АЛГОРИТМИ РОЗРАХУНКУ ПЕРІОДИЧНОГО РЕЖИМУ В НЕЛІНІЙНІЙ СХЕМІ
1. Коротка характеристика методіврозрахунку
Вузли, проектування яких нас цікавить, вбільшості випадків використовуються в режимах, де нелінійність виявляєтьсядосить сильно. Тому не розглядають методи, які знаходять практичне застосуваннялише для аналізу слабких нелінійних схем. До їх числа відноситься, наприклад,метод рядів Вольтера.
Методи, які дозволяють розраховувати довільнінелінійні кола, поділяють на дві великі групи – часові та спектральні.
Характерна властивість методів першої групи –це інтегрування нелінійних диференційних рівнянь до отримання усталеногоперіодичного режиму. Головний недолік їх в тому, що цікавлячись усталенимрежимом, ми повинні розрахувати ще і перехідні процеси. Із цим недоліком можнамиритись, якщо зусилля і затрати на незаплановані розрахунки невеликі, тобтоякщо, наприклад, перехідний режим продовжується недовго. Звісно, що перехіднийпроцес в схемі тим коротший, чим менше її вибірність.
Необхідність визначення періодичного режиму увибірних пристроях створила ряд прийомів, скоротивши розрахункову процедуру.Пояснимо їх на прикладі. Нехай у нелінійній схемі період усталеного режимувідомий, задана величина і, крім цього, можна говорити, що перехідний процес практичнозавершується за L періодів. Таким чином, щоб знайти періодичнийрежим, треба інтегрувати диференційне рівняння схеми протягом L періодів.Перший прийом складається в зменшені часу інтегрування на кожному періоді. Цезмушує використовувати такі чисельні методи, які, зберігаючи потрібну точність,дозволяють вести інтегрування з максимальним кроком. Ідея другого прийому –виконувати інтегрування не на кожному періоді, а із пропусками. Для їїреалізації формується функція незв’язності, котра характеризує ступіньдосягнення усталеного режиму. За допомогою цієї функції, із початковими умовамина якомусь періоді, визначаються початкові умови для інтегрування на наступномуперіоді.
Очевидно, якщо перехідний процес закінчиться,то початкові умови, використані на попередньому періоді, співпадуть зпочатковими умовами, обчисленими для наступного. Виявилось, що за початковимиумовами для k–го періоду можна приблизно знайти початкові умови для (k+m)-гоперіоду, де m — ціле число, більше одиниці. В результаті, число періодів,протягом яких треба інтегрувати рівняння, скоротиться в m разів.
У спектральних методах розрахунку визначаєтьсяперіодичне рішення нелінійних диференційних рівнянь, записаних у формі рядуФур’є. Відносно спектральних компонент цього ряду утворюється системанелінійних (трансцендентних) рівнянь, котра вирішується за допомогою ітерацій.Різновиди методів цієї групи визначається тим, як побудовано ітераційнийпроцес.
Для схемотехнічного проектування розрахунокперіодичного режиму потрібен як у випадку, коли період процесу відомий, так іколи період повинен бути знайдений. Перша ситуація характерна для підсилювачівпотужності, помножувачів та дільників частоти, тобто для схем, в яких єзовнішня дія. В таких схемах в якості робочого використовують періодичний режиміз періодом, рівним періоду зовнішнього сигналу або в ціле число разів більшимза цей період. Подібні схеми звуть неавтономними. Другий клас схем – автономні,наприклад, автогенератори. В них період коливань визначається внутрішніми параметрамиі знаходиться разом із амплітудою коливань.
У зв’язку з тим, що розрахунок процесу звідомим періодом простіше, спочатку розглядається цей випадок, а потімвказується, які зміни потрібно ввести в розрахунок в іншій ситуації.
2. Про чисельні методи інтегруваннязвичайних диференційних рівнянь
Маючи на увазі задачу розрахунку періодичногорежиму часовим методом, звернемось до чисельного інтегрування диференційнихрівнянь, які описують процеси в електронних схемах. Це цікавить нас з точкизору скорочення часу розрахунків.
