Министерство Российской Федерации по атомной энергии
Северский государственный технологический институт
Кафедра ЭАФУ
АВТОМАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА РЕГУЛИРОВАНИЯ
Курсовой проект
200600.В079.000ПЗ
Преподаватель
В.Я.Дурновцев
___________2003г.
Студент
И.И.Иванов
___________2003г.
Северск — 2003
Содержание
Введение
1. Построение статическойхарактеристики объекта
1.1 Постановка задачи
1.2 Аппроксимация полиномом первогопорядка
1.3 Аппроксимация полиномом второгопорядка
1.4 Расчет коэффициентов передачи
2. Динамическая характеристика
2.1 Постановка задачи
2.2 Динамическая модель объектапервого порядка без запаздывания
2.3 Динамическая модель первогопорядка с запаздыванием
3. Построение математической моделиобъекта
4. Аналитическое решение
5. Частотные характеристики
5.1 Частотные характеристики объекта
5.2 Расширенные частотныехарактеристики объекта
6. Выбор и расчет параметровнастройки регулятора
6.1 Расчет П-регулятора
6.2 Расчет И-регулятора
6.3 Расчет ПИ-регулятора
7. Передаточные функции системы
7.1 Разомкнутые системы
7.1 Замкнутые системы
8. Исследование устойчивости АСР
8.1 Обзор методов исследования наустойчивость
8.2 Проверка устойчивости по методуРауса
8.3 Проверка устойчивости по корням характеристического уравнения
9. Приведение к системедифференциальных уравнений
9.1 Система с П-регулятором
9.2 Система с И-регулятором
9.3 Система с ПИ-регулятором
10. Построение переходных процессов
11. Оценка качества функционирования АСР
12. Выводы
ЗАДАНИЕ
навыполнение работы по курсу
«Теоретические основы специальности»
студентгр. В-079 Рахимов Ч.Ш.
1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1.1Статическая характеристика объекта регулированияi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ti 1 2 3 4 5 6 7 8 9
yi 0,1 1,5 1 1,5 2 2,5 3 3,2 3,5
1.2Динамическая характеристика объекта регулирования
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ti 1 2 3 4 5 6 7 8 9
yi 0,5 0,71 0,8 0,91 0,98 0,99 0,995 1
1.3Требования к качеству системы регулирования:
— степень колебательности m=0,221;
— статическая ошибка, не более, Yст.доп.= ;
— время регулирования (при 10 %-ной ошибке), tр.доп.= ;
— использовать П, И, ПИ — регуляторы.
2. РАСЧЕТНО — ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА (РАЗДЕЛЫ):
Введение
1.Постановка задачи
2.Построение статической характеристики объекта
3.Построение динамической характеристики объекта
4.Математические модели объекта
5.Частотные характеристики объекта
6.Выбор и расчет параметров настройки регуляторов
7.Разомкнутые и замкнутые системы
8.Исследование систем на устойчивость
9.Построение переходных процессов в замкнутой системе
10.Оценка качества системы
11.Выводы
Литература
3. ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ РАСЧЕТЫ (БЕЗМАШИННЫЕ):
— построение статической модели объекта в виде полиномов 1-го и 2-го порядков;
-расчет коэффициента передачи объекта при 10, 50, 90 % номинального режима;
— построение динамической модели объекта в виде передаточной функции 1-го порядкас запаздыванием и без запаздывания;
— формирование математических моделей объекта;
— расчет частотных характеристик объекта;
— выбор и расчет регуляторов;
— формирование передаточных функций разомкнутой и замкнутых систем;
— исследование устойчивости замкнутых систем;
— приведение к системе дифференциальных уравнений;
— оценка качества систем.
4. ПРОВЕРОЧНЫЕ, ОКОНЧАТЕЛЬНЫЕ, ПОЛНЫЕ РАСЧЕТЫ
выполнитьна ПЭВМ в электронной книге или в любой из пригодных систем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Наладкаавтоматических систем и устройств управления технологическими процессами:Справочное пособие/ Под ред. А. С. Клюева. -М.: Энергия, 1977. — 400 с.
2. Полоцкий Л. М.,Лапшенков Г. И. Автоматизация химических производств. Теория, расчет ипроектирование систем автоматизации. — М.: Химия, 1982. — 296 с.
3. Дурновцев В. Я.Расчет АСР /Электронная книга. Северск, СТИ ТПУ, 1997. — 188 с.
4. Дурновцев В.Я.,Ширяев А. А. Расчет автоматических систем регулирования. 1. Расчет линейныхАСР. — Указания по выполнению индивидуальных заданий и курсовых проектов.-Томск: ТПИ, 1989. — 92 с.
5. Дурновцев В.Я.,Ширяев А. А. Линейные автоматические системы регулирования. 1. Объекты АСР. — Методические указания. — Томск: ТПИ, 1989. — 209 с.
6. Дурновцев В.Я.,Ширяев А. А. Использование электронных таблиц в инженерных расчетах./ Пособие.- Северск: СТИ ТПУ, 1997. — 47 с.
Дата выдачи задания: 20 февраля 2002 г.
/>/>Введение
Всякий технологический процессхарактеризуется определенными физическими величинами. Для обеспечениятребуемого режима работы эти величины необходимо поддерживать постоянными илиизменять по тому или иному закону. Физические величины, определяющие ходтехнологического процесса, называются параметрами технологического процесса.Параметрами технологического процесса могут быть давление, температура, уровеньжидкости, концентрация вещества, расход вещества или энергии, скоростьизменения какой – либо величины и т. п. Параметр технологического процесса,который необходимо поддерживать постоянным или изменять по определенномузакону, называется регулируемой величиной.
В системе ручного регулированиявыходное воздействие не оказывает без вмешательства оператора никакого влиянияна входное воздействие. Состояние входа системы приводится в соответствие ссостоянием ее выхода действиями оператора. Таким образом, лишь благодаря работеоператора система регулирования замыкается. Следовательно, для того чтобыполностью автоматизировать процесс регулирования, необходимо систему сделатьзамкнутой без вмешательства оператора.
