МинистерствоТоплива и Энергетики Украины
СЕВАСТОПОЛЬСКИЙНАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЯДЕРНОЙЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Практическое занятие №1
подисциплине
«ИспользованиеЭВМ в инженерных расчетах электротехнических систем»
Тема: ЭВМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MathCad В СРЕДЕ WINDOWS 98 ДЛЯИСПОЛЬЗОВАНИЯ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ В РАСЧЕТАХ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
Вариант№8
Выполнил: студент группыЭСЭ 22-В
Левицкий П.В.
Проверил:_______________________
Севастополь2008
ПЛАН
1. Данные вариантазадания
2. АЛГЕБРА МАТРИЦ
2.1 Установка шаблонов вектора и матрицы
2.2 Задание численных исимвольных элементов вектора и матрицы без применения шаблонов
2.3 Использование векторных и матричных операторови функций
2.3.1 Операции умножения и деления
а) умножение матрицы на скалярное число
б) умножение вектора на скалярное число
в) скалярное произведение двух векторов
г) умножение матрицы на вектор и матрицу
д) деление матрицы на скалярное число
2.3.2 Операции сложения
а) в символьном виде
б) в числовом виде
2.3.3 Транспонирование матриц и векторов
2.3.4 Вычисление нормы
2.3.5 Векторизация
2.3.6 Вычисление встроенных функцийвектора. Определение количества строк, столбцов, числа элементов вектора,индекс последнего элемента вектора, минимального и максимального элемента
2.3.7 Обращение
2.3.8 Определение следа
2.3.9 Определитель матрицы
2.3.10 Смена знаков у элементов матрицыи вектора
2.3.11 Задание комплексной матрицы иопределение комплексно-сопряженной матрицы. Выделение вещественных и мнимыхсоставляющих элементов матрицы и восстановление комплексной матрицы по заданнымматрицам из вещественных и мнимых элементов
2.3.12 Операции со строками и столбцамиматрицы
2.3.13 Объединение матрицы с вектором иматрицы с матрицей
2.3.14 Сортировка элементов вектора иматрицы
2.3.15 Разложение матрицы натреугольную, ортогональную
2.4 Использование матричных функций
2.4.1 Собственные значения и векторысобственных значений матрицы
2.4.2 Нахождение матрицы векторовсобственных значений матрицы
2.4.3 Приведение заданной матрицы кдиагональному виду
3. Выводы по работе
1.Данные варианта задания
Коэффициенты квадратнойматрицы А и вектора b
/>/>
Таблица1.Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b.
№
вар Ко э ф ф и ц и е н т ы к в а д р а т н о й м а т р и ц ы А и в е к т о р а b с и с т е м ы л и н е й н ы х а л г е б р а и ч е с к и х у р а в н е н и й
а11
а12
а13
а14
а21
а22
а23
а24
а31
а32
а33
а34
а41
а42
а43
а44
b1
b2
b3
b4 8 2,4 1,4 1,6 1,8 2,6 12 0,6 4,0 -0,8 0,85 0,1 0,2 0,4 1,2 1,0 1,5 0,1 0,2 -0,4 0,6
2.АЛГЕБРА МАТРИЦ
2.1 Установка шаблонов вектора и матрицы
Вводим пиктограмму с изображениемшаблона матрицы. Выбираем количество строк и столбцов. Вводим элементы матрицысогласно табл. 1.
/> -матрица />-вектор-столбец/>-вектор-строка
2.2 Заданиечисленных и символьных элементов вектора и матрицы
безприменения шаблонов
Индексвводится с помощью знака [ или с помощью панели векторов и матриц — значок Xn.
/> /> /> />
/> - вектор-столбец
/> /> /> />
/> /> -вектор-строка
Заданиенулевой матрицы: Задание единичной матрицы:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Таблица 2.Задание элементов матрицы.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Сопоставимэлементы матрицы с вариантом задания.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
2.3 Использование векторных и матричных операторов и функций
2.3.1 Операции умножения и деления
а)умножение матрицы на скалярное число
Произведениематрицы А на число /> (или числа /> на матрицу А)называется матрица С того же размера, что и А, элементы которой равныпроизведению соответствующих элементов матрицы А на число />.
