Аналізструктурних властивостей зображень
1. Мета і методи аналізу й автоматичноїобробки зображень
Необхідно розрізняти обробку зображень, призначенихдля зорового сприйняття, і обробку в пристроях автоматичного аналізу. Востанньому випадку на перший план виходять задачі виділення ознак, формуванняданих про кількісні характеристики й ін. Головна задача обробки в цьому випадкуполягає в підвищенні його якості, оцінюваного візуально.
Обробка зображення часто включає етап попередньої підготовки, щовиробляється:
• у координатній або частотній області;
• з уражуванням змісту зображення або без;
• звикористанням лінійних або нелінійних алгоритмів обробки;
• звикористанням поелементних операторів (діють у межах елемента зображення),локальних операторів (діють у межах окремих вікон у площині зображення) абоглобальних операторів (діють у межах всього зображення).
Обробка зображення завершується виділенням тих ознак,що несуть найбільше інформаційне навантаження. У процесі обробки зображенняздійснюється його семантичний аналіз. Ефективні операції, які здійснюються звикористанням пам'яті:
• корекція геометричних перекручувань;
• перетворення системи координат (ортогональної, полярної й ін.);
• масштабування зображення;
• відеоінтерполяція та ін.
Попередня обробка зображення як етап процедури поліпшеннязображення включає
• нелінійні перетворення сигналів зображення дляузгодження амплітудних характеристик окремих пристроїв;
• корекціясигналу вздовж зображення (для вирівнювання нерівномірностей, викликанихдефектами висвітлення і чутливості перетворювача зображення);
• операція згортки в просторовій області злокальними операторами вікон (операторами згладжування, усереднення й ін.);
• фільтрація в просторово-частотній області;
• інтерполяція в полі зображення;
• тимчасове підсумовування зображень;
• сегментація зображення й ін.
Перетворення зображень, призначених для автоматичного аналізу, якправило, включає процедури запису його в пам'ять, обробку з затримкою в часі івизначення найважливіших параметрів (ознаковий опис). У процесі автоматичноїобробки зображення досліджуваного об'єкта формується список параметрів, часто вматричній формі або у вигляді стилізованого зображення (напівавтоматичнийаналіз). Список параметрів формується в залежності від конкретних прикладнихзадач, тому нижче будуть наведені лише деякі приклади.
Найчастіше використовувані процедури обробки:
• операція згортки в просторовій області;
• фільтрація в просторово-частотній області;
• вирівнювання яскравості по полю зображення;
• нелінійне амплітудне перетворення сигналу зображення;
• операція порівняння з порогом;
• бінаризація зображення;
• рангова фільтрація;
• локальні процедури усереднення;
• градієнтні перетворення;
• інтерполяція зображень у просторовій області;
• інверсія зображення;
• аналіз логічних зв'язків у зображенні;
• підсумовування і вирахування зображень;
• пошук екстремумів у зображенні.
В окрему групу можна виділити геометричні перетвореннязображень:
• просторове зміщення;
• масштабні перетворення (збільшення, зменшення);
• обертання.
Процедури функціональних перетворень;
• Фур'є-перетворення;
• косинусне перетворення;
• синусне перетворення;
• перетворення Адамара.
зображення імпульсний сигнал коливання
2. Сигнали,простори сигналів і системи
Сигнал – це залежність його миттєвогозначення від часу. Для опису сигналів використовують математичні моделі. Унайпростішому випадку значення сигналів і аргументів є скалярними величинами. Удеяких випадках для їхнього опису необхідно використовувати комплексні(наприклад, електромагнітні поля) або векторні (наприклад, кольоровізображення) функції.
Сигнал, якийописується функцією однієї перемінної, називається одновимірним, а сигнал, якийописується функцією М незалежних перемінних, називається багатовимірним.Наприклад, яскравість зображення – двовимірний сигнал I = b(x, y) (рис. 1).
/>
Рисунок 1 –Сигнал I = b(x, y) у площині зображення
У практиціобробки сигналів зустрічаються сигнали, які розглядаються як періодичні. Сигналназивається періодичним, якщо для нього виконується умова
/>. (1)
Прикладомнайпростішого періодичного сигналу є гармонійне коливання
/>. (2)
Такий сигналявляє гармоніку, що характеризується амплітудою А, круговою частотою w і початковою фазою j.
Сигнали,значення яких змінюються безупинно зі зміною безперервної перемінної (часової tабо просторової s), називаються безперервними. Часто такі сигнали називаютьаналоговими.