Автоматическим управление называетсяпроцесс, при котором операции выполняются посредством системы, функционирующейбез вмешательства человека в соответствии с заданным алгоритмом. Автоматическаясистема с замкнутой цепью воздействия, в которой управляющее воздействиевырабатывается в результате сравнения истинного значения управляемой величины сзаданным ее значением, называется АСР. Процесс, посредством которого одну илинесколько регулируемых величин приводят в соответствие с их постояннымиизменяющимися по определенному закону заданными значениями и при этом указанноесоответствие достигается техническими средствами путем выработки воздействия нарегулируемые величины. Процесс автоматического регулирования реализуется АСР.Автоматическая система структурно может быть представлена по–разному. В общемслучае под структурой АСР понимается совокупность частей автоматическойсистемы, на которые она может быть разделена по определенным признакам, и путейпередачи взаимодействий между ними, образующих автоматическую систему.Простейшая составная часть структурной схемы АСР, отображающая путь инаправление передачи воздействия между частями автоматической системы, на которыеэта система разделена в соответствии со структурной схемой, называется связьюструктурной схемы. Связь структурной схемы АСР, образуемая основной цепьювоздействия между участками этой цепи, называется основной связью. Связьструктурной схемы АСР, образующая путь передачи воздействий в дополнение косновной цепи воздействий или какому – либо участку, называется дополнительнойсвязью. Дополнительная связь структурной схемы АСР, направленная от выхода квходу рассматриваемого участка цепи воздействий, называется дополнительнойобратной связью (или просто обратной связью). Обратная связь, замыкающаясистемы, передает результат измерения выходной величины на вход системы. Этавыходная величина представляет собой физическую величину, подлежащуюрегулированию (х — регулируемая величина или управляемаявеличина). Входнаявеличина g (t) и f (t) являются соответственно задающим и возмущающимвоздействием. Задача системы состоит в том, чтобы возможно точнеевоспроизводить на выходе х задаваемый закон изменения g (t) и возможно полнееподавлять влияние возмущающего воздействия f (t), а также других внешних ивнутренних помех, если они имеются. Для этой цели измеренная выходная величинах сравнивается через измеритель у = к. х с входной величиной g (t). Получаетсярассогласование (ошибка).
Рассогласование служит источником воздействияна систему, причем система работает на уничтожение или сведения к допустимомалому значению величины этого рассогласования, то есть величины ошибкисистемы. Случаю g (t) = const соответствует собственно автоматическоерегулирование на поддержание постоянного значения регулируемой величины. Этотипичная система регулирования по заданной настройке регулятора.
Важно отметить, что в замкнутыхсистемах автоматического управления и регулирования, как правило, не бываетспокойного состояния равновесия. Все время имеются какие-то внешние возмущающиевоздействия, порождающие рассогласование, которое заставляет систему работать.Поэтому важнейшим элементом проектирования таких систем является исследованиединамических процессов, описываемых обычно системой дифференцируемых уравнений,отражающих поведение всех звеньев системы. Особенностью, усложняющей расчетдинамики системы, является то, что в замкнутой системе все физические величины,представляющие воздействие одного звена на другое, связаны в единую замкнутуюцепь.
Автоматические системы регулированиядолжны обеспечивать:
- устойчивостьсистемы при любых режимных ситуациях объекта;
- минимальное времярегулирования;
- минимальныединамические и статические отклонения регулируемой величины, не выходящие поуровню за допустимые эксплуатационные пределы.
Выполнение этих требованийдостигается в результате обоснованного использования одного из законоврегулирования – математической зависимости между входной (отклонениемрегулируемой величины от предписанного значения) и выходной (регулирующимвоздействием) величинами регулятора.
1. Построениестатической характеристики объекта
1.1 Постановка задачи
Статические характеристики определяютзависимость между выходной и входной величинами звена или системы вустановившемся состоянии.
Необходимонайти неизвестные параметры функции f(x)и некоторый минимизирующий критерий близости f(x) к экспериментальным данным y.
Таблица 1
Статическаяхарактеристика объекта регулирования.i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Y 0,1 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,2 3,5
Для построения статическойхарактеристики необходимо табличные данные аппроксимировать полиномами первогои второго порядков.
Затем необходимо рассчитать суммуквадратов отклонений для каждой статистической характеристики объекта, ивыбрать такую характеристику, у которой сумма квадратов отклонений будетнаименьшей. Затем для этой модели рассчитаем коэффициент передачи объекта.1.2 Аппроксимация полиномом первого порядка
Модель первого порядка описываетсяуравнением вида:/>
y=a∙x+b
/>
Для нахождения коэффициентов а и b составимсистему линейных алгебраических уравнений, причем число уравнений в системеравно числу состояний объекта в эксперименте.
Для решения данной системыалгебраических уравнений воспользуемся матричным методом наименьших квадратов. Составимматрицы входных и выходных сигналов:
/>
Получимсистему с двумя неизвестными: X .A = Y
Транспонируемматрицу Х:
/>
Умноживслева обе части исходной системы на транспонированную матрицу коэффициентов,получим систему, число уравнений в которой равно числу неизвестных, а решениеэтой системе будет доставлять минимум критерий оптимизации.
XT. X . A = XT. Y
/>
/>
/>
/>
Получим систему двух линейныхалгебраических уравнений первого порядка:
/>
Найдемглавный определитель матрицы:
/>
Найдем вспомогательные определителисистемы:
/>
/>
Найдемкоэффициенты а и b:
/>
Такимобразом, получим полином:
у=0.428. х — 0.198
Для оценки полученного полиномавычислим значения функции и сравним их с экспериментальными данными.
/>
Результаты вычисления сведем втаблицу. таблица 2i x y
yi
Δyi 1 -0.198 0.198 2 1 0.1 0.203 -0.130 3 2 0.5 0.658 -0.158 4 3 1 1.086 -0.086 5 4 1.5 1.514 -0.014 6 5 2 1.942 0.058 7 6 2.5 2.370 0.130 8 7 3 2.798 0.202 9 8 3.2 3.226 -0.026 10 9 3.5 3.654 -0.154
Суммаквадратов отклонений:
å Dуi 2 = 0.174
Нижеприведен проверочный расчет модели объекта первого порядка на ЭВМ в системеMathCad.
