ОСНОВНІ ФІЗИЧНІ ПРОЦЕСИ В ОПТИЧНИХ ЛІНІЯХ ЗВ’ЯЗКУ
1. Розповсюдження електромагнітних хвиль в оптичних волокнах
Модель розповсюдження світла крізь обмежену структуру подібну до оптичного волокна в термінах геометричних променів представляє тільки приблизний опис ефектів розповсюдження в них. Цей підхід добре діє поки характерний розмір поперечного перетину волокна як діаметр серцевини (2а, де а-радіус серцевини) великий у порівнянні з довжиною хвилі (l), що розповсюджується в волокні, і відносна різниця індексів серцевини і оболонки не надто мала. Фактично, як а, так і D можуть бути з'єднані разом з l, щоб створити комплексний параметр, що називається нормалiзованою частотою (V-числом) волокна, що визначається, як
/>. (1)
Якщо число V-волокна більше 10, результати геометричної оптики, основаної на променевих траєкторіях, приводять до точних рішень для багатьох ефектів розповсюдження в оптичних волокнах. Для V£10, геометрична оптика не в змозі пояснити ефекти розповсюдження в волокнах, що й вимагає здійснити електромагнiтний аналіз, оснований на хвильовій оптиці, щоб дослідити ефекти розповсюдження. Для одержання загальної основи, що могла б бути застосована для будь-якого волоконного хвильоводу з довільним числом V, починають з рівняння Максвела і відтворюють так звані векторні хвильові рівняння [5, 6], що задовольняють електричному (/>) та магнiтному (/>) полю векторів світлової хвилі:
/>, (2)
/>, (3)
де e=e0n2, e0є значенням e для вільного простору, n — показник заломлення, ε — />діелектрична проникність волокна і m0 — магнитна проникність для вільного простору, що по значенню така як і в волокні, при припущенні, що волокно не є немагнетиком. Перша форма розподілу індексу заломлення, запропонована для оптичного волокна, являє собою профiль, в якому поза серцевиною з показником заломлення n1 (діаметр 2а) знаходиться однорідна оболонка з показником заломлення n2; так, що можна алгебраїчно представити профіль показника заломлення (ППЗ) як:
/>. (4)
Волокна з профілем, аналогічним (4) відомі як волокна зі східчастим ППЗ. Для такого однорідного середовища член Ve дорівнюватиметься 0 як в серцевині, так і в оболонці, і в кожній з цих областей кожна декартовська компонента електричного та магнiтного поля буде задовольняти рівнянню
/>. (5)
Воно відоме як скалярне хвильове рівняння, де Y представляє будь-яку з декартовських компонент полів />та />. Оскільки n є незалежним від z, рішення рівняння може, взагалі, бути записано так:
Y(r,j,z,t)=y(r,j)exp( i [wt-bz]), (6)
де напрямок розповсюдження — уздовж z, і b — поширена стала розповсюдження. Рівняння (6) допускає два вигляду рішень в (5) — перше, в якому поле експоненціальне зменшується з r, при якому r>а і осцилює всередині серцевини (r
/>. (7)
В (7) />– представляє суму дискретних направлених мод, тоді як інтеграл — безрозмірна сукупність радіаційних мод. Реальні значення bP будуть визначатися граничними умовами.
Ми можемо згадати, що в якісних волокнах телекомунікації відносна різниця показника заломлення оболонка-серцевина звичайно ніколи не перевищує 1-2%. Такі волокна що мають D
Так як для східчастого волокна, і залежить від r і лише від нього, тобто є цилiндрично симетричним, (5) записують в цилiндричнiй системі координат
/>, (8)
де />– хвильове число вільного простору.
Застосовуючи засіб розділення перемінних, тобто записуючи
/>, (9)
Рівняння (9) може бути вирішене окремо для своєї радіальної та азимутальної компонент. Азимутальна компонента може бути представлена
F(j)~exp(± i l j ), (10)
де l=0, 1, 2, 3… Радіальна частина Y задовольнить таким рівнянням
/>, r
/>, r³a. (12)
Рівняння (11), (12) — стандартна форма рівнянь Бесселя, які допускають чотири різноманітних типи циліндричних функцій: J1(x), Y1(x), та K1(x), I1(x) відповідно. Проте для полів мод кінцевих та обмежувальних серцевин і експоненціальне загасаючих в оболонці, можна обрати функцію Бесселя J1(x), як поширення (11) всередині серцевини і модифіковану функцію Бесселя K1(x), як рішення (12) всередині оболонки. Відповідно, рішення (11) і (12) можуть бути записані як:
/>, (13)
де />і />такі, що
/>(див. (2.1)). (14)
В записі (13) була використана безперервність Y, та EY була обрана як домінантна поперечна компонента електричного поля, тоді як при D
/>. (15)
Тепер, як уже встановлено D
/>, (16)
де (') — позначає диференціювання циліндричних функцій по їх аргументу. Використовуючи рекурентні рівняння, регулюючі функції Бесселя, і модифіковані функції Бесселя, як можна показати, зводиться до:
/>. (17)
Рівняння (17) — трансцендентальне рівняння, рішення якого в межах діапазону зазначеного (15) будуть визначати дискретні постійні поширення для різноманітних направлених мод.
