Федеральноеагентство по образованию РФ
ГОУ ВПО
«МосковскийГосударственный Текстильный Университет им. А.Н. Косыгина»
ФИТАЭ
Кафедраавтоматики и промышленной электроники
Курсоваяработа
Тема: «Синтезастатических систем»
Дисциплина: «ТеорияАвтоматического Управления»
Москва 2009
Исходные данные:
/>
ПИ-закон
1. По заданной системеуравнений получить передаточную функцию объекта управления и составитьструктурную схему замкнутой САУ, считая регулятор звеном с входной величиной Е,выходной U и передаточной функцией />
/>
/>
/>/>
/>
2. Выбрать регулятортаким образом, чтобы система обладала свойством астатизма по отношению кпостоянному задающему g(t) и возмущающему f(t) воздействию.
Для того чтобы системаобладала астатизмом необходимо выполнение условия – величина установившейсяошибки по заданию и возмущению должна быть равна 0. Проверим это условие нарегуляторах:
· Выбираем П – регулятор
/>
/>
Т.к. величинаустановившейся ошибки не равна нулю, то система не обладает астатизмом,, аследовательно считать ошибку по каналу f-E нетнеобходимости.
· Выбираем И –регулятор
/>
/>/>
Обе ошибки равны нулюследовательно система с И — регулятором является астатической. Данный регуляторнам подходит
· Проверим наш ПИ –регулятор
/>
/>
Система так же являетсяастатической, что является тем, что выбранный нами ПИ – регулятор подходит кусловию задания.
3. Найти область значенийпостоянной времени регулятора для И – закона управления, обеспечивающихустойчивость системы.
/>
Найдем передаточнуюфункцию замкнутой системы по каналу g-y и затем выделим еехарактеристическое уравнение.
/>
Характеристическоеуравнение Q(p):
/>
Уравнение 3 порядка,следовательно, для устойчивости системы необходимо чтобы произведениевнутренних коэффициентов характеристического уравнения было больше произведениявнешних коэффициентов.
/>
Следовательно областьзначений /> для И – закона можно определить интервалом />.
4. Для И – законарегулирования найти минимальную возможную величину установившейся ошибки, если g(t)=2t и f(t)=-3t.
Для определенияминимальной установившейся ошибки нам необходимо узнать при каком значениипостоянной времени система находится на границе устойчивости. Для этого отыщемпередаточную функцию и характеристическое уравнение системы с И – регулятором.И затем найдем значение />
/>
/>
/>
Находим значениепостоянной времени на границе устойчивости:
/>
Найдем величинуустановившейся ошибки при g(t)=2t и f(t)=-3t
/>
/>
Поскольку задающеевоздействие у нас g(t)=2t, то используя преобразование Лапласа получаем:
/>/>
тогда величинаустановившейся ошибки будет
/>
Подставляем полученноезначение /> и получаем
/>
Найдем ошибку по каналу f-E
/>
/>
Подставляем /> и получаем />
Тогда />
5. Построить, сиспользованием ЭВМ, область устойчивости, на плоскости, параметров регуляторапри использовании ПИ – закона, обосновать возможность и путь получениядопустимой установившейся ошибки при />и />.
Для построение областиустойчивости необходимо найти характеристическое уравнение передаточной функциидля данного регулятора.
/>
/>
Отсюда:
/>
Запишем условие, прикотором система находится на границе устойчивости:
/>
Выразим зависимость
/>от />
/>
Строим областьустойчивости по по лученной зависимости:
/>Ти Кп 0,01 4,00 0,02 1,50 0,03 0,67 0,04 0,25 0,05 0,00 0,06 -0,17 0,07 -0,29 0,08 -0,38 0,09 -0,44
Таким образом выбираязначения параметров регулятора над границей устойчивости – мы получаемустойчивую систему, и наоборот.
6. Вычислить значенияпараметров ПИ – регулятора, обеспечивающих устойчивость и установившуюся ошибкув системе = 0,06 при g(t)=2t и f(t)=0
/>
Поскольку возмущение f(t)=0, то />. Найдем />:
для этого найдемпередаточную функцию замкнутой системы по каналу g-E
/>
По условию />, тогда подставим это значение вполучившееся выражение:
/>
Таким образом дляполучения в системе установившейся ошибке равной 0,06 необходимо задатьпараметру постоянной времени значение 0,03.
7. Для интегральногозакона регулирования и начальных условий />,выбрать оптимальное значение постоянной времени регулятора по критерию: /> (Рассматривается движениев системе при g(t)=f(t)=0 и ненулевых начальных условиях).