/>/>
1.3 Аппроксимацияполиномом второго порядка
Модельвторого порядка описывается уравнением вида:
у= а. х/>+ b . х + с.
Длянахождения коэффициентов а, b, с, удовлетворяющихвсем состояниям объекта регулирования составим систему алгебраических уравненийвторого порядка, причем число уравнений в системе равно числу состояний объектав эксперименте:
/>
Длярешения данной системы алгебраических уравнений воспользуемся матричным методомнаименьших квадратов. Составим матрицы входных и выходных сигналов:
/>
Получимсистему с тремя неизвестными: X . A = Y
/>.
Решимматричное уравнение:
Хт. Х. А = Х т. У
гдеА — матрица коэффициентов полинома второго порядка.
/>/> />
Получимсистему трех алгебраических уравнений
/>
Решивее, определим коэффициенты a, b, c.
Найдемглавный определитель системы:
/>
Найдем вспомогательные определителисистемы:
Найдемкоэффициенты a,b,c:
/>/>
/>
/>
Такимобразом, получили полином второго порядка:
y =-0.00152. xi2+ 0.442121. xi -0.21636
Дляоценки полученного полинома вычислим значения функции и сравним их сэкспериментальными данными:
/>
Полученныерезультаты сведем в таблицу 3i x y
yi Δy 1 -0.216 0.216 2 1 0.1 0.224 -0.124 3 2 0.5 0.662 -0.162 4 3 1 1.096 -0.096 5 4 1.5 1.528 -0.028 6 5 2 1.956 0.044 7 6 2.5 2.382 0.118 8 7 3 2.804 0.196 9 8 3.2 3.224 -0.024 10 9 3.5 3.640 -0.14
Суммаквадратов отклонений равна: åDуi2 = 0.173
Нижеприведен проверочный расчет модели объекта первого порядка на ЭВМ в системеMathCad.
/>
/>
Сравниваясуммы квадратов отклонений видно, что полином второго порядка лишь немногим точнееописывает поведение объекта, чем полином первого порядка. Из чего следует, чтоповедение объекта подчиняется уравнению очень близкому уравнению линии. Длярасчетов используем уравнение найденное с помощью полинома второго порядка.
1.4 Расчеткоэффициентов передачи
Длястатической модели первого порядка коэффициент передачи определяется как производнаяот выходной величины:
Коэффициентпередачи объекта показывает в какую сторону и в какой степени происходитизменение сигнала при прохождении его через объект, то есть усилительныесвойства объекта.
Длястатической модели первого порядка коэффициент передачи определяется какпроизводная от выходной величины:
/>
/>
Длястатической модели второго порядка коэффициент передачи определяется как производнаяот выходной величины:
Расчеткоэффициентов передачи производим при 10, 50 и 90%
/>
Рассчитаемзначение коэффициента передачи при 10 % по формуле:
где/> — максимальноеустановившееся значение сигнала.
/> - минимальноезначение сигнала.
/>
Подставляяполученные данные, получим:
/>
Выбираемх1, т.к только он входит в диапазон экспериментальных значений. Подставимзначение х1 в (1.2) и получим значение коэффициента передачи при 10 %номинального режима:
Рассчитаемзначение коэффициента передачи при 50 % по формуле:
/>
Подставляяполученные данные, получим:
/>
Выбираемх1, т. к только он входит в диапазон экспериментальных значений. Подставимзначение х1 в (1.2) и получим значение коэффициента передачи при 50% номинального режима:
/>
/>/>
Рассчитаемзначение коэффициента передачи при 90 % по формуле:
/>
Выбираемх1, т. к только он входит в диапазон экспериментальных значений. Подставимзначение х1 в (1.2) и получим значение коэффициента передачи при 90% номинального режима:
Результатырасчета сведены в таблицу.
Таблица4
Коэффициентыпередачи. 10% 50% 90% х 1.287 4.518 7.824 к 0.438 0.428 0.418
Нижеприведен проверочный расчет коэффициентов передачи объекта на ЭВМ в системеMathCad.
/>
2. Динамическая модель объекта
2.1 Постановка задачи
Динамическаямодель связывает изменение входных и выходных величин во времени, то естьотражает протекание переходного процесса.
Дляполучения динамической характеристики объекта регулирования необходимовыполнить следующие действия:
— задаться рядом значений времени t;
— подав на вход объекта возмущение, для каждого tiзарегистрировать значение выходного сигнала yi.
Полученная,таким образом, динамическая характеристика заданного объекта регулирования,приведена в табл. 5.
Таблица5
Динамическаяхарактеристика объекта регулированияi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Y 0.5 0.71 0.8 0.91 0.98 0.99 0.995 1
Дляполучения аналитической зависимости, заданную таблично динамическуюхарактеристику необходимо аппроксимировать экспоненциальным выражением первогопорядка. Затем, по наименьшему значению суммы квадратов отклонений дляхарактеристик без запаздывания и с запаздыванием, нужно выбрать наиболееприближенную к экспериментальным данным динамическую характеристику.
Послерасчета выполненного вручную следует проверить его на ПЭВМ в системе MathCad, атакже произвести расчет динамической характеристики второго порядка и выбратьнаиболее точную.
2.2 Модель объекта первого порядка без запаздывания
Динамическаямодель первого порядка без запаздывания представляет собой неоднородноедифференциальное уравнение первого порядка:
/> (2.1)
где T- постоянная времени объекта;
k- коэффициент передачи при 50% номинального режима.
Решениемуравнения (2.1) будет экспоненциальная зависимость сигнала на выходе отвремени:
/> (2.2)
где y0=0- начальное состояние выхода объекта;
k.x=yуст.=10- установившееся состояние выхода объекта.
Преобразоваввыражение (2.2), получим:
/> (2.3)
Обозначимлевую часть выражения (2.3) как />. Значения /> и их натуральныелогарифмы приведены в табл. 6.
