БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра радиотехнических систем

РЕФЕРАТ

На тему:

«Параметры кодов. Контроль, обнаружение и исправление ошибок»

МИНСК, 2008

1. Параметры кодов

Определение 1. Код - это множество дискретных сигналов, выбранное для передачи сообщений. Коды характеризуются следующими параметрами:

1 Основание кода - число элементов множества , выбранное для построения кода. Например, если:

а) , то для троичного кода;

б) для двоичного кода.

Практически .

Замечание - Эффективность каналов передачи (хранения) информации возрастает с переходом на недвоичные коды.

2 Длина кода (значность) - число символов кодового слова.

Определение 2. Последовательности элементов (символов) длиной называются кодовыми словами или кодовыми векторами. Говорят, что слово

имеет длину ; ,

Параметр определяет следующие особенности класса кодов. Коды бывают:

а) равномерные (блоковые), ;

б) неравномерные, ;

в) бесконечные, . К бесконечным относят коды:

свёрточные;

цепные;

непрерывные.

У равномерных (блоковых) кодов поток данных разделяется на блоки по информационных символов, и далее они кодируются - символьными кодовыми словами.

Для непрерывного кода поток данных разбивается на блоки длины , которые называются кадрами информационных символов. Эти кадры кодируются символами кодового слова (кадрами кодового слова). При этом кодирование каждого кадра информационных символов в отдельные кадры кодового слова производится с учетом предыдущих кадров информационных символов.

На рисунке 1.1 показаны структуры кодирования блоковыми и непрерывными кодами.

k-битовый n-битовый n-битовый k-битовый

блок блок блок блок

Блоковый код

k₀ битов/кадр n₀ битов/кадр n₀ битов/кадр k₀ битов/кадр

Непрерывный код

Рисунок 1.1

3 Размерность кода - число информационных позиций кодового слова.

4 Мощность кода - число различных кодовых последовательностей (комбинаций), используемых для кодирования.

- максимальное число кодовых комбинаций при заданных и . Например, ; ; .

Определение 3. Код, у которого используются все комбинации, называется полным (безизбыточным).

Определение 4. Если число кодовых слов кода , то код называется избыточным.

Пример - Пусть , , .

Код - избыточный; .

5 Число проверочных (избыточных) позиций кодового слова .

Пусть , , . Тогда на длине слова из семи символов - три избыточных.

6 Скорость передачи кода . Для приведенного примера .

7 Кратность ошибки . Параметр указывает, что все конфигурации из

или менее ошибок в любом кодовом слове могут быть исправлены.

8 Расстояние Хэмминга между двумя векторами (степень удаленности любых кодовых последовательностей друг от друга) .

Определение 5. Если и кодовые векторы, то расстояние Хэмминга равно числу позиций, в которых они различаются. Может обозначаться и как - . Например, ;.

Замечание - С позиции теории кодирования показывает, сколько символов в слове надо исказить, чтобы перевести одно кодовое слово в другое.

9 Кодовое расстояние (минимальное расстояние кода) .

Определение 6. Наименьшее значение расстояния Хэмминга для всех пар кодовых последовательностей кода называют кодовым расстоянием. , где ; ; .

Определение 7. Код значности , размерности и расстояния называется - кодом.

Пример - Можно построить следующий код:

; ; ; .

Данный код можно использовать для кодирования 2-битовых двоичных чисел,

используя следующее (произвольное) соответствие:

Найдем кодовое расстояние этого кода:

;

;

;

;

;

.

Следовательно, для этого кода .

Замечание - характеризует корректирующую способность кода .

10 Вес Хэмминга вектора равен числу ненулевых позиций , обозначается . Например, .

Используя определение веса Хэмминга, получим очевидное выражение (1.1)

Пример - ;

.

Из выражения (1.1) следует, что минимальное расстояние Хэмминга равно , где ; ; .

Замечание - Для нахождения минимального расстояния линейного кода не обязательно сравнивать все возможные пары кодовых слов. Если и принадлежат линейному коду , то - также является кодовым словом кода . Такой код является аддитивной группой (определена операция сложения) и, следовательно, , где и , т.е. справедлива теорема.

Теорема 1. Минимальное расстояние линейного кода равно минимальному весу ненулевых кодовых слов.

Т.к. , то возникает вопрос о величине , такой, чтобы код обеспечивал контроль ошибок, т.е. обнаружение и исправление ошибок.