Відповідними методами інтегрування можнавважати такі, котрі потребують малих витрат на обчислення при дотриманнізаданої точності. Під витратами розумітимемо загальний об’єм розрахунків (числоарифметичних операцій), необхідний об’єм пам’яті ЕОМ, машинний час і т.ін.Цілком зрозуміло суперечність потреб високої точності і малих витрат. Дійсно,якщо не вдаватися в подробиці, то здається, що точність чисельного інтегруваннятим вище, чим менший крок. З іншого боку, із зменшенням кроку зростає часрозрахунку. Справа ускладнюється ще й тим, що в деяких ситуаціях зменшеннякроку не вирішує проблему точності. Це зустрічається при інтегруванні“жорстких” диференційних рівнянь, в яких коефіцієнти значно різняться черезвеликий розкид постійних часу кола. В результаті, в перехідному процесі єшвидкі та повільні складові, із правильним розрахунком яких впорається далеконе всякий метод інтегрування. Таким чином, в обчислювальній математиціз’явилась необхідність вияву властивостей чисельних методів інтегрування, яківпливають на витрати та точність розрахунків. В даний час прийнятохарактеризувати ці методи точністю і стійкістю.
Точність визначається помилками, які виникаютьпід час розрахунків. Для порівняння методів вводиться поняття “локальна помилка”,яка стосується одного кроку інтегрування. При цьому якщо метод спирається нарезультати попередніх кроків, припускається, що перші дані точні. Локальнапомилка складається з методичної та помилки округлення. Перша залежить відметоду, друга від арифметичної точності ЕОМ. В практично використаних методахлокальна методична помилка повинна допускати оцінку. Крім того, має місцелокальна перехідна помилка, яка зобов’язана своїм існуванням похибкам напопередньому кроці.
Для користувача важлива загальна, глобальнапомилка, відповідальна за весь інтервал інтегрування. Зв’язок локальної помилкиіз загальною складний. Тому при аналізі методу глобальна помилка нерозглядається, а уяву про неї одержують за допомогою тестових прикладів.
Друга характеристика методів чисельногоінтегрування – їх стійкість. Практичний прояв її виглядає так. Припустимо,інтегруємо тестове диференційне рівняння, для якого відомо точне рішення.Обчислення проводимо кілька разів з постійним кроком, збільшуючи крок відодного розрахунку до іншого. До деякої величини кроку, яку звуть критичною,похибка інтегрування постійно зростає. Але як тільки крок перейде критичнезначення, похибка різко зростає (виникає чисельна нестійкість) і отриманірезультати значно відрізняються від справжніх. Із сказаного випливає, щонестійкий метод не придатний для задач, де виникає потреба інтегруваннядиференційних рівнянь протягом тривалого часу: щоб уникнути чисельноїнестійкості, необхідно змінювати крок, а це збільшує кількість кроків іпризводить до зростання загальної похибки через накопичення усіх видів помилок– перехідної, округленої, методичної.
Методи чисельного інтегрування розрізняються вточності, стійкості і ряді інших властивостей. Наведемо прийняту в літературікласифікацію і вкажемо властивості методів, належних до окремих класів.
Методи поділяються на дві великі групи.Відмінна особливість обох груп – спосіб апроксимації заданої функції. В першійгрупі використовується розклад в ряд Тейлора, в другій – апроксимація функціїполіномом з тейлорівським розкладанням. Широке розповсюдження отримали методидругої групи, котрі у вітчизняній літературі звуться кінцево-різницевими.
спектральний інтегрування нелінійнийперіодичний
Формула довільного кінцево-різницевого методу,відносно до рішення диференційного рівняння /> при початкових умовах />, записуєтьсятак
/>, (1)
де />,
/> - крок інтегрування.