Тут треба визначити, що при більш точному наближенні слідувало б вирішити (5) в циліндричних полярних координатах для y (=EZ) і одержати Er (та Hr) і Ej (також і Hj) через EZ і HZ із замкнутих рівнянь Максвела шляхом переписання їх компонентів в циліндричних координатах. Після цього, вважаючи безперервність EZ(HZ) та Ej(Hj), які є тангенціальними компонентами, при заміні (16), результат в наступному трансцендентальному рівнянні для b був би:--PAGE_BREAK--
/>, (18)
де (') — диференціювання по аргументу функцій. Такий висновок (18) не включає будь-яких наближень в собі. Проте, якщо застосовуються слабко направлені умови, а саме Dв рівнянні (17)), таким чином підтверджуючи наші більш ранні припущення про те, що в слабко направлених волокнах моди практично лінійно поляризовані з електричним полем вздовж осей X та Y. Рівняння (17) — апроксимована форма точного рівняння (18) для певних постійних поширення різноманітних мод за умови D
2 Режими роботи оптичних волокон
Графік 1 показує залежність нормалізованих постійних поширення b від V, b визначається як:
/>, (19)
так що для спрямованих мод, умова (15) може бути переписана:
1³ b³ 0. (20)
На нижній межі b=0: b=kon2є тільки постійною поширення плоскої хвилі в невизначеному однорідному середовищі з індексом n2(нескінченно однорідному середовищі). За визначенням мода, як кажуть має відсічку, тобто припиняє поширюватися як направлена мода, якщо її b=kon2. При b=kon2, W стає рівним 0, також при b
b=kn2ÞW=0. (21)
/>
Рисунок 1 – Залежність відносної постійної розповсюдження b од V для різних LPlm мод: b=(b2/ k2— n22) / (n12— n22) і V=ak(n12— n22)0,5
Таким чином стає відомою умова відсічки моди. В межах W®0 для моди нижчого порядку (відповідає l=0), (17) показує, що частота відсічки (Vc) цієї моди дає перший корінь рівняння:
/>, (22)
в той час як для наступної моди, частота відсічки дала б перший корінь:
/>, (23)
де Vc представляє величину V при відсіканні моди (W=0 для відсічки моди, його параметри: U=V=VC). Так як нулі I1(x) та I(x), відповідно, мають місце при VС=0; 3.8317; 7.0456; і при VC=2.4048; 5.5201; 8.6537;…, моди, які мають VC=0; 2.4048; 3.8317;… відповідно позначаються як LP01, LP11; LP02…моди. Позначення LPlmвитікає з факту, що ці моди лінійно поляризовані. Індекс l позначає l-й порядок функції Бесселя, який визначає умову відсічки для відповідного порядку моди, що пов'язаний із азимутальною періодичністю, тоді як m (яке — також ціле число) визначає послідовні корені відповідної функції Бесселя. Фізично 1 представляє номер пучності або півцикла, в той час як m є числом радіальних пучностей в структурі поля моди. У прикладі були зображені модові структури двох LPlmмод порівняно високого порядку (рисунок 2) — у їх вигляді на фотографії. Тут можна визначити, що, на практиці, вкрай важко одержати експериментально моду відносно високого порядку, зокрема в багатомодовому волокні, і забезпечити її поширення вздовж волокна великої довжини. Все тому, що будь-яка мала неоднорідність вздовж довжини волокна (геометрична недосконалість, неоднорідність і т. п.) викликають перекачку енергії від однієї моди до інших при поширенні.
/>
Рисунок 2 – Схематичне представлення структури напруженості поля моди для мод: a – LP41та (б) LP82..
Внаслідок цього, коли багатомодове волокно збуджується, наприклад, He-Ne лазером, все, що спостерігається на вихідному кінці, представляє, по суті, суперпозицію різноманітних модових структур. Тільки в разі, якщо волокно настільки визначено, що його постійна V лежить в межах 0
0
Ця умова може бути використана для одержання проектних настанов, наприклад, вибору а та Dдля одержання одномодового стану при конкретному l. Тоді, щоб стримати втрати розсіяння на добавках в волокні у прийнятно низьких величинах, Dзвичайно не повинно перевищувати 0.003%, щоб задовольняти умові (24) для одномодового ефекту; діаметр серцевини (2а) треба зробити 4-6 мкм в першому поколінні довжин хвиль ~0.8 мкм, 8-10 мкм в 2-му і 3-му поколінні довжин хвиль ~1.3 мкм. Умова (24) також часто навпаки виражається через довжину хвилі відсічки, що визначається як:
/>. (25)
При будь-який l>>lCдля конкретного волокна, може підтримуватися тільки LP11мода, бо другий, більш високий порядок моди, а саме, LP11мода і всі наступні моди більш високого порядку будуть мати відсічку, тобто будуть відсутні в волокні. В цьому розумінні концепція lCдуже важлива, бо вибір lC, що реально диктується такими передумовами, як низькі втрати при передачі, якість ширини смуги пропускання в вікні довжин хвиль, довжина хвилі, на якій піки ефективності джерела та детектору співпадають і т. д. — максимально визначить а та D.
Для того, щоб одержати точне значення потужності, що переноситься різноманітними модами, треба, по суті, розрахувати z-компоненти вектору Пойнтінгу, зв'язані з кожною модою і проiнтегрувати їх по поперечному перетину волокна. Шляхом простої алгебри можливо показати, що в слабко направляючому волокні частини енергії (потужності), що переносяться спрямованою модою в серцевині та оболонці, будуть, відповідно:
hсердц=Pсердц / Ptotal =1-(U2/ V2)(1-k), (26)
hclad=Pclad / Ptotal= U2(1-k) / V2, (27)
де />.
Ці рівняння ясно показують, що далеко від відсічки поки W буде відносно великою величиною, більшість з спрямованої потужності буде розташовуватися в серцевині. З іншого боку біля відсічки, W
hcore@1-(1+l2)-0,5, (28)
hclad@(1+l2)-0,5. (29)
Таким чином, для мод з l=0 більшість потужності буде витікати через оболонку, що невірно для мод з l>>1.