продолжение
Добавить реферат в свой блог или сайт--PAGE_BREAK--1.2 Построение частотных характеристик исходной САУ
Построение частотных характеристик выполняется в среде MathCAD.
1.2.1 Частотные характеристики разомкнутой исходной системы.
Амплитудно-фазо-частотная характеристика.
ω ∈(0; 1000)
Рисунок 1.2.1.1 — АФЧХ разомкнутой системы
Таблица 1.2.1.1 — Данные для построения АФЧХ разомкнутой системы
Амплитудно-частотная характеристика.
ω ∈(0; 10)
Рисунок 1.2.1.2 — АЧХ разомкнутой системы
Таблица 1.2.1.2 — Данные для построения АЧХ разомкнутой системы
Фазо-частотная характеристика.
ω ∈(0; 100)
Рисунок 1.2.1.3 — ФЧХ разомкнутой системы
Таблица 1.2.1.3 — Данные для построения ФЧХ разомкнутой системы
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.
ω ∈(0,1; 1000)
Рисунок 1.2.1.4 — ЛАЧХ разомкнутой системы
Таблица 1.2.1.4 — Данные для построения ЛАЧХ разомкнутой системы
Логарифмическая фазо-частотная характеристика.
ω ∈(0,1; 1000)
Рисунок 1.2.1.5 — ЛФЧХ разомкнутой системы
Таблица 1.2.1.5 — Данные для построения ЛФЧХ разомкнутой системы
продолжение
--PAGE_BREAK--1.2.2 Частотные характеристики замкнутой исходной системы.
Амплитудно-фазо-частотная характеристика.
ω ∈(0; 1000)
Рисунок 1.2.2.1 — АФЧХ замкнутой системы
Таблица 1.2.2.1 — Данные для построения АФЧХ замкнутой системы
Амплитудно-частотная характеристика.
ω ∈(0; 100)
Рисунок 1.2.2.2 — АЧХ замкнутой системы
Таблица 1.2.2.2 — Данные для построения АЧХ замкнутой системы
ω
1
20
30
40
5
6
8
100
Uз(ω)
5
4.798
3.251
1.692
0.922
0.548
0.350
0.166
0.091
Фазо-частотная характеристика.
ω ∈(0; 100)
Рисунок 1.2.2.3 — ФЧХ замкнутой системы
Таблица 1.2.2.3 — Данные для построения ФЧХ замкнутой системы
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.
ω ∈(0.1; 1000)
Рисунок 1.2.2.4 — ЛАЧХ замкнутой системы
Таблица 1.2.2.4 — Данные для построения ЛАЧХ замкнутой системы
Логарифмическая фазо-частотная характеристика.
ω ∈(0,1; 1000)
Рисунок 1.2.2.5 — ЛФЧХ замкнутой системы
продолжение
--PAGE_BREAK--
Таблица 1.2.2.5 — Данные для построения ЛФЧХ замкнутой системы
1.3 Анализ устойчивости САУ. 1.3.1 Критерий Михайлова.
Для построения годографа Михайлова, необходимо представить характеристическое уравнение передаточной функции замкнутой системы в комплексной форме, заменив переменную sна j
·ω, и разбив получившееся представление на вещественную и мнимую части. Эта операция производилась на этапе разбиения передаточной функции замкнутой системы на вещественную и мнимую, поэтому, воспользуемся её результатами:
— вещественная часть;
— мнимая часть.
Теперь, строим годограф Михайлова на комплексной плоскости:
ω ∈(0; 100)
Рисунок 1.3.1.1 — годограф Михайлова
Таблица 1.3.1.1 — Данные для построения годографа Михайлова
ω
2
10
20
4
60
100
400
1000
Cз(ω)
2
1.968
1.2
-1.2
-10.8
-26.8
-78
-1278
-7998
Dз(ω)
0.359
1.704
2.832
1.056
-9.936
-78
-6072
-95820
Вектор Михайлова повернулся вокруг начала координат в положительном направлении и ушёл в бесконечность в третьем квадранте, что соответствует порядку характеристического уравнения, а это значит, что, согласно критерию Михайлова, система является устойчивой.
1.3.2 Критерий Гурвица.