Число p задає кількість попередніх кроків, яківизначають значення /> шуканої функції. При р=0 методзветься однокроковим. Якщо />, то метод явний, при /> - неявний. Востанньому випадку шукане значенні /> входить до правої частини (1) якаргумент нелінійної функції. Співмножники />, /> (їх число дорівнює 2р+3)шукається методом невизначених коефіцієнтів при поліміальній апроксимаціїневідомої функції />. Число m називають порядкомметоду. За допомогою невизначених коефіцієнтів складають m+1 рівняння відносно />, />. Коли 2p+3> m+1, тоді частиною співмножників задаються.
Відомі формули Ейлера – явна
/>
та неявна
/>
відносяться до однокрокового методу першогопорядку. Його локальна методи- чна похибка оцінюється величиною />. Якщо зберегти порядокметоду і зробити його багатокроковим, то підбором співмножників в (1) можназменшити методичну похибку. Таким чином, точність кінцево –різницевих методівзростає із збільшенням їх порядку і числа попередніх кроків, які враховуються.Однак треба мати на увазі, що підвищення порядку супроводжується зменшеннямобласті стійкості.
На перший погляд уявляється, що явні методимають перевагу над неявними тому, що в останніх значення /> виходить із рішеннянелінійного рівняння, а в явних розраховується за аналітичним виразом. Але яксвідчить аналіз, неявні методи більш стійкі. Отож, вони допускають при заданійточності більший крок.
В даний час в алгоритмах чисельногоінтегрування проблемно-орієнтованих програм використовується кінцево-різницевіметоди, які мають бажану стійкість та дозволяють оцінювати локальну методичнупохибку на кожному кроці. За допомогою цієї оцінки підтримується максимальнийрозмір кроку і вибирається мінімальний порядок методу. Для зменшення об’ємурозрахунків в неявних методах /> розраховується спочатку завідповідною явною формулою (прогноз), а потім уточнюється за допомогою неявної(корекція). Після вибору методу чисельного інтегрування програміст основнізусилля направляє на створення ефективного алгоритму, який визначає розміркроку.
Відносно методів інтегрування, спираючись нарозклад невідомої функції в ряд Тейлора, наприклад методом Рунге-Кутта різнихпорядків, можна зазначити, що вони знаходять обмежене використання. Пов’язаноце з двома обставинами: по-перше, ускладнюється оцінка локальної методичноїпохибки на кожному кроці інтегрування; по-друге, для визначення /> треба m разів обчислитизначення першої частини диференційних рівнянь (m – порядок методу), причому цізначення неможливо використовувати на інших кроках. Друга властивість знижуєефективність розрахунків порівняно з кінцево-різницевими формулами. МетодомРунге-Кутта зручно починати чисельне інтегрування, якщо воно ведеться за багатокроковимирізницевими формулами, для отримання необхідних початкових значень. Справа втому, що методи Рунге-Кутта виявляються явними та однокроковими. Томувикористання їх на початковій стадії обчислення не дуже позначиться назагальних часових втратах, а необхідна точність забезпечується правильнимвибором порядку.
3. Спектральні методи
1 Математичний зміст спектральних методів.Розглянемо розрахунок періодичного режиму в нелінійному пристрої на прикладіконкретної схеми (рис. 1), складеної з паралельно з’єднаних провідностей y(p),нелінійного опору з вольт-амперною характеристикою /> та нелінійної ємності, в якійвідома вольт-кулонівська характеристика />. Аргументом лінійної провідності єоператор диференціювання />.
/>
Рисунок 1 – Схема, за допомогою якої ведеться розрахунокперіодичного режиму
На вході схеми діє періодичне джерело струму ізперіодом />
/>. ( 2)
При заданих y(p), />, />, /> потрібно знайти періодичну зперіодом /> напругу/>, яка будерішенням диференційного рівняння, записаного в символічній формі
/>.
Подамо шукану напругу в формі ряду Фур’є:
/>. (3)
Задача зводиться до визначення спектральнихкомпонентів в (3).