2 Контроль ошибок

Кодовое слово можно представить в виде вектора с координатами в - мерном векторном пространстве. Например, для вектор находится в трёхмерном евклидовом пространстве, рисунок 1.2. Разрешенными для передачи выбраны вектора и .

X₀

1 0 0 1 1 0

1 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 0 X₁

0 0 1 0 1 1

X₂

Рисунок 1.2

Рисунок дает наглядную алгебраическую интерпретацию понятия “мощность кода”:

а) кодовые слова полного кода определяют - мерное пространство, состоящее из последовательностей (- трехмерное пространство, состоящее при из 8 последовательностей полного кода);

б) кодовые слова избыточного кода определяют подпространство (подмножество) - мерного пространства, состоящее из последовательностей.

Под воздействием помех происходит искажение отдельных разрядов слова. В результате разрешённые для передачи кодовые векторы переходят в другие векторы (с иными координатами) - запрещённые. Факт перехода разрешённого слова в запрещённое для передачи слово можно использовать для контроля за ошибками.

Возможна ситуация, когда разрешённый вектор переходит в другой разрешённый кодовый вектор: . В этом случае ошибки не обнаруживаются, и контроль становится неэффективным.

Из рассмотренной модели можно сделать следующий важный вывод: для

того чтобы передаваемые векторы можно было бы отличать друг от друга при наличии помех, необходимо располагать эти векторы в - мерном пространстве

как можно дальше друг от друга. Из этой же - мерной модели следует геометрическая интерпретация расстояния Хэмминга: - это число рёбер, которые нужно пройти, чтобы перевести один вектор в другой, т.е. попасть из вершины одного вектора в вершину другого.

2.1 Обнаружение и исправление ошибок

Стратегия обнаружения заключается в следующем. Декодер обнаруживает ошибку при априорном условии, что переданным словом было ближайшее по расстоянию к принятому слову. Покажем применение этого утверждения.

Пример 1. Пусть ; . Разрешенным для передачи является множество кодовых слов:

.

Очевидно, что код имеет . Любая одиночная ошибка трансформирует данное кодовое слово в другое разрешенное слово. Это случай безизбыточного кода, не обладающего корректирующей возможностью.

Пример 2. Пусть теперь подмножество разрешённых кодовых слов предоставлено в виде двоичных комбинаций с чётным числом единиц.

.

Заданный код имеет . Запрещенные кодовые слова представлены в виде подмножества :

.

Если , то ни одно из разрешенных кодовых слов (т.е. кода ) при одиночной ошибке не переходит в другое разрешённое слово этого же кода. Таким образом, код обнаруживает:

- одиночные ошибки;

- ошибки нечетной кратности (для - тройные).

Например, тройная ошибка кодового слова ; , переводит его в запрещенный вектор .

Вывод - В общем случае, при необходимости обнаруживать ошибки кратности кодовое расстояние кода должно быть

.

Пример 3. Пусть ; ; код задан векторами и .

При возникновении одиночных ошибок или множества векторов

кодовому слову соответствует следующее запрещенное подмножество

.

Кодовому слову соответствует запрещенное подмножество

==

Таким образом, коду - разрешенному для передачи подмножеств векторов соответствует два запрещенных подмножества векторов и :

=

= .

=

Стратегия исправления ошибок заключается в следующем:

- каждая из одиночных ошибок приводит к запрещенному кодовому слову того или иного запрещенного подмножества ( и );

- структура кодового запрещенного подмножества, относящаяся к соответствующему исходному разрешенному подмножеству, позволяет определить местоположение ошибки, т.е. исправить ошибку.

Для исправления ошибок кратности кодовое расстояние должно удовлетворять соотношению . (1.2)

Используя эту формулу, можно записать

,

где обозначает целую часть числа .

Замечание - Существуют модели каналов (например, канал с дефектами), в которых величина может быть больше, чем в выражении (1.2).

ЛИТЕРАТУРА

· Митюхин А.И., Игнатович В.Г. Линейные групповые коды: Учеб. пособие. - Мн. :БГУИР, 2002.

· Митюхин А.И. Элементы абстрактной алгебры: Учеб.пособие. - Мн.: БГУИР, 2000.

· Лосев В.В. Помехоустойчивое кодирование в радиотехнических системах передачи информации: Метод. Пособие Ч.1. Линейные коды. - Мн.: ВШ, 2004.