Характеристическое уравнение передаточной функции замкнутой системы:
.
Коэффициенты характеристического уравнения для определителя Гурвица нумеруем соответственно показателям степени переменной при них:
a0=2; a1=0,18; a2=0,008; a3=0,000096;
ОпределительГурвица:
Подставляя полученные значения, вычисляем его:
Главный определитель Гурвица положителен. Аналогично исследуем все оставшиеся миноры.
Учитывая положительность всех диагональных миноров, заключаем устойчивость системы.
продолжение
--PAGE_BREAK--1.3.3 Критерий Рауса.
Характеристическое уравнение передаточной функции замкнутой системы:
.
Коэффициенты характеристического уравнения для таблицы Рауса нумеруем соответственно показателю степени переменной при них:
a0=2; a1=0,18; a2=0,008; a3=0,000096;
Таблица1.3.1 — ТаблицаРауса.
Так как все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительны, можно сделать вывод об устойчивости замкнутой системы.
1.3.4 Критерий Найквиста.
Здесь используется АФЧХ разомкнутой системы:
Рисунок 1.3.4.1 — годограф Найквиста
При стремлении частоты в бесконечность, годограф приходит в начало координат, закручиваясь по часовой стрелке, и не охватывает точку с координатами (–1; j0), что свидетельствует об устойчивости как разомкнутой, так и замкнутой системы.
Все критерии оценки устойчивости показали, что система устойчива и в замкнутом, и в разомкнутом состоянии.
1.3.5 Построение области устойчивости САУ.
Характеристическое уравнение замкнутой системы с общим коэффициентом усиления, принятым переменным (k), имеет вид:
Выполним преобразование :
D-разбиение в плоскости одного параметра выполняется исходя из условия равенства нулю действительной части характеристического уравнения (полюс на мнимой оси, что соответствует колебательной границе устойчивости системы). Однако, для наглядности представления, график D-разбиения строится на комплексной плоскости. Также, для удобства и наглядности, при построении D-разбиения, учитывают как положительные, так и отрицательные значения частот.
В данном случае, характеристическое уравнение решается относительно коэффициента усиления k:
Действительная часть:
Мнимая часть:
На графике D-разбиения наносится штриховка в сторону устойчивой области.
Рисунок 1.3.5.1 — D-разбиение
Таблица 1.3.5.1 — Данные для построения D-разбиения
ω
2
1
15
20
25
30
40
45
50
60
Ud(ω)
-10
-8
-2
8
22
40
62
118
152
190
278
Vd(ω)
-8.88
-17.04
-23.76
-28.3
-30
-28.1
-10.56
6.48
30
99.4
Как видно, вся плоскость по параметру Kразбивается на три зоны, разделяемые точками на оси Ud(ω) с абсциссами:
Первая область — (–∞; –10);
вторая область — (–10; 190,666667);
третья область — (190,666667; +∞).
Так как исходный коэффициент усиления системы, равный 10, находится во второй области устойчивости, можно заключить, что это — область, в которой данная САУ будет устойчива, и штриховку вдоль кривой, описанной графиком D-разбиения, следует нанести в сторону этой области.
1.4 Построение переходного процесса системы методом трапеций
Выполняем построение вещественной частотной характеристики замкнутой системы (рис. 1.4.1).
Рисунок 1.4.1 — ВЧХ замкнутой САУ.
Таблица 1.4.1 — Данные для построения АФЧХ замкнутой системы
Разбиваем ВЧХ на три трапеции.
Рисунок 1.4.2 — Разбивка ВЧХ на трапеции.
Синим цветом выделен контур первой трапеция, зелёным – второй, розовым – третьей.
Определяем параметры трапеций: высоту и частоты начала и окончания наклонной стороны ( и соответственно).
Для наглядности, совместим трапеции основаниями с осью частот.
Рисунок 1.4.3 — Трапеции, совмещённые по оси частот.
На основании полученных результатов, строим таблицу.