Очевидно, при періодичному режимі струмнелінійного опору та заряд нелінійної ємності будуть також періодичнимифункціями часу
/>, (4)
/>. (5)
Важливо мати на увазі, що кожна амплітудаструму та заряду в (4) і (5) буде, в силу (3), функцією всіх комплексних амплітуд шуканоїнапруги.
Щоб отримати рівняння для />, підставимо (3), (4) та (5) в диференційнерівняння
/>.
Тут усі комплексні амплітуди постійні. Значить,оператор диференціювання діє тільки на експоненційні функції
/>; />.
Отже, можна записати
/>,
де />={1 при k=0, ±1; 0 при k/>0, ±1}.
Отримане співвідношення являє собою лінійнукомбінацію функцій />. Оскільки вони лінійно незалежні,то складена лінійна комбінація може обернутись в нуль тільки при рівності нулюкожного співмножника в квадратних дужках:
/>, (6)
/>
Вище зазначалось, що кожна амплітуда струму тазаряду є функцією комплексних амплітуд напруги
/>, (7)
/>
Тому (6) являє собою нескінчену системутрансцендентних (нелінійних) рівнянь відносно комплексних амплітуд напруг.
При практичних розрахунках досить врахуватипостійну складову і кілька гармонік напруги. Так можна зробити тому, щорозглянуті схеми вибірні. Звичайно, кількість гармонік, які беруться до уваги,повинен визначити розробник. Зазначимо, що в інженерній методиці розрахунку подібнихсхем, враховується лише одна гармоніка.
Допустимо, встановлено, що досить полічити Nгармонік. Тобто, система (6) складається з (2 N + 1) рівнянь. Таким чином, розрахунокперіодичного режиму спектральним методом зводиться до рішення системи нелінійнихрівнянь. Різновиди методу визначаються способом рішення цієї системи.
Потрібно взяти до уваги особливість рівнянь (6): в них нелінійніфункції (7) в деякихвипадках можна описати аналітично. У зв’язку з цим, далі не розглядатимемоспособи рішення (6), які спираються на аналітичне уявлення функції (7). Тому нижчезупинимося на двох способах: перший – ітераційний метод Ньютона; другий –різновид пропонованого у методу, що спирається на інтегрування диференційнихрівнянь.
2 Алгоритм рішення системи нелінійних рівняньметодом Ньютона.
Запишемо рівняння (17) у векторно-матричнійформі
/>, (8)
де /> - вектор комплексних амплітудструму комплексних амплітуд напруги;
/> - вектор нелінійного опору;
/> - вектор комплексних амплітудзаряду нелінійної ємності;
/> - вектор складової джереластруму;
/> та /> - квадратні діагональні матриці.Розмірність векторів та матриць дорівнює 2N+1.
Ліва частина формули (7), виявляєтьсятрансцендентною векторною функцією, аргумент якої – вектор напруги
/>. (9)
За допомогою формули (7) отримаємоспіввідношення для методу Ньютона стосовно (9)
/>. (10)
Верхній індекс вектора напруги вказує на номерітерації.
Якщо в (9) підставити />, то в лівій частині не отримаємонуль. Тому вектор – функцію /> називають незв’язною.
Продиференцюємо (10) по вектору />
/>. (11)
Нагадаємо, що похідна від вектор-функціїнезв’язності за векторним аргументом виявляється матрицею Якобі. Як видно, вонаскладається з трьох складових. Позначимо /> і /> елементи матриць /> та />.Тоді
/>, />, />.
В даному випадку використання методу Ньютонаособливо ефективне, оскільки вдається отримати аналітичний вираз для /> і />. Покажемо, якзнаходиться, наприклад, />.
За визначенням
/>.
Величину /> запишемо у вигляді
/>.
В свою чергу ,
/>.
Похідна від струму /> за напругою u(t) позначена якпровідність />. Приватна похідна від напруги закомплексною ампліту-
дою /> отримана за допомогою (11).Це дозволяє записати
/>, (12)
де /> - (l-m) – а гармонікапохідної />.