Таблица6
Значения/> и />i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
yi 0.5 0.71 0.8 0.91 0.98 0.99 0.995 1
/> 1 1 0.5 0.29 0.2 0.09 0.02 0.01 0.005
/> -0.693 -1.238 -1.609 -2.408 -3.912 -4.605 -5.298 -∞
Преобразоваввыражение (2.3), получим:
/>
откудапо методу наименьших квадратов найдем постоянную времени:
/>
Такимобразом динамическая характеристика первого порядка без запаздывания будетиметь вид:
/>
Вычислиманалитические значения функции, их отклонения от экспериментальных значений, атакже квадраты отклонений и сведем их в
Таблица7
Результатырасчетаi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
yi 0.5 0.71 0.8 0.91 0.98 0.99 0.995 1
yiанал 0.46 0.708 0.843 0.915 0.954 0.975 0.987 0.993 0.996
/>yi -0.46 -0.208 -0.133 -0.115 -0.044
4.8∙10-3
3.4∙10-3
2.2∙10-3
3.9∙10-3
/> 0.000 0.212 0.043 0.018 0.013
1.9∙10-3
2.3∙10-5
1.1∙10-5
4.9∙10-6
1.5∙10-5
Далеенаходим сумму квадратов отклонений:
/>
Динамическаямодель объекта первого порядка без запаздывания является наименее точной,поэтому ее применение не целесообразно при моделировании динамики объекта. Нижеприведен проверочный расчет динамической модели объекта первого порядка беззапаздыванием и модели второго порядка без запаздыванием на ЭВМ в системеMathCad.
/>
/> />
2.3Модель объекта первого порядка с запаздыванием
Динамическаямодель первого порядка с запаздыванием представляет собой неоднородноедифференциальное уравнение первого порядка:
/> (2.4)
где T- постоянная времени объекта;
k- коэффициент передачи при 50% номинального режима;
/> - времязапаздывания.
Решениемуравнения (2.1) будет экспоненциальная зависимость сигнала на выходе отвремени:
/> (2.5)
где y0=0- начальное состояние выхода объекта;
k.x=yуст.=10- установившееся состояние выхода объекта.
Проведемпреобразования, аналогичные модели без запаздывания
/>
илизапишем в виде системы :
/> (2.6)
где />берется изтабл. 7.
Таккак />, /> и />, то всеуравнения содержащие эти элементы в расчете участвовать не будут.
Решимсистему (2.6) методом наименьших квадратов. Составим матрицы:
— искомых величин: />
— правой части системы: />
— левой части системы: />
— произведение />
— произведение />
Такимобразом получили матричное уравнение:
/>
Находимглавный определитель:
/>
Подставляяматрицу /> поочереднов первый и второй столбец матрицы />, находим вспомогательныеопределители:
/>
/>
Находимпостоянную времени и время задержки:
/>
/>
Такимобразом динамическая характеристика первого порядка с запаздыванием будет иметьвид:
/>
Вычислиманалитические значения функции, их отклонения от экспериментальных значений, атакже квадраты отклонений, причем значения функции при /> учитывать не будем. Результатысведем в табл. 8.
Таблица8
Результатырасчетаi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
yi 0.5 0,71 0,8 0,91 0,98 0,99 0,995 1
yiанал 0.199 0.565 0.764 0.872 0.93 0.962 0.98 0.989
/>yi 0.301 0.145 0.036 0.038 0.05 0.028 0.015 0.011
/>/> 0.090493 0.020928 0.001291 0.001448 0.002451 0.000769 0.00024 0.000124
Далеенаходим сумму квадратов отклонений:
/>.
Таккак сумма квадратов отклонений у модели с запаздыванием меньше, чем у моделибез запаздывания, то ее использование позволяет более точно описыватьпротекание переходного процесса.
Расчетна ЭВМ моделей более высоких порядков показывает, что наименьшее значение суммыквадратов отклонений будет у модели второго порядка. Поэтому в дальнейшихрасчетах будем выполнять все действия именно для модели второго порядка.
Нижеприведен проверочный расчет динамической модели объекта первого порядка сзапаздыванием и модели второго порядка с запаздыванием на ЭВМ в системеMathCad.
/>
/>
/>
/>
3. Построение математическоймодели
Передаточнаяхарактеристика объекта представляет собой отношение выходной величины к входнойвеличине.
Передаточнаяхарактеристика объекта второго порядка с запаздыванием отличается отхарактеристики первого порядка наличием в знаменателе дроби квадрата суммы:
/>
Послеподстановки известных численных значений и всех преобразований, получим:
/>
Приведемполученное выражение к нормальной системе дифференциальных уравнений первогопорядка и построим математическую модель объекта на ЭВМ в системе MathCad.
/>
4. Аналитическоерешение
Для отыскания аналитического решения решимхарактеристическое уравнение:
0,931 р2 + 1,93 р + 1 = 0 (4.1)
p1 = -1,781; p2 = — 0,290 — корни характеристического уравнения.
Ввиду того, что корни характеристического уравнениякратные подставим их в выражение вида:
u(t) = kx . [1 – [1 + p . (t – τ) ] .e p(t– τ) ] (4.2)
где к – коэффициент передачи при 50% номинального режима
р – корни характеристического уравнения (4.3)
t – соответствующий момент времени
τ – время запаздывания
Подставляя соответствующие значения к, р, t, τ получим графикпереходного процесса в объекте.
Ввиду сложности расчеты производятся на ПЭВМ (см.распечатку)
/>
5. Частотные характеристики
Частотные характеристики объекта связаны с егопередаточной функцией следующим образом:
где к = к (50%) = 0.428- коэффициент передачи при 50%:
/>
Т = 0.965- постоянная времени:
t = 0.715- время запаздывания.
е-τp = cos(w . t) — j . sin(w . t).
Заменив, в выражении для объекта второго порядкавеличину p на мнимую величину jw, получимкомплексную функцию W(jw).