С = А/>= />А = />
/>
/>
/>
б) умножение вектора на скалярное число
/>
/> />
в) скалярное произведение двух векторов.
Скалярным произведением двух векторовназывается число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.
/> /> /> />
г) умножение матрицы на вектор и матрицу.
/>
/>
/>
/>
4 столбца
произведение определено в случае />, т.е. когдачисло столбцов множимого равно числу строк множителя.
/>
/>
4 строки
При умножении единичной матрицы наматрицу А слева или справа получится матрица А:
/>
/>
/>
/>
д) деление матрицы на скалярное число
/>
2.3.2 Операции сложения.
а) в символьном виде
/>
/>
/>
/>
б) в числовом виде.
/>
/>
/>
/>
2.3.3 Транспонирование матриц и векторов
Пользуемся панелью векторов и матриц.Значок М/>или +.
/>
/>
/>
Вектор-столбец транспонирован в строку
Строки матриц транспонированы в столбцы.
/>
2.3.4 Вычисление нормы
В линейнойалгебре используются различные матричные нормы (norm), которые ставят всоответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику. Норма матрицыотражает порядок величины матричных элементов. В разных специфических задачахлинейной алгебры применяются различные виды норм. Mathcad имеет четыревстроенные функции для расчета разных норм квадратных матриц:
· norm1(A) — норма в пространстве L1;
· norm2(A) — норма в пространстве L2;
· norme(A) — евклидова норма (euclideannorm);
· normi (A) — max-норма, или норма (infinity norm);
o А —квадратная матрица.
/>
/>
/>
/>
2.3.5 Векторизация
Векторнаяалгебра Mathcad включает несколько необычный оператор, который называетсяоператором векторизации (vectorize operator). Этот оператор предназначен, какправило, для работы с массивами. Он позволяет провести однотипную операцию надвсеми элементами массива (т. е. матрицы или вектора), упрощая тем самым программированиециклов. Например, иногда требуется умножить каждый элемент одного вектора насоответствующий элемент другого вектора. Непосредственно такой операции вMathcad нет, но ее легко осуществить с помощью векторизации. Для этого: 1.Вводимвекторное выражение (символ умножения обозначает оператор скалярногопроизведения векторов). 2.Переместим курсор так, чтобы линии ввода выделяли всевыражение, которое требуется подвергнуть векторизации.3.Введём операторвекторизации, нажав кнопку Vectorize (Векторизация) на панели Matrix (Матрица),или сочетанием клавиш +, и , чтобы получитьрезультат.
/>
/>
или
/>
Операторвекторизации можно использовать только с векторами и матрицами одинаковогоразмера.
/>
Большинствонеспецифических функций Mathcad не требуют векторизации для проведения одной итой же операции над всеми элементами вектора. Например, аргументомтригонометрических функций по определению является скаляр. Если попытатьсявычислить синус векторной величины, Mathcad осуществит векторизацию поумолчанию, вычислив синус каждого элемента и выдав в качестве результатасоответствующий вектор.
2.3.6Вычисление встроенных функций вектора
Определение количества строк, столбцов,числа элементов вектора, индекс последнего элемента вектора, минимального имаксимального элемента вектора.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
2.3.7 Обращение
Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ееопределитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную поопределению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратнойматрицы нажмём кнопку Inverse (Обратная матрица) на панели инструментов Matrix(Матрица).
/>
/>
2.3.8 Определение следа
суммированиядиагональных элементов квадратной матрицы. Эту сумму называют следом (trace)матрицы. Данная операция организована в виде встроенной функции tr:
/>
· tr(A) — след квадратной матрицы А.
