхеми повинні бути накладені певні вимоги. Провідність /> на частотахвище /> повиннапрактично замикати затискачі, до яких ввімкнені нелінійні елементи. Якщо такавимога не виконується, то результати двох останніх розрахунків, про якімовилося вище, будуть відрізнятися один від одного. Таким чином, колиперіодичний режим розраховано із врахуванням /> гармонік і його результатиприпускаються достовірними, то модуль опору лінійної частини схеми на частотах,вище
/> (/> — період розглядаємого режиму),дорівнює нулю або нескінченно великий. Цей факт і повинен лягти в основуобрання методу аналізу стійкості. Мабуть, в цьому випадку доцільно скористатисяскінченим визначником Хіла, зберігаючи в ньому відповідне число рядків тастовпців.
стійкістьрівновага періодичний режим
5. Аналізстійкості періодичного режиму, отриманого часовим методом
Як вказувалося, вцій ситуації, щоб аналізувати стійкість, треба розраховувати характеристичнуматрицю, або використовувати нескінченний визначник Хіла.
Шуканими данимидля обчислення елементів характеристичної матриці є еквівалентна схема длямалих збурень, в якій закон зміни параметрів кожного моделюючого елементаповинен бути задано, як функція часу. Подальша послідовність розрахунків така:
- складаннядиференційного рівняння схеми для малих збурень;
- n-кратнеінтегрування цих рівнянь (n – порядок схеми) на протязі періоду модуляції припочаткових умовах, заданих стовпцем одиничної матриці; це дозволяє сформуватихарактеристичну матрицю, так як після кожного інтегрування знаходимо значеннязмінних при />,що дає один стовпець матриці;
- розрахуноквласних значень характеристичної матриці.
При другомуметоді використовується вираз, до якого приводиться нескінченний визначник.Якщо мати на увазі рівняння для малих збурень (9), то значення характеристичнихпоказників потрібно знаходити за допомогою формули (12), прийнявши рівною нулюїї праву частину.
Рішення рівняння,в якому невідоме входить як співмножник до аргументу тригонометричних функцій,надто складне. Позначивши />, отримаємо
/>,
причому />.
В результаті
/>,
де />.
Після приведеннядо загального знаменника знайдемо
/>. (14)
Поліномчисельника є характеристичним для рівняння (9), так його корені, зв’язанівідповідним чином із характеристичними показниками, перетворюють в нульвизначник Хіла. Корені полінома знаменника є “мультиплікаторами” усередненоїсистеми. Ступінь обох поліномів однакова. Коефіцієнти характеристичногополінома визначаються через “мультиплікатори” усередненої системи. Наприклад,
/>.
Формули для іншихкоефіцієнтів набагато складніші.
Таким чином, задопомогою нескінченного визначника Хіла маємо змогу знайти характеристичнийполіном рівняння для малих збурень без інтегрування самого рівняння.
Аналіз стійкостііз використанням нескінченного визначника Хіла можна зробити двома способами.Перший зводиться до обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома. Другийзаснований на вивченні годографа визначника при /> та зміні частоти.
1. Опишемо першийалгоритм розглянутого методу. Шукані дані ті ж, що і в попередньому методі. Аледля модульованих елементів повинні бути відомі коефіцієнти рядів Фур’є.Послідовність розрахунків виглядає так:
- обчислення/> -характеристичних коренів усередненої системи;
- n-кратнийрозрахунок елементів чисельного визначника при /> та розрахунок /> за допомогою формули(13);
- розрахуноккоефіцієнтів характеристичного полінома;
- обчисленняхарактеристичних коренів або використання якого-небудь критерію стійкості.
2. Перш ніжрозглядати другий алгоритм, встановимо, яким умовам підпорядковано годографвизначника Хіла при стійкому та нестійкому періодичному режимі. Скористаємосьформулою (14) і врахуємо такі обставини (рис. 1):
/>Рисунок 1 – До виводу критерію стійкості на основі годографа визначникаХіла
уявну вісь наплощині характеристичних показників визначає вираз />;
перетворення /> трансформуєцю вісь в коло одиничного радіуса площини мультиплікаторів; при цьому лівіхарактеристичні показники переходять до внутрішніх точок кола одиничногорадіуса, тобто в мультіплікатори з модулем, менше одиниці; коли дійсна частинахарактеристичного показника дорівнює нулю, а уявна змінюється в межах
/>. (15)
Кінець вектора /> проходитьпроти часової стрілки все коло одиничного радіуса від точки />; при зміні /> в великихмежах кінець вектора /> пройде по колу одиничного радіусадекілька разів.