Преобразовав выражение (4.1) получим, что:
/>
Обозначим в формуле (5.2) :
/>
— Вещественная частотная
характеристика системы
/> - мнимаячастотная
частотная характеристика системы
Подставив R(w) и I(w) в уравнение (5.2):
W(jw) = R(w) + j .I(w)
/>
Составим соотношения, связывающие между собой частотныехарактеристики :
где А(w) — амплитудно-частотнаяхарактеристика
L(w) — логарифмическаяамплитудно-частотная характеристика.
F(w) — фазочастотная характеристика
По формулам (5.3) — (5.5) находим значения дляпостроения частотных характеристик. Эти значения сведены в таблицу 5.1 стр. 30.
Нижеприведен расчет частотных характеристик объекта на ЭВМ в системе MathCAD.Расчет произведен в диапазоне частот 0...2 c-1 для 100 точек. Такжепредставлены графики при /> следующих характеристик:
— амплитудно-частотной;
— логарифмической амплитудно-частотной;
— фазо-частотной;
— амплитудно-фазо-частотной.
/>
/>
/>
Расчетрасширенных частотных характеристик
Прирасчете расширенных частотных характеристик вместо замены /> производят замену />, где m=0,221 — степень колебательности системы. Введем обозначение:
/>
/>
где
/>/>
/>
Далее,аналогично обычным частотным характеристикам, задавшись рядом частот,подаваемых на вход объекта, производим расчет расширенной амплитудно-частотнойхарактеристики по формуле:
/>
Затемрассчитываем расширенную фазо-частотную характеристику по формуле:
/>.
Нижеприведен расчет расширенных частотных характеристик объекта на ЭВМ в системеMathCAD. Расчет произведен в диапазоне частот 0...2 c-1 для 100точек. Также представлены графики при /> следующих характеристик:
— расширенной амплитудно-частотной;
— расширенной амплитудно-фазо-частотной.
/>
/>
6. Выбор и расчет параметров настройки регуляторов
Автоматические регуляторы по своим динамическимсвойствам подразделяются на линейные и нелинейные. При проектировании наиболеечасто применяемых линейных регуляторов используют:
- пропорциональный регулятор (П-регулятор);
- интегральный регулятор(И-регулятор);
- пропорционально-интегральныйрегулятор (ПИ-регулятор);
- дифференциальныйрегулятор (Д-регулятор);
- пропорционально-дифференциальныйрегулятор (ПД-регулятор);
- пропорционально-интегро-дифференциальный регулятор (ПИД-регулятор).
Требования, предъявляемые к регулятору, обусловленытребованиями ко всей системе регулирования: в обеспечении устойчивостизамкнутой системы. При проектировании систем стремятся обеспечить ихустойчивость с некоторой гарантией, так чтобы изменение параметров в некоторыхпределах не могло привести к неустойчивости. Для этой цели используются понятиязапасов устойчивости систем автоматического регулирования, вводимых на основечастотного критерия Найквиста:
/>
где /> - передаточная функцияобъектарегулирования;
/> - передаточнаяфункция регулятора.
6.1Расчет П-регулятора
Передаточнаяхарактеристика П-регулятора имеет вид:
/>
/>w
R0
I0
j0
Q0
KП
jП 0.428 0.183 -2.336 3.142 0.5 0.099 -0.438 -1.348 0.202 -0.492 1.794 1 -0.257 -0.196 -2.489 0.105 2.456 0.653 1.5 -0.208 0.041 -3.336 0.045 4.627 -0.194 2 -0.095 0.109 -3.994 0.021 4.545 -0.852
6.2Расчет И-регулятора
Передаточнаяхарактеристика И-регулятора имеет вид:
/>
/>
/>w
Rо
Iо
kи 0.428 0.5 0.099 -0.438 0.432 1 -0.257 -0.196 0.602 1.5 -0.208 0.041 -1.025 2 -0.095 0.109 -4.291
6.3Расчет ПИ-регулятора
Передаточнаяхарактеристика ПИ-регулятора имеет вид:
/>
/>
где/>
/>w
Rо
KП
kи 0.428 -2.336 0.5 0.099 -0.492 0.432 1 -0.257 2.456 0.602 1.5 -0.208 4.627 -1.025 2 -0.095 4.545 -4.291
Нижеприведены результаты расчета на ЭВМ в электронных таблицах параметров П, И,ПИ-регуляторов, а также графики изменения этих параметров.
/>
/>
/>
7. Передаточныефункции системы
7.1Разомкнутые системы
Структураразомкнутой системы автоматического регулирования может быть изображенаследующим образом:
/>
Передаточнойфункцией такой системы будет выражение:
/>.
Запишемпередаточные функции систем с регуляторами:
— П-регулятором:
/>
— И-регулятором:
/>
— ПИ-регулятором:
/>
7.2Замкнутые системы
Структуразамкнутой системы автоматического регулирования может быть изображена следующимобразом:
./>
Передаточнойфункцией такой системы будут выражения:
— по возмущению />;
— по управлению />.
Подставиввсе известные выражения передаточных функций объекта регулирования ирегуляторов, получим передаточные функции систем с различными регуляторами:
— с П-регулятором:
/>
/>
— с И-регулятором:
/>
/>
— с ПИ-регулятором:
/>
/>
8. Исследованиеустойчивости АСР
Исследованиезамкнутых АСР на устойчивость предполагает получение ответов на следующиевопросы. Является ли система с рассчитанным регулятором устойчивой, то есть,возвращается ли она в состояние равновесия при наличии возмущений? Какие изпараметров системы (объекта и регулятора) и каким образом влияют наустойчивость? При каких предельных значениях параметров система становитсянеустойчивой? Каков запас устойчивости системы при заданных значенияхпараметров?
Ввидусложности решения поставленных задач часто ограничиваются только установлениемфакта устойчивости заданной системы. Также нужно помнить, что, так как расчетрегулятора ведется не только из условия обеспечения устойчивости системы, но ииз условия обеспечения заданного качества регулирования, то такая система ужебудет устойчивой. Если задана передаточная функция объекта высокого порядка илизамкнутая АСР с некоторыми изменяемыми параметрами, то факт устойчивости неочевиден и нужно выполнить такой анализ.