2.3.9 Определитель матрицы
Определитель (Determinant) матрицыобозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести операторнахождения определителя матрицы можно нажать кнопку Determinant (Определитель)на панели инструментов Matrix (Матрица) или набрать на клавиатуре (нажав клавиши +). В результате любого из этих действийпоявляется местозаполнитель, в который следует поместить матрицу.
/>
2.3.10 Смена знаков у элементов матрицы и вектора
/>
/>
2.3.11 Задание комплексной матрицы и определениекомплексно-сопряженной матрицы (ввести значок « ”»)
Выделение вещественных (Re) и мнимых (Im) составляющих элементовматрицы и восстановление комплексной матрицы по заданным матрицам извещественных и мнимых элементов.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Комплексно-сопряжённая матрица
/>
2.3.12 Операции со строками и столбцами матрицы
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Задание матрицы с помощью столбцов:
/>
/>
/>
/>
Вычитание столбцов и строк:
/>
/>
2.3.13 Объединение матрицы А с вектором В и матрицы А с матрицей А
Используем функцию augment дляобъединения массивов, имеющих размеры m x n и m x p (то есть одинаковое числострок), расположенных бок о бок, образуя массив размеров m x (n + p).
Чтобы объединить два массива, располагаяих друг над другом, ипользуется функция stack для объединения массивов, имеющихразмеры m x n и p x n (то есть одинаковое число столбцов), образуя массивразмеров (m + p) x n .
/>
/>
/>
2.3.14 Сортировка элементов вектора и матрицы
Часто бываетнужно переставить элементы матрицы или вектора, расположив их в определеннойстроке или столбце в порядке возрастания или убывания. Для этого имеютсянесколько встроенных функций, которые позволяют гибко управлять сортировкойматриц:
· sort(v)— сортировка элементов вектора в порядке возрастания ;
· csort(A,i)— сортировка строк матрицы выстраиванием элементов i-го столбца в порядкевозрастания;
· rsort(A,i)— сортировка столбцов матрицы выстраиванием элементов i-й строки в порядкевозрастания;
· reverse(v) — перестановка элементов вектора в обратном порядке;
o v —вектор;
o А —матрица;
o i —индекс строки или столбца.
Если элементы матриц или векторов комплексные, то сортировка ведется подействительной части, а мнимая часть игнорируется.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
2.3.15 Разложение матрицы на треугольную, ортогональную
LU-разложением матрицы А, или треугольным разложением, называется матричноеразложение вида P A=L U и, где L и U — нижняя и верхняя треугольные матрицы(нули выше диагонали и ниже), соответственно. P,A,L,U — квадратные матрицыодного порядка.
· lu(A)— LU-разложение матрицы;
o А —квадратная матрица.
Фактически,треугольное разложение матрицы системы линейных уравнений производится при еерешении численным методом Гаусса.
ФункцияLU-разложения выдает составную матрицу. Выделить матрицы P,L,U несложно припомощи встроенной функции submatrix.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
QR-разложениемматрицы А называется разложение вида A=Q R, где Q — ортогональная матрица, а R— верхняя треугольная матрица.
· qr(A)—QR-разложение;
o А —вектор или матрица любого размера.
Результатомдействия функции qr(A) является матрица L, составленная из матриц Q и R, соответственно. Чтобывыделить сами матрицы QR-разложения, необходимо применить функцию выделенияподматрицы submatrix.
/>
/>
/>
/>
/>
2.4 Использование матричных функций
2.4.1 Собственные значения и векторы собственных значений матрицы
а)Определение собственных значений с помощью характеристического уравнения
Пусть X и Y – векторы. А- квадратнаяматрица, оператор преобразования Х в Y. Часто бывают случаи, когда необходимо найтивектор ҳ и значение скаляра λ такие, что А· ҳ = λ·ҳ.Такое уравнение имеет решения в виде собственных значений λ1, λ2,…и соответствующих им собственных векторов x1, х2,… Значение скаляра λносит название собственных значений квадратной матрицы А. Его можно получить изхарактеристического уравнения матрицы А.
Характеристическоеуравнение матрицы имеет вид:
/>
Его корни: />называютсясобственными числами матрицы А.
