Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.3

Задача 3. Найти дифференциал .

3.1.

dy= arcsin(1/x)dx-x/√(1-1/x2)* dx/x2+((1+x/√(x2-1))/(x+√(x2-1)))dx= arcsin(1/x)dx-dx/√(x2-1)+ ((x+√(x2-1))/ ((x+√(x2-1))√(x2-1)))dx= arcsin(1/x)dx-dx/√(x2-1)+ dx/√(x2-1)= arcsin(1/x)dx

3.2.

dy= dx/cos2(2arccos√(1-2x2))*(-2/√(1-√(1-2x2)))*(-2x/√(1-2x2))= 4xdx/ (cos2(2arccos√(1-2x2))*√ (1-2x2-√(1-2x2)))

3.3.

dy= dx/√(1+2x)-((1+1/√(2x+1))/(x+√(1+2x))))dx= dx/√(1+2x)-((√(2x+1)+1)/(√(2x+1)*(x+√(2x+1))))dx= ((x+√(2x+1)- √(2x+1)-1)/( √(2x+1)*(x+√(2x+1))))dx= ((x-1)/(x+√(2x+1)))dx

3.4.

dy=2xarctg√(x2-1)dx-x2dx/(1+x2-1)-xdx/√(x2-1)= 2xarctg√(x2-1)dx-dx-xdx/√(x2-1)

3.5.

dy= dx/√(1-1/(1+2x2))*4x/2√(1+2x2)3= 2xdx/√(2x2(1+2x2)3/(1+2x2))= 2xdx/((1+2x2)√( 2x2))= √2dx/(1+2x2)

3.6.

dy= ln│x+√(x2+3)│dx+xdx/(x+√(x2+3))*(1+x/√(x2+3))= ln│x+√(x2+3)│dx+ xdx/(x+√(x2+3))*(x+√(x2+3))/√(x2+3)= ln│x+√(x2+3)│dx+ xdx/√(x2+3)

3.7.

dy= (сhx/(1+sh2x)+сhxlnchx+sh2x/chx)dx

3.8.

dy= ((-1/√(1-(x2-1)2/2x4))*(2√2x3-2√2x3+2√2x)/2x4)dx= -2√2xdx/(√2x2√(x4+2x2-1))= 2dx/(x√(x4+2x2-1))

3.9.

dy=((-2cosxsinx-(4cos3xsinx)/(2√(1+cos4x)))/(cos2x+√(1+cos4x)))dx=

((-sin2x*√(1+cos4x)-sin2x*cos2x)/(cos2x*√(1+cos4x)+1+cos4x))dx

3.10.

dy=((1+x/√(1+x2))/(x+√(1+x2))-xarctgx/√(1+x2)- √(1+x2)/ (1+x2))dx=

(1/√(1+x2)-xarctgx/√(1+x2)-1/√(1+x2))dx= -xarctgxdx/√(1+x2)

3.11. .

dy=((1+x2-2x2lnx)/(x(1+x2))-(( 1+x2)/2x2)*((2x(1+x2)-2x3)/( 1+x2)2))dx=

((x+x3-2x3lnx)/(x(1+x2)2)-(( 1+x2)x)/(x2(1+x2)2))dx=

((x+x3-2x3lnx-x-x3)/(x(1+x2)2)dx= -2xlnxdx/(1+x2)2

3.12.

dy=((ex+ e2x/√( e2x-1))/( ex+√( e2x-1))+ex/√(1-e2x))dx=

(ex(ex+√( e2x-1))/((ex+√( e2x-1))√( e2x-1))+ ex/√(1-e2x))dx=

(ex/√(e2x-1)+ex/√(1-e2x))dx

3.13.

dy=(√(4-x2)-2x2/(2√(4-x2))+a/(2√(1-x2)))dx=((4-3x2)/√(4-x2)+a/(2√(1-x2)))dx

3.14.

dy=(1/(2tg(x/2)cos2(x/2))-(sinx-xcosx)/sin2x)dx=(1/(1-cosx)-(sinx-xcosx)/((1-cosx)(1+cosx)))dx=((1+cosx-sinx+xcosx)/(1-cos2x))dx

3.15.

dy=(2+(cosx-2sinx)/(sinx+2cosx))dx

3.16.