Поряд з безперервнимспособом передачі і перетворення сигналів, широко використовують дискретніспособи. При цьому перемінна і сигнал приймають фіксовані, тобто дискретнізначення. Таким чином, безперервна функція замінюється решітковою, якавизначається сукупністю ординат або дискрет. Такий сигнал називаєтьсядискретним. Якщо ординати приймають значення з безлічі фіксованих, заздалегідьвизначених, такий сигнал називають цифровим.
У задачаханалізу сигналів часто використовують так звану дельта-функцію або функцію Дірака,яка є нескінченно вузьким імпульсом з нескінченною амплітудою, розташований принульовому значенні аргументу функції. Площа цього одиничного імпульсу (рис. 2)дорівнює одиниці:
/>/>. (3)
/>
Рисунок 2 –Одиничний імпульс
Дельта-функціямає важливу фільтруючу властивість: якщо дельта-функція знаходиться підінтегралом як множник, то результат інтегрування дорівнюватиме значенню іншоїпідінтегральної функції в тій точці, де зосереджений дельта-імпульс:
/>. (4)
Нарешті, двовимірний дискретний сигнал (абомасив, послідовність) – це функція, визначена на безлічі упорядкованих парцілих чисел. Окремі елементи цього масиву називаються відліками. Значеннявідліків можуть бути речовинними або комплексними. Відповідно до визначення,двовимірні послідовності мають нескінченну довжину. Однак на практиці длябільшості двовимірних послідовностей значення відліків відомі тільки в кінцевійобласті площини. Тому звичайно вважають, що всі значення відліків за межамивизначеної області дорівнюють нулю. Приклади двовимірних дискретних послідовностейрізних типів показані на рис. 3 – 6.
/>
Рисунок 3 – Двовимірна одинична імпульснафункція />
/>
Рисунок 4 – Два приклади двовимірнихлінійних імпульсів
/>
Рисунок 5 – Двовимірна періодичнапослідовність
Класифікаціясистем можлива з тих же позицій, що і класифікація сигналів:
безперервнісистеми —> аналогові системи:
дискретнісистеми —> цифрові системи.
У процесі вивчення системи досліджуватимемоорієнтовану на вирішення прикладних задач математичну модель з декількомавходами і виходами, що служить для опису визначених процесів передачі сигналіввід входів до виходів. Зв'язок між сигналами на входах і виходах описується задопомогою характеристик системи (рис. 7).
/>
Рисунок 6 – Періодична послідовність
Тут послідовність x(t) єсукупністю вхідних даних, y(t) – сукупністю вихідних даних, а зв'язок між нимивстановлює так звана перехідна характеристика g(t): />.
/>
Рисунок 7 – Приклад системи
У загальному випадку вхідні івихідні сигнали подають у вигляді векторів:
/> (5)
Система обробки сигналів, що має mвходів і n виходів називається багатовимірною. Якщо вхідний і вихідний сигнали,а також стан системи визначені в кожний момент часу і час безперервний, тосистема називається безперервною. Якщо згадані сигнали і стани визначено вдискретні моменти часу, система називається дискретною.
Обмежимося лінійними системами. Длярозгляду лінійних процедур може бути використаний простий математичний апарат,водночас їх достатньо для опису багатьох використовуваних алгоритмів обробкисигналів.
Згортка.Нехай на вхід системи поданий дельта-імпульс, а поводження системиописується перехідною характеристикою h. Тоді на виході отримаємо імпульснийвідгук системи (рис. 8):
/>
Рисунок 8 –Імпульсний відгук і постановка задачі про згортку
У процесі квантування, при />, сума переходить вінтеграл, а h стає відгуком на d-імпульс. Вираздля інтеграла згортки набуває вигляду
/> (6)
Символічнозгортка записується у такому вигляді:
/>. (7)
Далі розглянемо функцію, для якої /> при />. Межі інтегрування тепербудуть обмежені областю />.
Для інтеграла згортки записується відповідно
/> (8)
Точкою згортки називається поточна точка t, для неї знаходиться добуток /> і розраховується площа під ділянкою кривоїцього добутку від нуля до поточної точки згортки.