Для решения мы будемиспользовать метод Мондельштама. Для этого нам необходимо найти передаточнуюфункцию замкнутой системы и взять характеристическое уравнение:
/>
Получаем уравнение:
/>
Поочередно умножаем егона /> и на Е
/>
Интегрируем полученноеуравнение по частям
/>
Получаем:
/>
/>
Интегрируем полученноеуравнение по частям
/>
Получаем:
/>
Из полученных уравненийсоставим систему уравнений:
/>
/>
Выбираем />=1,054
8. Для найденного впункте 7 значения постоянной времени регулятора построить с помощью ЭВМвещественную частотную характеристику P(ω), приняв входным воздействием g(t) и входной координатой E(t)/
Для нахождения вещественнойхарактеристики нам понадобится передаточная функция замкнутой системы по каналуg-y.
/>
Перейдем в частотнуюобласть p=jω:
/>
Домножаем на сопряженноезнаменателю число и получаем:
/>
Отделяем действительнуючасть U(ω):
/>
При />=1,054
/>
/>w p(w) 1 0,1 1,010058 0,2 1,039191 0,3 1,079471 0,4 1,099022 0,5 0,997092 0,6 0,58593 0,7 -0,06976 0,8 -0,48243 0,9 -0,56794 1 -0,5208 1,1 -0,44696 1,2 -0,3782 1,3 -0,32081 1,4 -0,27428 1,5 -0,23666 1,6 -0,20606 1,7 -0,18095 1,8 -0,16013 1,9 -0,14269 2 -0,12796 2,5 -0,08003 3 -0,05481 3,5 -0,03991 4 -0,03037 4,5 -0,02389 5 -0,01929 5,5 -0,0159 6 -0,01334
/>
9. По вещественнойхарактеристике P(ω) пункта 8 построить переходнойпроцесс E(t) при единичном ступенчатом изменении g(t) и нулевых начальных условиях методом трапециидальныхчастотных характеристик.
Для построения переходногопроцесса нам необходимо разбить получившуюся вещественную характеристику натрапеции и построить переходный процесс для каждой из полученных трапеций. R(0) Wo Wd æ I - 0,099021688 0,38 0,1 0,263158 II + 1,666965285 0,88 0,43 0,488636 III - 0,567943597 6 0,95 0,158333
/>
1-я трапецияt табл h(æ) t=t табл/Wo h=R(0)*h(æ) 0,5 0,199 1,315789474 -0,019705316 1 0,386 2,631578947 -0,038222372 1,5 0,56 3,947368421 -0,055452145 2 0,709 5,263157895 -0,070206377 2,5 0,833 6,578947368 -0,082485066 3 0,928 7,894736842 -0,091892127 3,5 0,994 9,210526316 -0,098427558 4 1,039 10,52631579 -0,102883534 4,5 1,057 11,84210526 -0,104665924 5 1,067 13,15789474 -0,105656141 5,5 1,067 14,47368421 -0,105656141 6 1,054 15,78947368 -0,104368859 6,5 1,043 17,10526316 -0,103279621 7 1,035 18,42105263 -0,102487447 7,5 1,025 19,73684211 -0,10149723 8 1,024 21,05263158 -0,101398209 8,5 1,022 22,36842105 -0,101200165 9 1,025 23,68421053 -0,10149723 9,5 1,027 25 -0,101695274 10 1,027 26,31578947 -0,101695274 10,5 1,028 27,63157895 -0,101794295 11 1,025 28,94736842 -0,10149723 11,5 1,021 30,26315789 -0,101101144 12 1,015 31,57894737 -0,100507013 12,5 1,01 32,89473684 -0,100011905 13 1,005 34,21052632 -0,099516797 13,5 1 35,52631579 -0,099021688 14 0,997 36,84210526 -0,098724623 14,5 0,996 38,15789474 -0,098625601 15 0,995 39,47368421 -0,09852658 15,5 0,995 40,78947368 -0,09852658 16 0,995 42,10526316 -0,09852658 16,5 0,995 43,42105263 -0,09852658 17 0,995 44,73684211 -0,09852658 17,5 0,995 46,05263158 -0,09852658 18 0,995 47,36842105 -0,09852658 18,5 0,994 48,68421053 -0,098427558 19 0,992 50 -0,098229515 19,5 0,991 51,31578947 -0,098130493 20 0,991 52,63157895 -0,098130493
