/>СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Постановка задачи
2 Математические и алгоритмическиеосновы решения задачи
3 Функциональные модели иблок-схемы решения задачи
4 Программная реализация решения задачи
5 Пример выполненияпрограммы
Заключение
Список использованных источников и литературы
ВВЕДЕНИЕ
Функция – это термин, используемый в математике для обозначения такойзависимости между двумя величинами, при которой если одна величина задана, тодругая может быть найдена.
Обычнофункция (с 17 в.) задается формулой, выражающей зависимую переменную через однуили несколько независимых переменных. Например, площадь круга есть функция егорадиуса, и эта зависимость записывается формулой A = pr2; периметрпрямоугольника является функцией его длины и ширины или P = 2(l + w). Функциюможно изобразить графически, нанося точки, координатами которых служатнезависимые и зависимые переменные, на координатную плоскость (рисунок 1).
/>
Рисунок 1.График функции A = pr2 (площадь круга как функция радиуса).
Считалось,что график, подобный изображенному на рис. 2, не может быть графиком однойфункции, так как различные его части должны описываться различными формулами (y= x для x от 0 до 1; y = –x для x от 1 до 0; y = 2 – x для x от 1 до 2и т.д.). Каково же было удивление математиков, когда в начале 19 в. ониобнаружили, что график функции, изображенной на рисунке 2, в действительностиопределяется формулой
/>,
гдемноготочие указывает на то, что формула неограниченно продолжается аналогичнымобразом.
/>
Рисунок 2.График функции, представимой в виде бесконечного ряда.
Это открытиепривело к пересмотру определения функции. Согласно новому определению, подфункцией надлежит понимать любое правило, позволяющее находить одно число(значение зависимой переменной), если задано другое число или набор чисел(значений независимых переменных). Такое правило может быть выражено формулой,но это необязательно.
В настоящеевремя такое определение функции заменено более общим. Определение функции какправила, ставящего в соответствие значение зависимой переменной каждомузначению независимой переменной, не удовлетворяло, поскольку не определялофункцию как математический объект.
Функцииделятся на элементарные и неэлементарные.
Целью даннойкурсовой работы является ЛИСП-реализация вычисления неэлементарных функций.
1.Постановка задачи
Требуетсяреализовать вычисление неэлементарных функций.
Рассмотримпримеры неэлементарных функций и способов их вычисления:
1) гамма-функция Эйлера
G(x) =/>,
приположительном целом x:
Г (n) = (n — 1)! = 1·2… (n — 1).
Для x>0 гамма-функция получаетсяиз ее логарифма взятием экспоненты.
/>.
2) />;
3) />;
4) />.
Пример 1.
Вычислить гамма-функцииГ(5).
Решение:
Так как 5 –положительное целое число:
Г(5) =(5-1)!=4! = 24.
Ответ: 24.
Пример 2.
Вычислитьгамма-функции Г(0.5).
Решение:
Воспользуемсяформулой вычисления гамма функции для положительных x:
/>.
/>.
Ответ: />.
Пример 3.
Вычислить функцию/> при x=-5.
Решение:
/>.
Ответ: 5.
Пример 4.
Вычислитьфункцию />, при x=-2.
Решение:
Так как -2
/>.
Ответ: -8.
Пример 5.
Вычислитьфункцию />, при x=4.
Решение:
Так как 4> 0, следовательно
/>.
Ответ: 25.
2Математические и алгоритмические основы решения задачи
Функцияназывается элементарной, если она задана одной формулой посредством конечногочисла операций: сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции отфункции — над основными элементарными функциями.
К числуэлементарных функций относятся многочлены
/>,
логарифмическаяфункция, экспоненциальная функция, тригонометрические функции и их конечныекомбинации.
Примераминекоторых неэлементарных функций могут служить:
1) гамма-функция Эйлера
G(x) =/>,
обобщающаяфакториал целого числа на нецелые значения x; при положительных целых x функцияГ(x) сводится к (x – 1)!;
2) />;
3) />;
4) />.
Длявычисления гамма-функции используется аппроксимация логарифма гамма-функции.Сама же гамма вычисляется через него.
Дляаппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется формула (для комплексныхz) такого вида:
/>
/>.
Она похожа нааппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значенийg=5 и n=6, проверено, что величина погрешности eps не превышает />. Кроме того, погрешность не превышаетэтой величины на всей правой половине комплексной плоскости: Re z > 0.
Для получениядействительной гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентнаяформула Gam(z+1)=z*Gam(z) и вышеприведенная аппроксимация Gam(z+1). Также можнозаметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму.Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции – логарифма,а не двух – экспоненты и степени (последняя все равно использует вызовлогарифма), во-вторых, гамма-функция – быстро растущая для больших x, иаппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.