Наше завдання –знайти кут повороту годографа /> при зміні /> в межах, визначених(15), та в умовах, коли всі мультиплікатори лежать усередині одиничного кола.Поворот годографа залежить ще від розташування мультиплікаторів усередненоїсистеми, оскільки визначник Хіла є відношення двох характеристичних поліномів.Тому будемо вирішувати задачу при припущенні, що всі /> знаходяться усередині одиничногокола. Нехай
/>
і />, /> лежать усерединіодиничного кола. Кінець вектора /> рухається по одиничному колу.Поворот його на кут /> змушує повернутися вектори /> та /> на кути /> і />, при цьому кутвектора /> змінюєтьсяна величину, рівну різності />. Коли вектор /> зробить повний оберт,то /> і кутповороту /> будедорівнювати нулю. Припустимо тепер, що мультиплікатор /> розташовується зовні одиничногокола (рис.1, б), а /> - як і раніше, усередині. Тодівидно, що /> при/>.Результуючий кут повороту /> стане рівним />. Узагальнюючи навипадок відношення поліномів вільної ступені, може бути сформульован критерійстійкості періодичного режиму: якщо годограф нескінченного визначника Хіла при />, зміні /> в межах,заданих (15), та при лівих коренях усередненої системи не охоплює початоккоординат, то періодичний режим в нелінійної схемі стійкий; охват годографомпочатку координат свідчить про нестійкий періодичний режим.
2. Зараз можнаописати другий алгоритм методу, спираючогося на нескінченний визначник Хіла.Шукані дані ті самі, що і для першого алгоритму, а послідовність розрахункатака:
- вибірзначення частоти;
- розрахунокфази />;
- складенняс попередніми значеннями фази;
- перехіддо нового значення частоти та повтор розрахунку;
- розрахункизавершуються при виході частоти за межі, обмежені нерівностями (15).
На вибіралгоритму із числа розглянутих впливає ряд факторів. Наприклад, ефективністьпрограми чисельного інтегрування та програми обчислення визначника і т.і.Перший метод – чисельне інтегрування рівнянь для малих збурень з метоювизначення елементів характеристичної матриці – зручний тим, що вінвикористовує засоби, використані для розрахунку періодичного режиму. Однакостаточне рішення залежить від конкретних умов.
6. Аналіз стійкостіперіодичного режиму, розрахованого спектральним методом
Вспектральному методі розрахунку періодичного режиму ураховується N гармонік,тому для аналізу використовується кінцевий визначник Хіла. Звичайно прийнятикількість рядків та стовпців в ньому рівним />, тобто кількості рівняньстаціонарного режиму.
Скінченнийвизначник Хіла втрачає періодичність по />. В зв’язку з цим уявляється, щохарактеристичні показники уже немають властивості, яка виявлялось раніш: якщо /> - коріньвизначника, то коренями будуть і />. Однак, скориставшись (11) тарозкривши визначник, можна, після приведення до загального знаменника, отримати
/>, (16)
деL і T – поліноми від /> степені n(2N+1), на що вказуютьнижні індекси,
n– порядок схеми.
Причомуз процедури розкриття визначника і подальших перетворень можна знайти
/>.
Цеуказує на те, що у полінома знаменника корені проявляють ту саму властивість,як і полюси нескінченного визначника. Звідси витікає, що обговорювана властивістьможе мати місце і тоді, коли визначник неперіодичний. Мабуть, така властивістьє і у характеристичних показників визначника, тобто у коренів поліномачисельника в (16). До жалю, цей факт поки не доведено. Якщо це вдалось бизробити, то з’явились можливость працювати над методом аналізу стійкості,спираючись на розрахунок характеристичних показників. Його алгоритм можна булоподати в такому вигляді: розрахунок n близько розташованих коефіцієнтівполінома /> тавизначення по ним, на основі вказаної властивості коренів, коефіцієнтівполінома степені n. Наскільки важливо зниження степені полінома дляхарактеристичних показників, видно з наступного прикладу. Нехай порядок системирівнянь для схеми дорівнює 15, що ще припускає надійне обчислення коренівполінома. Якщо при розрахунку періодичного режиму враховані тільки тригармоніки, то прийдеться мати справу с поліномом ступеня />.
Обміркуємоможливість використання алгоритмів, які відносилися до нескінченного визначникаХіла.
Розрахунокпо формулі (14) тепер спрощується із-за скінченої розмірності визначника. Однакнемає впевненості, що до (14) можна привести скінченний визначник. Недоведенняцього факту народжує сумління в точності аналізу. Оскільки видно, що лише вграниці, при />, формула (14) точна.
Такимчином, аналіз стійкості періодичного режиму, при використанні скінченоговизначника Хіла, утруднюється внаслідок не вирішення ряду питань.