Дляисследования на устойчивость замкнутых систем автоматического регулированияразработано множество методов. Среди них определение устойчивости по корнямхарактеристического уравнения, по критерию Гурвица, по критерию Рауса, почастотному критерию Михайлова, по частотному критерию Найквиста, D-разбиение идругие.
8.1Обзор методов исследования на устойчивость
Приопределении устойчивости по корням характеристического уравнения исследованиепроизводится по оператору левой части дифференциального уравнения, либо пополиному знаменателя исходной передаточной функции. В этом случае система будетустойчивой, если действительные корни характеристического уравнения,действительные части комплексных корней будут отрицательны. Запас устойчивостипри таком способе определения устойчивости можно графически представить какрасстояние от значения корня до мнимой оси координат.
Приоценке устойчивости по критерию Гурвица из коэффициентов характеристическогоуравнения составляется определитель Гурвица вида:
/>
Дляустойчивости АСР необходимо и достаточно, чтобы главный определитель и всеопределители низших порядков были одного знака с an.
Дляпроверки устойчивости по критерию Рауса составляется таблица коэффициентов последующим правилам (см. табл.).1 -
an
an-2
an-4 2 -
an-1
an-3
an-5 3
rn=an/an-1
c13=an-2-rn.an-3
c23=an-4-rn.an-5
c33=an-6-rn.an-7 4
rn-1=an-1/c13
c14=an-3-rn-1.c23
c24=an-5-rn-1.c33
c34=an-7-rn-1.c43 5
rn-2=c13/c14
c15=c23-rn-2.c24
c25=c33-rn-2.c34
c35=c43-rn-2.c44
Системабудет устойчива, если все коэффициенты таблицы Рауса положительны, то есть an>0,an-1>0, c13>0, c14>0, c15>0и так далее. Если в характеристическом уравнении an
Дляисследования на устойчивость систем с запаздыванием по корням характеристическогоуравнения по критериям Рауса и Гурвица звено запаздывания необходимо разложитьв ряд Паде с учитыванием соответствующего числа членов, перемножить полученнуюпередаточную функцию с передаточной функцией объекта, а затем получитьпередаточную функцию замкнутой АСР с регулятором.
Ввидузначительной трудоемкости при исследовании на устойчивость систем высокогопорядка по критериям Рауса и Гурвица обычно используют ЭВМ.
Дляисследования устойчивости по критерию Михайлова строится годограф вектора /> характеристическогоуравнения А(р)=0 замкнутой системы. Для устойчивости системы необходимо идостаточно, чтобы вектор />, описывающий своим концом кривуюМихайлова при изменении частоты /> от 0 до />, начав свое движение сположительной действительной оси и вращаясь против часовой стрелки,последовательно проходил n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль (n- порядокхарактеристического уравнени
Критерийустойчивости Найквиста формулируется следующим образом: если разомкнутаясистема устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимои достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы неохватывала точку на действительной оси с координатами />.
Необходимоотметить, что при исследованиях на устойчивость по критериям Михайлова иНайквиста рассчитываются и строятся графики АФХ характеристического уравнения(критерий Михайлова) или разомкнутой АСР (критерий Найквиста), что являетсятрудоемкой задачей. Поэтому для построения АФХ используется ЭВМ.
Частотныекритерии применимы и для исследования на устойчивость систем с запаздыванием вобщем виде, без разложения в ряд Паде передаточной функции звена запаздывания,используя его представление в форме Эйлера.
ПоАФХ замкнутой системы можно определить запас устойчивости по амплитуде и пофазе.
Еслинеобходимо оценить влияние на устойчивость некоторого параметра (коэффициента)системы, например, коэффициента усиления, и определить область значений, внутрикоторой по этому параметру система будет оставаться устойчивой, то применяют кхарактеристическому уравнению, в которое входит исследуемый параметр, методD-разбиения.
Дляэтого:
— характеристическое уравнение А(р)=0 разбивают на две составляющие (зависящую ине зависящую от параметра)
/>;
— заменяют p на /> и выражают параметр в комплекснойформе
/>;
— изменяют частоту /> в пределах от 0 до /> и, вычислив координатыточек, строят границу устойчивости;
— полученная кривая дополняется ее зеркальным отображением относительно вещественнойоси;
— штрихуют границу слева при движении по кривой в направлении возрастания />;
- область,полностью окаймленная штриховкой, является областью устойчивости;
- по точкам пересеченияграничной кривой с вещественной осью определяют диапазон изменения значенийпараметра q, при которых система остается устойчивой.
8.2Проверка устойчивости по критерию Рауса
Вданной курсовой работе оценку устойчивости замкнутой системы автоматическогорегулирования произведем по критерию Рауса так как этот метод не предполагаетнахождение определителей, а значит наименее трудоемок. Для проверкиустойчивости по критерию Рауса заполним таблицы коэффициентов аналогичнотаблице 14.
Длясистемы с П-регулятором составим таблицу 15 подставив в соответствующие ячейкикоэффициенты при р из знаменателя передаточной характеристики системы.
Таблица15
ТаблицаРауса для системы с П-регулятором1 -
An=0,179
An-2=2,075
An-4=2,157 2 -
An-1=0,884
An-3=4,176
An-5=1,975 3
Rn=0,202
c13=1,395
c23=1,736
c33=0 4
Rn-1=0,719
c14=3,053
c24=1,89
c34=0 5
Rn-2=0.422
c15=0,873
c25=0
c35=0 6
Rn-3=3,154
c16=1,89
c26=0
c36=0 7
Rn-4=0,468
c17=0
c27=0
c37=0
Изтаблицы 15 видно, что замкнутая система с П-регулятором устойчива так как выполняется необходимое условиеустойчивости по критерию Рауса.
Аналогичносоставляем таблицы Рауса (табл. 16 и табл. 17) для замкнутых системавтоматического регулирования с И-регулятором и ПИ-регулятором соответственно.