Дляаппроксимации LnGam() – логарифма гамма-функции – получается формула:
/>
/>
Значениякоэффициентов Ck являются табличными данными (Таблица 1).
Таблица 1.Значения коэффициентов Ckk C 1 2.5066282746310005 2 1.0000000000190015 3 76.18009172947146 4 -86.50532032941677 5 24.01409824083091 6 -1.231739572450155 7 0.1208650973866179e-2 8 -0.5395239384953e-5
Самагамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.
/>.
3Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
Функциональныемодели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 3-9.
Условныеобозначения:
§ X – параметр функции.
/>
Рисунок 3 –Функциональная модель решения задачи для функции GAMMA_LN_X
/>
Рисунок 4 –Функциональная модель решения задачи для функции FACTORIAL
/>
Рисунок 5 – Блок-схемарешения задачи для функции GAMMA_ALL_X
/>
Рисунок 6 – Функциональнаямодель решения задачи для функции GAMMA_INT
/>
Рисунок 7 – Функциональнаямодель решения задачи для функции ABS_FUNCTION
/>
Рисунок 8 –Функциональная модель решения задачи для функции FUNCTION1
/>
Рисунок 9 –Функциональная модель решения задачи для функции FUNCTION2
4Программная реализация решения задачи
; ФУНКЦИЯ Y=|X|
(DEFUN ABS_FUNCTION (X)
(ABS X)
)
; ФУНКЦИЯ Y=X^3 ПРИ X0
(DEFUN FUNCTION1 (X)
(IF (
(* X X X)
(+ X 2)
)
)
; ФУНКЦИЯ Y=X^2+2X+1 ПРИ X>0, Y=-3 ПРИ X=0, Y=2X ПРИ X
(DEFUN FUNCTION2 (X)
(COND
((> X 0) (+ (* X X) (* 2 X) 1))
((= X 0) -3)
((
)
)
; ФУНКЦИЯ РЕАЛИЗУЮЩАЯ ФАКТОРИЛ X
(DEFUN FACTORIAL (X)
(COND
((EQL X 0) 1)
((EQL X 1) 1)
(T (* X (FACTORIAL (- X 1))))
)
)
; ГАММА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
(DEFUN GAMMA_INT (X)
(FACTORIAL (- X 1))
)
; ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАММА ФУНКЦИИ ДЛЯ ЛЮБЫХ X
(DEFUN GAMMA_ALL_X (X)
(DECLARE (SPECIAL Y))
(DECLARE (SPECIAL GAM))
(DECLARE (SPECIAL J))
(DECLARE (SPECIAL RES))
(IF (> X 0)
(PROGN
(SETQ Y (+ X 2))
(SETQ GAM (* (SQRT (* 2 (/ PI Y))) (EXP (+ (* Y (LOG Y)) (-(/ (- 1 (/ 1 (* 30 Y Y))) (* 12 Y)) Y)))))
(SETQ RES (/ GAM (* X (+ X 1))))
)
; ИНАЧЕ
(PROGN
(SETQ J 0)
(SETQ Y X)
(DO
(())
((>= Y 0))
(SETQ J (+ J 1))
(SETQ Y (+ Y 1))
)
(SETQ GAM (GAMMA_ALL_X Y))
(DO
((I 0))
((>= I (- J 1)))
(SETQ GAM (/ GAM (+ X I)))
(SETQ I (+ I 1))
)
(SETQ RES GAM)
)
)
RES
)
; ЛОГАРИФМ ГАММА ФУНКЦИИ
(DEFUN GAMMA_LN (X)
(DECLARE (SPECIAL SER))
(DECLARE (SPECIAL L))
(DECLARE (SPECIAL CN))
(DECLARE (SPECIAL Y))
(DECLARE (SPECIAL CO))
; МАССИВ КОЭФФИЦИЕНТОВ
(SETQ CN '(2.5066282746310005 1.000000000019001576.18009172947146 -86.50532032941677 24.01409824083091
-1.231739572450155 0.1208650973866179e-2-0.5395239384953e-5))
(SETQ SER (CADR CN))
(SETQ L (CDDR CN))
(SETQ Y X)
(DO
((J 2))
((>= J 8))
(SETQ Y (+ Y 1))
(SETQ CO (CAR L))
(SETQ SER (+ SER (/ CO Y)))
(SETQ L (CDR L))
(SETQ J (+ J 1))
)
(SETQ Y (+ X 5.5))
(SETQ Y (- Y (* (+ X 0.5) (LOG Y))))
(SETQ Y (+ (* -1 Y) (LOG (* (CAR CN) (/ SER X)))))
)
; ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ ЕЕ ЛОГАРИФМ
; ДЛЯ НЕЦЕЛЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ X
(DEFUN GAMMA_LN_X (X)
(EXP (GAMMA_LN X))
)
; ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАММА ФУНКЦИИ
(DEFUN GAMMA (X)
(COND
((= X 0) 0)
; ЦЕЛОЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ
((AND (> X 0) (= (- X (FLOOR X)) 0)) (GAMMA_INT X))
; НЕ ЦЕЛОЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ
((AND (> X 0) (/= (- X (FLOOR X)) 0)) (GAMMA_LN_X X))