Таблица 1.4.2 — Параметры трапеций
1 трапеция
2 трапеция
3 трапеция
Wd =
1.25
Wп =
25
Wd =
25
Wп =
50
Wd =
50
Wп =
100
Х =
0,05
R0 =
6.67
Х =
0,5
R0 =
-1.13
Х =
0,50
R0 =
-0,54
В таблице h-функций находим соответствующую каждому функцию. Искомую составляющую получаем из этой функции путём умножения ординат на величину. Время получаем как частное от деления величины на. ;.
Таблица 1.4.3 — Значения для построения переходного процесса.
t табл,
h табл,
t
h1(t)
t табл,
h табл,
t
h2(t)
t табл,
h табл,
t
h2(t)
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,5
0,1760
0,0200
1,1733
0,5
0,2400
0,0100
-0,2704
0,5
0,2400
0,0050
-0,1296
1
0,3400
0,0400
2,2667
1
0,4610
0,0200
-0,5194
1
0,4610
0,0100
-0,2489
1,5
0,4940
0,0600
3,2933
1,5
0,6650
0,0300
-0,7492
1,5
0,6650
0,0150
-0,3591
2
0,6280
0,0800
4,1867
2
0,8330
0,0400
-0,9385
2
0,8330
0,0200
-0,4498
2,5
0,7390
0,1000
4,9267
2,5
0,9670
0,0500
-1,0895
2,5
0,9670
0,0250
-0,5222
3
0,8280
0,1200
5,5200
3
1,0610
0,0600
-1,1954
3
1,0610
0,0300
-0,5729
3,5
0,8920
0,1400
5,9467
3,5
1,1150
0,0700
-1,2562
3,5
1,1150
0,0350
-0,6021
4
0,9380
0,1600
6,2533
4
1,1420
0,0800
-1,2867
4
1,1420
0,0400
-0,6167
4,5
0,9600
0,1800
6,4000
4,5
1,1380
0,0900
-1,2821
4,5
1,1380
0,0450
-0,6145
5
0,9770
0,2000
6,5133
5
1,1170
0,1000
-1,2585
5
1,1170
0,0500
-0,6032
5,5
0,9860
0,2200
6,5733
5,5
1,0920
0,1100
-1,2303
5,5
1,0920
0,0550
-0,5897
6
0,9820
0,2400
6,5467
6
1,0510
0,1200
-1,1841
6
1,0510
0,0600
-0,5675
6,5
0,9800
0,2600
6,5333
6,5
1,0180
0,1300
-1,1469
6,5
1,0180
0,0650
-0,5497
7
0,9790
0,2800
6,5267
7
0,9930
0,1400
-1,1188
7
0,9930
0,0700
-0,5362
7,5
0,9800
0,3000
6,5333
7,5
0,9740
0,1500
-1,0974
7,5
0,9740
0,0750
-0,5260
8
0,9850
0,3200
6,5667
8
0,9660
0,1600
-1,0884
8
0,9660
0,0800
-0,5216
8,5
0,9890
0,3400
6,5933
8,5
0,9660
0,1700
-1,0884
8,5
0,9660
0,0850
-0,5216
9
0,9970
0,3600
6,6467
9
0,9700
0,1800
-1,0929
9
0,9700
0,0900
-0,5238
9,5
1,0040
0,3800
6,6933
9,5
0,9750
0,1900
-1,0985
9,5
0,9750
0,0950
-0,5265
10
1,0090
0,4000
6,7267
10
0,9820
0,2000
-1,1064
10
0,9820
0,1000
-0,5303
10,5
1,0130
0,4200
6,7533
10,5
0,9870
0,2100
-1,1120
10,5
0,9870
0,1050
-0,5330
11
1,0150
0,4400
6,7667
11
0,9970
0,2200
-1,1233
11
0,9970
0,1100
-0,5384
11,5
1,0160
0,4600
6,7733
11,5
0,9970
0,2300
-1,1233
11,5
0,9970
0,1150
-0,5384
12
1,0150
0,4800
6,7667
12
0,9970
0,2400
-1,1233
12
0,9970
0,1200
-0,5384
12,5
1,0130
0,5000
6,7533
12,5
0,9970
0,2500
-1,1233
12,5
0,9970
0,1250
-0,5384
13
1,0120
0,5200
6,7467
13
0,9970
0,2600
-1,1233
13
0,9970