Их суммаравна сумме диагональных элементов матрицы А (или следу матрицы А)
/>
Исходная /> матрица:
Функция identity (4) создаёт единичнуюматрицу размером 4*4
/>
/>
Находим корни характеристического уравнения:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
след сумма собственных чисел и матрицы
б)Определение вектора, элементами которого являются собственные значения матрицыс помощью функций Mathcad.
Для решениязадач на собственные векторы и собственные значения в Mathcad встроенонесколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы:
eigenvals(A) — вычисляет вектор, элементами которогоявляются собственные значения матрицы А; По умолчанию Mathcad отобразит три знакапосле запятой. Если необходимо увеличить точность собственных чисел матрицы, тонеобходимо воспользоваться командами: Format-Number главного меню и указать в окошечке Displayed Precision (3) желаемое числознаков после запятой (от 0 до 15).
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
2.4.2 Нахождение матрицы векторов собственных значений матрицы
а)Вычисление матрицы, содержащей нормированные собственныевекторы, соответствующие собственным значениям матрицы А
· eigenvecs(A)— вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующиесобственным значениям матрицы А;
o n-йстолбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-гособственного значения, вычисляемого eigenvals;
/>
/>
/>
/>
/>
для устранения ошибки округления увеличили точность до 8 знаковпосле запятой.
б)Вычислениесобственного вектора для матрицы А и заданного собственного значения λ
Даннуюфункцию применим к действительным собственным значениям.
/>
/>
Проверкаправильности нахождения собственных векторов и собственных значений приведенадля значения λ0. Причем проверка правильности выражения Ах=λхпроведена дважды — сначала на числовых значениях х и λ, а потом путемперемножения соответствующих матричных компонентов.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Вычислениесобственного вектора для матрицы А и λ3.
/>
Как мы видим,в этом случае собственные вектора и матрица собственных векторов матрицы А,имеют численные значения, отличающиеся знаками. Однако это не меняет общностипоставленной задачи, так как речь идёт о пространстве, в котором находятсясобственные вектора матрицы А.
2.4.3 Приведение заданной матрицы к диагональному виду
В Mathcadлегко создать матрицы определенного вида с помощью одной из встроенных функций,например:
· diag(v)— создаст диагональную матрицу, на диагонали которой находятся элементы вектораv;
Рассмотримвектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А.
/>
/>
/>
/>
Дляквадратной матрицы А часто бывает необходимо найти, если это возможно, такуюквадратную матрицу, чтобы выполнялось условие:
Р-1 ·А·Р= L
Здесь L представляет собойквадратную матрицу diag (λ1, λ2……. λn), где λ1, λ2…… λn являются собственнымизначениями матрицы А.
Найденнаявыше матрица Р содержит нормированные собственные векторы, соответствующиесобственным значениям матрицы А; n-й столбец вычисляемой матрицы соответствуетсобственному вектору n-го собственного значения.
/>
/>
Матрицавекторов собственных значений матрицы А приводит ее к треугольному виду:
/>
/>
/>
3.Выводы по работе
В результатевыполнения практической работы №1 были изученывозможности математического пакета MathCad всреде Windows сцелью дальнейшего использования матричной алгебры в инженерных расчетахэлектротехнических систем. Были изучены и повторены основные моменты теорииматриц. Изучены способы задания векторов и матриц в среде MathCad. Я научился работать с массивами, векторами и матрицами,применял векторные и матричные операторы и функции. Вторая по частотеприменения задача вычислительной линейной алгебры — это задача поискасобственных векторов и собственных значений матрицы. Для решения таких задач вMathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительныеалгоритмы. Применение матричных функций намного облегчает расчёты потеоретическим основам электротехники, теории автоматического управления идругим дисциплинам. Как оказалось, особенно просто в MathCad работатьс комплексными числами и полиномами высших порядков. Решение характеристическихуравнений выдаётся в виде векторов, которые можно далее преобразовывать спомощью матричной алгебры, представленной в MathCad.