dy=(-1/(2√(ctgx)sin2x)-2tg2x/(6√(tg3x)cos2x))dx=((-cos4x*√(tg3x)-sin4x*√(ctgx))/(4cos4x*sin2x*√(ctgx*tg3x)))dx=((-cos4x*√(tg3x)-sin4x*√(ctgx))/(4cos3x*sin3x))dx=((-cos4x*tg2x-sin4x)/(4cos3x*sin3x*√(tgx)))dx=((-cos2x*sin2x-sin4x)/(4cos3x*sin3x*√tgx))dx=((-cos2x-sin2x)/(4cos3x*sinx*√tgx))dx=((-√ctgx)/(4cos3x*sinx))dx

3.17.

dy=((x/(x+√(x2+1)))*((2x(1+x/√(x2+1)-2(x+√(x2+1))))/(4x2)))dx=((x/(x+√(x2+1)))*((x√(x2+1)+x2-x√(x2+1)-x2-1)/x2))dx=-dx/(x2+x√(x2+1))

3.18.

dy=(1/3*3√((x-2)/(x+2))2*(x-2-x-2)(x-2)2)dx=(-4/(3(x-2)2)*3√((x-2)/(x+2))2)dx

3.19.

dy=((2x2-x2+1)/(x2(1+(x2-1)2/x2)))dx=((x2(x2+1))/(x2(x2+(x2-1)2)))dx=((x2+1)/(x4-x2+1))dx

3.20.

dy=(2x/(x2-1)+2x/(x2-1)2)dx=((2x3-2x+2x)/(x2-1)2)dx=(2x3/(x2-1)2)dx

3.21.

dy=(1/((1+(tg(x/2)+1)2)*(2cos2(x/2))))dx=(1/((1+tg2(x/2)+2tg(x/2)+1)*(2cos2(x/2))))dx=(1/(2(1+2sin(x/2)*cos(x/2)+1)))dx=dx/(4+2sinx)

3.22.

dy=((2+(2x+1)/√(x2+x))/(2x+2√(x2+x)+1))dx=((2√(x2+x)+2x+1)/(√(x2+x)*(2x+2√(x2+x)+))dx=dx/√(x2+x)

3.23.

dy=((-sin√x)/(2√xcos√x)+(tg√x)/(2√x)+√x/(2√xcos2√x))dx=((-sin√x)/(2√xcos√x)+(sin√x)/(2√xcos√x)+1/(2cos2√x))dx=((1+tg2x)/2)dx

3.24.

dy=(ex(cos2x+2sin2x)+ex(-2sin2x+4cos2x))dx=ex(cos2x+2sin2x-2sin2x+4cos2x)dx=5excos2xdx

3.25.

dy=((sinlnx-coslnx)+x((coslnx)/x+(sinlnx)/x))dx=(sinlnx-coslnx+coslnx+sinlnx)dx=2sinlnxdx

3.26.

dy=((e2√(x-1)/(2√(x-1)))*(1/√(x-1))+(√(x-1)-1/2)*e2√(x-1)*1/√(x-1))dx=(e2√(x-1)*(1/(2x-2)+1-1/(2√(x-1))))dx=(e2√(x-1)*((2x-1-√(x-1))/2x-2))dx

3.27.

dy=(-sinxlntgx+(cosx/tgx)*1/cos2x-1/(2tg(x/2)*cos2(x/2)))dx=(-sinxlntgx+cos2x/sinx-(1+tg2(x/2))/2tg(x/2))dx

3.28.

dy=(x/√(3+x2)-ln│x+√(3+x2)│-(x(1+x/√(3+x2)))/(x+√(3+x2)))dx=(x/√(3+x2)-ln│x+√(3+x2)│-(x(√(3+x2)+x))/((x+√(3+x2))√(3+x2))dx=(x/√(3+x2)-ln│x+√(3+x2)│-x/√(3+x2))dx=-ln│x+√(3+x2)│dx

3.29.

dy=(1/2√x-arctg√x-(1+x)/((1+x)*2√x))dx=(1/2√x-arctg√x-1/2√x)dx=-arctg√xdx

3.30.

dy=(arctgx+x/(1+x2)-(2x/√(1+x2))*1/(2√(1+x2)))dx=(arctgx+x/(1+x2)-x/(1+x2))dx=arctgxdx

3.31.

dy=(√(x2-1)+x/√(x2-1)+(1+x/√(x2-1))/(x+√(x2-1)))dx=(√(x2-1)+x/√(x2-1)+(x+√(x2-1))/(√(x2-1)(x+√(x2-1))))dx=(√(x2-1)+x/√(x2-1)+1/√(x2-1))dx=((x2-1+x+1)/√(x2-1))dx=(x2+x)dx/√(x2-1)