Таблица16
ТаблицаРауса для системы с И-регулятором1 -
An=0.179
An-2=2.229
An-4=3.249
An-6=0.284 2 -
An-1=0.884
An-3=3.663
An-5=0.721 3
Rn=0.202
c13=1.487
c23=3.103
c33=0.284
c43=0 4
Rn-1=0.594
c14=1.819
c24=0.552
c34=0
c44=0 5
Rn-2=0.818
c15=2.651
c25=0.284
c35=0
c45=0 6
Rn-3=0.686
c16=0.357
c26=0
c36=0
c46=0 7
Rn-4=7.419
c17=0.284
c27=0
c37=0
c47=0 8
Rn-6=1.258
c18=0
c28=0
c38=0
c48=0
Таблица17
ТаблицаРауса для системы с ПИ-регулятором1 -
An=0,179
An-2=2,127
An-4=2,665
An-6=0,392 2 -
An-1=0,884
An-3=3,959
An-5=1,263 3
Rn=0,202
c13=1,325
c23=2,409
c33=0,392
c43=0 4
Rn-1=0,667
c14=2,352
c24=1,002
c34=0
c44=0 5
Rn-2=0,563
c15=1,845
c25=0,392
c35=0
c45=0 6
Rn-3=1,275
c16=0,502
c26=0
c36=0
c46=0 7
Rn-4=3,677
c17=0,392
c27=0
c37=0
c47=0 8
Rn-6=1,28
c18=0
c28=0
c38=0
c48=0
Изтаблиц видно, что как система с И-регулятором, так и система с ПИ-регуляторомустойчивы. Факт устойчивости систем подтверждает правильность расчетапараметров регуляторов, так как этот расчет проводился из условия обеспеченияустойчивости системы регулирования.
8.3Проверка устойчивости по корням характеристического уравнения
Нижеприведены результаты проверки устойчивости замкнутых систем по корнямхарактеристического уравнения на ЭВМ в системе MathCad.
/>
/>
9. Приведениек системе дифференциальных уравнений
Системадифференциальных уравнений устанавливает связь выходной координаты с входными впереходном процессе. То есть если передаточная характеристика системы имеет вид:
/>
тосвязь выходной координаты с входной можно записать так:
/>.
Дляприведения к системе дифференциальных уравнений выполняем следующие действия:
— все члены правой части переносим в левую часть и группируем члены с одинаковымипорядками производных:
/>;
— формально интегрируем полученное уравнение (порядок уравнения во всех членахуменьшается на 1). Интегрирование выполняется до тех пор, пока не исчезнут все рв левой части.
9.1Система с П-регулятором
Передаточнойфункцией системы автоматического регулирования с П-регулятором по возмущениюявляется найденное ранее выражение:
/>
Тогдав соответствии с вышеизложенным, запишем:
/>
пусть/>;
/>
обозначим/>, тогда
/>
/>
/>
/>
/>
Тогдаокончательно система запишется следующим образом:
/>
Передаточнаяфункция системы с П-регулятором по управлению:
/>
Тогдав соответствии с вышеизложенным, запишем нормальную систему:
/>
9.2Система с И-регулятором
Передаточнаяфункция системы с И-регулятором по возмущению:
/>
Тогдав соответствии с вышеизложенным, запишем нормальную систему:
/>
Передаточнаяфункция системы с И-регулятором по управлению:
/>
Тогдав соответствии с вышеизложенным, запишем нормальную систему:
/>
9.3Система с ПИ-регулятором
Передаточнаяфункция системы с ПИ-регулятором по возмущению:
/>
Тогдав соответствии с вышеизложенным, запишем нормальную систему:
/>
Передаточнаяфункция системы с ПИ-регулятором по управлению:
/>
Тогдав соответствии с вышеизложенным, запишем нормальную систему:
/>
10. Построениепереходных процессов
Несмотряна то, что ряд оценок качества функционирования АСР могут быть вычислены безпостроения таблиц и графиков переходных процессов, тем не менее, окончательныйответ о пригодности системы можно получить только по результатам исследованияпереходных процессов. Поэтому на завершающей стадии проектирования АСР всегдастремятся тем или иным способом получить оценки динамических характеристиксистемы и сравнить их с заданными.
Переходныепроцессы рассчитывают для замкнутых АСР по возмущающему или управляющемувоздействиям. Если по возмущению, то регулятор должен в течении переходногопроцесса компенсировать это возмущение, а объект — возвратиться в то жесостояние, в котором он был до приложения возмущения. Если по управлению, торегулятор должен отработать управляющее воздействие и регулируемая величина навыходе объекта должна принять новое, заданное значение.
Прииспользовании для построения переходных процессов любых методов (аналитические,численные) в качестве исходного материала необходимо иметь математическуюмодель замкнутой системы в форме передаточной функции, дифференциальногоуравнения или уравнений АФХ, которые можно получить из передаточной функции.
Еслипередаточная функция замкнутой системы приведена к дифференциальному уравнениюс произвольной правой частью, то аналитическое решение ищется в такойпоследовательности:
— находятся корни характеристического уравнения;
— строится частное решение с неопределенными коэффициентами;
— это частное решение подставляется в исходное уравнение;
— посредством приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях хнаходятся все неопределенные коэффициенты;
— записывается искомое частное решение.
Эторешение и будет являться зависимостью выходной координаты системы от времени.
Прииспользовании численных методов для построения переходных процессов необходимо:
— передаточную функцию замкнутой системы преобразовать в дифференциальноеуравнение, разложив при этом звено запаздывания в ряд Паде;
— дифференциальное уравнение n порядка привести к системе из nдифференциальных уравнений первого порядка;
— задать уравнение для возмущающего воздействия;
— выбрать один из численных методов для решения полученной системы;предпочтительнее методы с итерационным уточнением решения на каждом шаге(усовершенствованный метод Эйлера-Коши) или с автоматическим выбором величинышага для обеспечения требуемой точности (метод Рунге-Кутта);
— составить программу для ЭВМ или использовать стандартную из состава математическогообеспечения.