0,1300
-0,5384
13,5
1,0110
0,5400
6,7400
13,5
0,9980
0,2700
-1,1244
13,5
0,9980
0,1350
-0,5389
14
1,0110
0,5600
6,7400
14
1,0000
0,2800
-1,1267
14
1,0000
0,1400
-0,5400
14,5
1,0120
0,5800
6,7467
14,5
1,0020
0,2900
-1,1289
14,5
1,0020
0,1450
-0,5411
15
1,0120
0,6000
6,7467
15
1,0050
0,3000
-1,1323
15
1,0050
0,1500
-0,5427
15,5
1,0140
0,6200
6,7600
15,5
1,0080
0,3100
-1,1357
15,5
1,0080
0,1550
-0,5443
16
1,0150
0,6400
6,7667
16
1,0110
0,3200
-1,1391
16
1,0110
0,1600
-0,5459
16,5
1,0160
0,6600
6,7733
16,5
1,0110
0,3300
-1,1391
16,5
1,0110
0,1650
-0,5459
17
1,0160
0,6800
6,7733
17
1,0120
0,3400
-1,1402
17
1,0120
0,1700
-0,5465
17,5
1,0150
0,7000
6,7667
17,5
1,0090
0,3500
-1,1368
17,5
1,0090
0,1750
-0,5449
18
1,0150
0,7200
6,7667
18
1,0080
0,3600
-1,1357
18
1,0080
0,1800
-0,5443
18,5
1,0150
0,7400
6,7667
18,5
1,0060
0,3700
-1,1334
18,5
1,0060
0,1850
-0,5432
19
1,0150
0,7600
6,7667
19
1,0010
0,3800
-1,1278
19
1,0010
0,1900
-0,5405
19,5
1,0140
0,7800
6,7600
19,5
0,9980
0,3900
-1,1244
19,5
0,9980
0,1950
-0,5389
20
1,0130
0,8000
6,7533
20
0,9960
0,4000
-1,1222
20
0,9960
0,2000
-0,5378
20,5
1,0120
0,8200
6,7467
20,5
0,9950
0,4100
-1,1210
20,5
0,9950
0,2050
-0,5373
21
1,0110
0,8400
6,7400
21
0,9950
0,4200
-1,1210
21
0,9950
0,2100
-0,5373
21,5
1,0110
0,8600
6,7400
21,5
0,9960
0,4300
-1,1222
21,5
0,9960
0,2150
-0,5378
22
1,0110
0,8800
6,7400
22
0,9960
0,4400
-1,1222
22
0,9960
0,2200
-0,5378
22,5
1,0110
0,9000
6,7400
22,5
0,9970
0,4500
-1,1233
22,5
0,9970
0,2250
-0,5384
23
1,0110
0,9200
6,7400
23
0,9980
0,4600
-1,1244
23
0,9980
0,2300
-0,5389
23,5
1,0100
0,9400
6,7333
23,5
0,9990
0,4700
-1,1255
23,5
0,9990
0,2350
-0,5395
24
1,0100
0,9600
6,7333
24
1,0000
0,4800
-1,1267
24
1,0000
0,2400
-0,5400
24,5
1,0090
0,9800
6,7267
24,5
1,0000
0,4900
-1,1267
24,5
1,0000
0,2450
-0,5400
25
1,0080
1,0000
6,7200
25
1,0000
0,5000
-1,1267
25
1,0000
0,2500
-0,5400
25,5
1,0080
1,0200
6,7200
25,5
1,0000
0,5100
-1,1267
25,5
1,0000
0,2550
-0,5400
26
1,0070
1,0400
6,7133
26
1,0000
0,5200
-1,1267
26
1,0000
0,2600
-0,5400
При помощи функции линейной интерполяции linterp, встроенной в математический пакет MathCAD, находим функции переходных характеристик, соответствующих каждой из трапеций, и производим их сложение.
Рисунок 1.4.4 — Графики переходных процессов замкнутой САУ:
h1(t) — переходная характеристика первой трапеции;
h2(t) — переходная характеристика второй трапеции;
h3(t) — переходная характеристика третьей трапеции;
H(t) — суммарная переходная характеристика.
продолжение
--PAGE_BREAK--