/>, (13)
де /> -а гармоніка похідної />, яка уявляєсобою диференційну ємність.
Опишемо алгоритм розрахунку періодичного режимув наведеній схемі. Припускаємо, що відомі: період коливань />, кількість врахованихгармонік N, нелінійні функції /> та їх похідні, значення лінійнихпровідностей схеми на постійному струмі та на частотах гармонік (тобто матрицяY), число точок М на періоді для виконання дискретного перетворення Фур’є.
Крок 1: ввести початкове значення вектора />.
Крок 2: розрахувати за формулою (14) та закомпонентами вектора /> миттєві значення напруги /> в М точкахперіоду />.
Крок 3: розрахувати з вольт-амперної /> тавольт-кулонівської /> характеристик миттєві значенняструму крізь нелінійний опір та заряд на нелінійній ємності в М точках періоду />, а також розрахуватикомпоненти векторів /> за допомогою дискретногоперетворення Фур’є.
Крок 4: визначити вектор незв’язності /> за допомогою (11), (12).
Крок 5: перевірити виконання нерівності />; якщо вонавиконується, то закінчити; якщо ні, то перейти до кроку 6.
Крок 6: розрахувати миттєві значення /> і /> в М точках наперіоді та знайти за допомогою дискретного перетворення Фур’є спектральнийсклад g(t) і c(t).
Крок 7: сформувати матрицю Якобі, користуючись(10), (11), (12).
Крок 8: вирішити систему лінійних рівнянь (12) відносно компонентвектора />;покласти /> іповернутися до кроку 2.
Обміркуємо особливості розрахунку періодичногорежиму автогенератора. Припустимо, в схемі (рис. 1) джерело струму /> замінили джерелом живлення />, який задаєробочу точку на нелінійних елементах. Припустимо, що в вольт-ампернійхарактеристиці нелінійного опору є спадаюча ділянка, в середині якої вибранаробоча точка. За цих умов у схемі можуть збудитись автоколивання, якіописуються рівнянням, складеним для змінних напруги, струму і заряду відносноробочої точки
/>.
Якщо в це рівняння підставити (11), (12), (13) і зробити, як раніше,ряд перетворень, то можна отримати рівняння (8), в яких />, />, де /> - невідомий період. Таким чином,кількість невідомих на одиницю більше, ніж кількість рівнянь. Щоб привести увідповідність кількість невідомих і рівнянь, вважаємо
/>.
З цього виразу випливає, що перша гармоніканапруги не має квадратурної (синусної) складової. Такий запис справедливийтому, що в автогенераторі фаза коливань випадкова. В результаті кількістьспектральних складових напруги зменшилась на одиницю.
Щоб виразніше уявити специфіку розрахунку,підставимо в (8) N=1 і запишемо систему рівнянь автогенератора в дійсній формі
/>,
/>, (14)
/>.
Тут позначено /> />. Оскільки прийнято />, то
/>
/>
Якщо маємо аналітичну залежністю /> і /> від частоти />, то можнаввести вектор />, записати рівняння (14) у вигляді/> івирішити їх методом Ньютона. При цьому для елементів матриці Якобі вдаєтьсяутворити аналітичний вираз і алгоритм розрахунків збігається з попереднім.
Якщо програма не орієнтована на отриманняаналітичного виразу для /> і />, то можна зробити таким чином.Подамо перші два рівняння до (14) у векторно-матричної формі
/>, (15)
а останнє перепишемо як
/>, (16)
де /> - діагональна матриця;
/>, />.
Вирішуватимемо (15) методом Ньютона при />, а (16) послідовнимзближенням або методом Стефенсена при />. Обчислення повинні бутиорганізовані так, щоб після вирішення одного рівняння його результати вводилисьв друге як початкові значення і навпаки. Розрахунки припиняються, якщо нормарізності векторів /> на сусідніх ітераціях станеменша, ніж задана похибка.