; ИНАЧЕ 0
(T (GAMMA_ALL_X X))
)
)
; РАССЧИТЫВАЕМ НЕЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ X
(DEFUN PRINT_RESULT (X)
(PRINT 'X OUTPUT_STREAM)
(PRINT X OUTPUT_STREAM)
(PRINT «Y=|X|» OUTPUT_STREAM)
(PRINT (ABS_FUNCTION X) OUTPUT_STREAM)
(PRINT «Y=X^3 IF X0»OUTPUT_STREAM)
(PRINT (FUNCTION1 X) OUTPUT_STREAM)
(PRINT «Y=X^2+2X+1 IF X>0, Y=-3 IF X=0, Y=2X IFX
(PRINT (FUNCTION2 X) OUTPUT_STREAM)
(PRINT «GAMMA(X)» OUTPUT_STREAM)
(PRINT (GAMMA X) OUTPUT_STREAM)
(PRINT '--------------------- OUTPUT_STREAM)
)
; ОТКРЫВАЕМ ФАЙЛ ДЛЯ ЧТЕНИЯ
(SETQ INPUT_STREAM (OPEN " D:\\INPUT_DATA.TXT":DIRECTION :INPUT))
; ПОЛУЧАЕМ ПАРАМЕТР ФУНКЦИИ
(SETQ X (READ INPUT_STREAM))
; ЗАКРЫВАЕМ ФАЙЛ
(CLOSE INPUT_STREAM)
; ОТКРЫВАЕМ ФАЙЛ ДЛЯ ЗАПИСИ
(SETQ OUTPUT_STREAM (OPEN «D:\\RESULT.TXT»:DIRECTION :OUTPUT))
; ПЕЧАТАЕМ РЕЗУЛЬТАТ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕЭЕЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
(MAPCAR 'PRINT_RESULT X)
; ЗАКРЫВАЕМ ФАЙЛ
(TERPRI OUTPUT_STREAM)
(CLOSE OUTPUT_STREAM)
; КОНЕЦ
5Пример выполнения программы
Пример 1.
/>
Рисунок 10 – Входныеданные. Параметры функций
/>
Рисунок 11 – Выходныеданные. Вычисление неэлементарных функций
Пример 2.
/>
Рисунок 12 –Входные данные. Параметры функций
/>
Рисунок 13 –Выходные данные. Вычисление неэлементарных функций
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проблема повышения качества вычислений, как несоответствие между желаемыми действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решениюбудет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается какв совершенствовании методов организации информационных процессов, так и ихреализации с помощью конкретных инструментов – сред и языков программирования.
Итогом работы можно считать созданную функциональную модель вычисления неэлементарныхфункций. Данная модель применима к функциям, если она незадана одной формулой посредством конечного числа операций: сложения,вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции — над основнымиэлементарными функциями.
Созданная функциональная модель реализации основных способов вычисления гаммафункции и ее программная реализация могутслужить органической частью решения более сложных задач.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ и литературы
1. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров иучащихся втузов [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.:Наука, 2007. – 708 с.
2. Вычислениегамма-функции и бета-функции [Электронный ресурс] – Режим доступа: www.cyberguru.ru/cpp-sources/algorithms/vytchislenie-gamma-funktsii-i-beta-funktsii.html
3. Гамма-функция– Википедия [Электронный ресурс] – Режим доступа: ru.wikipedia.org/wiki/Гамма_функция
4. Кремер,Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов. [Текст] /Н.Ш.Кремер, 3-е издание – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C. 412.
5. Семакин,И.Г. Основы программирования. [Текст] / И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. – М.: Мир,2006. C. 346.
6. Симанков,В.С. Основы функционального программирования [Текст] / В.С. Симанков,Т.Т. Зангиев, И.В. Зайцев. – Краснодар: КубГТУ, 2002. – 160 с.
7. Степанов,П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А.Степанов,А.В. Бржезовский. – М.: ГУАП, 2003. С. 79.
8. Хювенен Э. Мир Лиспа [Текст] / Э. Хювенен,Й. Сеппянен. – М.: Мир, 1990. – 460 с.