3. Описсигналів і систем за допомогою інтегральних перетворень. Одновимірнеперетворення Фур'є
Інтегральніперетворення (функціонали) служать важливим апаратом системної теорії. Прицьому розглядається перетворення області визначення деякої вихідної функції віншу область, що також може бути розглянута як сигнальний простір. Перетвореннявиконується за допомогою ядра перетворення, що часто називають базисом,наприклад
/> (9)
Перетворенняназивається лінійним, якщо функція, що підлягає перетворенню, присутня уфункціоналі не більш ніж у першому ступені. Тоді загальний вигляд інтегральногоперетворення може бути записаний як
/> (10)
Тутперетворення вихідної функції /> у /> виробляється за допомогоюядра />. Зворотне перетворення функції /> увихідну /> здійснюється за допомогоюядра />:
/> (11)
Вихіднимифункціями можуть бути як самі сигнали, так і функції, що описують систему увихідній області (наприклад, імпульсний відгук). Найважливішими під час обробкизображень є:
- перетворення Фур'є;
- косинусне, синусне іWavelet- перетворення;
- перетворення Радемахера,Уолша-Адамара;
- перетворення Хаара.
Розглянеморечовинну просторову функцію розподілу яскравості вздовж рядка зображення />. Тоді пряме і зворотнеперетворення Фур'є для неперіодичної функції запишеться у такий спосіб:
/> (12)
/> (13)
Формули (12)і (13) являють неперіодичний сигнал />,заданий на нескінченному інтервалі, відповідно в частотній і часовій областях.Функція />характеризує спектральнийсклад сигналу /> і називаєтьсяспектральною щільністю сигналу />. Таканазва викликана тим, що для неперіодичного сигналу частотний інтервал міжсуміжними гармоніками прагне до нуля, і перетворення (13) є розкладаннямсигналу на суму нескінченної кількості гармонік, амплітуди яких нескінченномалі.
Вираз (12)дозволяє перейти від спектральної щільності до сигналу, а вираз (13) – відсигналу до спектральної щільності. Для вирішення різних задач операції надперіодичними сигналами часто замінюють операціями над частотними спектрами. Цедає можливість досліджувати властивості сигналів не тільки в часовій області,аналізуючи безпосередньо сигнал />, але ів частотній, оперуючи спектральною щільністю.
4. Імпульсна і частотнахарактеристики безперервної системи
Імпульсною характеристикою системиназивається функція h(x), що являє реакцію системи на вхідний сигнал, заданийдельта-функцією:
/> (14)
Знання h(х) дозволяє вирішитибудь-яку задачу про проходження детермінованого сигналу через лінійну систему.
Для дослідження лінійних систем участотній області використовують частотну характеристику H(jw).Частотна H(jw)і імпульсна h(х) характеристики лінійної системи пов’язані між собою пароюперетворень Фур’є:
/> (15)
/> (16)
Частотна характеристика має простуінтерпретацію – вона являє коефіцієнт передачі гармонійного сигналу з частотою w із входу лінійної системи на її вихід (рис.9).
/>
Рисунок 9 – Система в частотнійобласті
У загальному випадку H(jw) маєкомплексні значення і пов'язує спектральні щільності вхідного і вихідногосигналів простою залежністю:
/>. (17)
Відповідно дотеореми згортки перетворення Фур'є від двох згорнутих функцій дорівнюєдобуткові їхніх фур'є-перетворень:
/> (18)
Цеперемножування в частотній області відповідає фільтрації вхідної функціїпередатною функцією. Поняття фільтрації в техніці обробки зображень частозастосовується і в просторовій області.
Таким чином, система, поводження якоїописане в часовій (просторовій) області, може бути описана і в частотнійобласті (рис. 10).
/>
Рисунок 10 – Система в частотно-просторовійі просторовій областях
Перехід додискретних систем. Під часобробки зображень функція /> піддаєтьсядискретизації шляхом формування послідовності дискретних відліків />. Тому необхідно ввестипоняття дискретної системи. У цьому випадку результат перетворень такождискретний, як в просторовій, так і в частотно-просторовій області.
Перехід додискретного опису може бути зроблений у такий спосіб:
1. Покладемо,що /> дискретизується растром,при цьому /> — цілочисельні перемінні />, що описують дискретнікоординати в області зображення.
1. Подамо процесдискретизації символічно:
/> (19)
Введемо /> — цілочисельні перемінні,індекси дискретних спектральних компонентів у частотно-просторовій області;
2. Введене раніше поняттяперетворення Фур'є можна поширити і на дискретні системи. Тоді дискретнеперетворення Фур'є (ДПФ) записується як
/> (20)
ЗворотнеДПФ:
/> (21)
Цювідповідність можна позначити символічно:
/> (22)