МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра радіотехніки
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з курсу «Сигнали та процеси»
Варіант № 9
Черкаси 2010
Варіант 9
Теорема Котельникова. Побудова ортонормованого базису
Теорема Котельникова (у англомовній літературі — теорема Найквіста — Шенона) свідчить, що, якщо аналоговий сигнал />має обмежений спектр, то він може бути відновлений однозначно і без втрат по своїх дискретних відліках, узятих з частотою більш подвоєної максимальної частоти спектру />:
/>
де /> - верхня частота в спектрі, або (формулюючи по-іншому) по відліках, узятих з періодом />, частіше за напівперіод максимальної частоти спектру />
/>
Пояснення:
Таке трактування розглядає ідеальний випадок, коли сигнал почався нескінченно давно і ніколи не закінчиться, а також не має в тимчасовій характеристиці точок розриву. Саме це має на увазі поняття «спектр, обмежений частотою />».
Зрозуміло, реальні сигнали (наприклад, звук на цифровому носієві) не володіють такими властивостями, оскільки вони кінцеві за часом і, зазвичай, мають в тимчасовій характеристиці розриви. Відповідно, їх спектр безконечний. В такому разі повне відновлення сигналу неможливе і з теореми Котельникова витікають 2 слідства:
Будь-який аналоговий сигнал може бути відновлений з якою завгодно точністю по своїх дискретних відліках, узятих з частотою
/>
де /> - максимальна частота, якою обмежений спектр реального сигналу.
2. Якщо максимальна частота в сигналі перевищує половину частоти переривання, то способи відновити сигнал з дискретного в аналоговий без спотворень не існує.
Кажучи ширше, теорема Котельникова стверджує, що безперервний сигнал />можна представити у вигляді інтерполяційного ряду
/>
де /> - Інтервал дискретизації задовольняє обмеженням />Миттєві значення даного ряду є дискретні відліки сигналу />.
Згодом було запропоновано велике число різних способів апроксимації сигналів з обмеженим спектром, узагальнювальних теорему відліків. Так, замість кардинального ряду по sinc-функціям, що є характеристичними функціями прямокутних імпульсів, можна використовувати ряди по конечно або бесконечнократним сверткам sinc-функцій.
Наприклад, справедливо наступне узагальнення ряду Котельникова безперервної функції />з фінітним спектром />на основі перетворень Фур'є атомарних функцій:
/>
де параметри />задовольняють нерівності />, а інтервал дискретизації
/>
З неперервного сигналу s(t) = 10cos(2π800t)В беруться ідеальні відліки з частотою fВ = 400Гц. Отримані дискретні сигнали пропускаються через ідеальний ФНЧ з частотою зрізу 0,4fВ. Необхідно визначити сигнал, відновлений за допомогою фільтрації
/>
Схема включення ФНЧ (рис. 1).
/>
Рисунок 1 — Сигнал s(t) = 10cos(2π800t) В
/>
Рисунок 2 – Гармоніка
Балансна амплітудна модуляція
У амплітудно-модульованому (АМ) сигналі:
/>
значна доля потужності зосереджена в несучому коливанні />
Для ефективнішого використання потужності передавача можна формувати Ам-сигнали з пригніченим несучим коливанням, реалізовуючи так звану балансну амплітудну модуляцію (рис. 3).
/>
Рис. 3
Однотональний Ам-сигнал з балансною модуляцією має вигляд:
/>
Такий сигнал з фізичної точки зору є биттям двох гармонійних сигналів з однаковими амплітудами і частотами /> />і />Під час переходу тієї, що огинає биття через нуль фаза високочастотного заповнення стрибком змінюється на 180о, оскільки функція />має різні знаки справа і зліва від нуля. Здійснення балансної модуляції, як і зворотного процесу демодуляції (детектування), технічно складніше, ніж при звичайній амплітудній модуляції.
Задані параметри коливання з односмуговою АМ: А0= 25 В, Е = 1,5 В, θ0= π/4, γ = π/3, f0= 20 кГц, F = 4 кГц. Записати вираз для аналітичного сигналу і комплексної обвідної заданого коливання
uΩ(t)= UΩsinΩt
u(t) = Uωsinω0t + m Uω/2 sin(ω0+ Ω) t+ m Uω/2 sin(ω0— Ω) t
u(t) = (Uω + UΩ sinΩt) sinω0t
u(t) = (А0+ Еsin(f0t+ θ0) )sin (F t + γ ) =(25 + 1,5sin(20 t + π/4) )sin (2 t + π/3).