Нижепредставлены графики переходных процессов по управлению и возмущению систем сП, И и ПИ-регуляторами. Графики построены в системе MathCad.
/>
11. Оценка качествафункционирования АСР
Как всякая динамическая система, АСР может находиться водном из двух режимов – стационарном (установившемся) и переходном.Стационарный режим может быть двух типов: статический и динамический. Встатическом режиме, при котором все внешние воздействия и параметры системы неменяются, качество управления характеризуется точностью.
Исчерпывающее представление о качестве переходногопроцесса дает, естественно, сама кривая процесса. Однако при разработке АСРнеобходимо иметь возможность судить об основных показателях качествапереходного процесса без построения их кривых, по каким-либо косвеннымпризнакам, которые определяются более просто и, кроме того, позволяют связатьпоказатели качества непосредственно со значениями параметров АСР. Такиекосвенные признаки называются критериями качества переходного процесса.
Существуют три группы критериев качества: корневые,интегральные и частотные.
Группа корневых критериев основана на оценкекачества переходного процесса по значениям полюсов и нулей передаточной функцииАСР. В частном случае, когда нулей нет, качество переходного процессаопределяется только полюсами.
Переходный процесс в устойчивой системе распадается назатухающие и колебательные составляющие. Если найти длительность самой длительнойсоставляющей и величину колебательности самой колебательной составляющей, то поним можно оценить верхние пределы величин длительности и колебательности всегопереходного процесса.
Интегральными критериями качестваназываются такие, которые одним числом оценивают и величины отклонений, и времязатухания переходного процесса. Такие критерии качества используются дляопределения оптимальных значений варьируемых параметров по минимуму значениясоответствующей интегральной оценки. Применяются интегральные критерии обычно втеории оптимальных систем.
Наибольшее распространение получили частотныекритерии, в основу которых положено использование частотных характеристик.
Рассмотрим некоторые критерии качества работы АСР:
1) статическая ошибка – это величина отклонениявыходного параметра от заданного значения в установившемся режиме:
/>
если в числителе передаточной функции системы нетсвободного члена, то статическая ошибка равна нулю;
2) динамическая ошибка ∂y – этомаксимальное отклонение от установившегося значения в переходном процессе;
3) время регулирования – это время tр,за которое выходная координата системы вошла в зону допустимой погрешностирегулирования 2∙δ, где δ определяется следующимобразом:
/>
4) величина перерегулирования:
/>
5) степень затухания:
/>
учитывая, что />; с данным критерием тесно связанеще один параметр – степень колебательности системы />; данные критерии взаимосвязаныследующими соотношениями:
/>
проведя небольшой анализ приведенных соотношений, можновыделить два крайних состояния системы: а) апериодический процесс ψ=1,m=∞; б) незатухающие колебания ψ=0, m=0; часто врасчетах применяют ψ=0.75, m=0.221; все системырегулированию рассчитываются с заданным значением либо ψ, либо m.
АСРсчитается оптимально настроенной системой, если она удовлетворяет двум или тремкритериям качества, например, динамическая ошибка, степень затухания и времярегулирования удовлетворяют заданным значениям.
Определим критерии качества для замкнутой АСР повозмущению с П-регулятором. Исходя из графика переходных процессов, статическаяошибка составляет />, динамическая ошибка: />.
Чтобы определить время регулирования, рассчитаем сначаладопустимую погрешность регулирования: />.
Таким образом, время регулирования имеет следующеезначение />.
Вычислим величину перерегулирования: />.
Воспользовавшись заданным значением степениколебательности системы регулирования, определим степень затухания: />.
Аналогичнорассчитываем прямые показатели оценки качества для систем с И иПИ-регуляторами. Результаты сводим в табл.
Прямыепоказатели качества АСР по возмущению по управлению П И ПИ П И ПИ дин. ошибка 0,28 0,87 0,79 0,29 0,54 0,52 стат. ошибка 0,5 0,53 1,07 1,08
ст. затух. /> 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 ст. колеб. m 0,221 0,221 0,221 0,221 0,221 0,221
перерег. /> 0,46 0,51 0,44 0,52 0,5 0,52
tрег., с 14,76 88,02 44,96 14,57 33,6 20,56
12ВЫВОДЫ
1.Статическая модель объекта тем точнее описывает поведение объекта, чем вышепорядок полинома.
2.Применительно к динамической модели выяснилось, что ее точность возрастаеттолько до определенного порядка, а затем точность падает.
3.Автоматическая система регулирования с П-регулятором имеет наименьшее значениемаксимальной динамической ошибки, однако такой системе присуща статическаяошибка, поэтому П-регуляторы могут применяться в случаях, когда допускаетсяотклонение регулируемой величины от заданного значения в равновесном состояниисистемы (более 10%).
4.АСР с И-регулятором характеризуется относительно большой динамической ошибкой иперерегулированием, а также длительным переходным процессом, поэтому областьприменения И-регуляторов ограничивается объектами, допускающими относительнобольшое максимальное отклонение регулируемой величины. Ни при каких значенияхпараметров системы И-регулятор не может обеспечить устойчивого регулированияобъекта, не обладающего самовыравниванием.
5.АСР с ПИ-регулятором имеет наиболее оптимальные параметры как по динамическойошибке, так и по времени переходного процесса, степени затухания, колебательностии перерегулированию, поэтому ПИ-регуляторы могут применяться при любыхтребованиях к значению установившегося отклонения и любом диапазоне возмущающихвоздействий, если допустимое время регулирования значительно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дурновцев В.Я., ШиряевА.А. Расчет автоматических систем регулирования. 1. Расчет линейных АСР. — Указания по выполнению индивидуальных заданий и курсовых проектов. — Томск: Отделение№ 1 ТПИ, 2988. — 92 с.
2. Основы теорииавтоматического регулирования: Учебник для машиностроительных специальностейвузов/В.И. Крутов, Ф.М. Данилов, П.К. Кузьмик и др.; Под ред. В.И. Крутова. — 2-еизд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение. 1984. 368 с., ил.