/>
2-я трапецияt табл h(æ) t=t табл/Wo h=R(0)*h(æ) 0,5 0,24 0,568181818 0,400071669 1 0,461 1,136363636 0,768470997 1,5 0,665 1,704545455 1,108531915 2 0,833 2,272727273 1,388582083 2,5 0,967 2,840909091 1,611955431 3 1,061 3,409090909 1,768650168 3,5 1,115 3,977272727 1,858666293 4 1,142 4,545454545 1,903674356 4,5 1,138 5,113636364 1,897006495 5 1,118 5,681818182 1,863667189 5,5 1,092 6,25 1,820326092 6 1,051 6,818181818 1,751980515 6,5 1,018 7,386363636 1,696970661 7 0,993 7,954545455 1,655296528 7,5 0,974 8,522727273 1,623624188 8 0,966 9,090909091 1,610288466 8,5 0,966 9,659090909 1,610288466 9 0,97 10,22727273 1,616956327 9,5 0,975 10,79545455 1,625291153 10 0,982 11,36363636 1,63695991 10,5 0,987 11,93181818 1,645294737 11 0,993 12,5 1,655296528 11,5 0,997 13,06818182 1,66196439 12 0,997 13,63636364 1,66196439 12,5 0,997 14,20454545 1,66196439 13 0,997 14,77272727 1,66196439 13,5 0,998 15,34090909 1,663631355 14 1 15,90909091 1,666965285 14,5 1,002 16,47727273 1,670299216 15 1,005 17,04545455 1,675300112 15,5 1,008 17,61363636 1,680301008 16 1,011 18,18181818 1,685301904 16,5 1,011 18,75 1,685301904 17 1,012 19,31818182 1,686968869 17,5 1,009 19,88636364 1,681967973 18 1,008 20,45454545 1,680301008 18,5 1,006 21,02272727 1,676967077 19 1,001 21,59090909 1,668632251 19,5 0,998 22,15909091 1,663631355 20 0,996 22,72727273 1,660297424 /> /> /> /> />
/>
3-я трапецияt табл h(æ) t=t табл/Wo h=R(0)*h(æ) 0,0000 0,0000 0,5 0,184 0,0833 -0,1045 1 0,256 0,1667 -0,1454 1,5 0,516 0,2500 -0,2931 2 0,655 0,3333 -0,3720 2,5 0,833 0,4167 -0,4731 3 0,863 0,5000 -0,4901 3,5 0,928 0,5833 -0,5271 4 0,974 0,6667 -0,5532 4,5 0,977 0,7500 -0,5549 5 1,012 0,8333 -0,5748 5,5 1,019 0,9167 -0,5787 6 1,013 1,0000 -0,5753 6,5 1,009 1,0833 -0,5731 7 1,006 1,1667 -0,5714 7,5 1,006 1,2500 -0,5714 8 1,008 1,3333 -0,5725 8,5 1,01 1,4167 -0,5736 9 1,016 1,5000 -0,5770 9,5 1,022 1,5833 -0,5804 10 1,025 1,6667 -0,5821 10,5 1,028 1,7500 -0,5838 11 1,029 1,8333 -0,5844 11,5 1,027 1,9167 -0,5833 12 1,025 2,0000 -0,5821 12,5 1,022 2,0833 -0,5804 13 1,019 2,1667 -0,5787 13,5 1,017 2,2500 -0,5776 14 1,016 2,3333 -0,5770 14,5 1,015 2,4167 -0,5765 15 1,014 2,5000 -0,5759 15,5 1,014 2,5833 -0,5759 16 1,014 2,6667 -0,5759 16,5 1,014 2,7500 -0,5759 17 1,013 2,8333 -0,5753 17,5 1,012 2,9167 -0,5748 18 1,011 3,0000 -0,5742 18,5 1,009 3,0833 -0,5731 19 1,008 3,1667 -0,5725 19,5 1,006 3,2500 -0,5714 20 1,005 3,3333 -0,5708 20,5 1,004 3,4167 -0,5702 21 1,003 3,5000 -0,5696 21,5 1,003 3,5833 -0,5696 22 1,002 3,6667 -0,5691 22,5 1,002 3,7500 -0,5691 23 1,002 3,8333 -0,5691 23,5 1,002 3,9167 -0,5691 24 1,001 4,0000 -0,5685 24,5 1 4,0833 -0,5679 25 1 4,1667 -0,5679 25,5 0,999 4,2500 -0,5674 26 0,999 4,3333 -0,5674
/>
Суммируем графическиполученные процесы и получаем
/>
10. Определить времярегулирования и максимальное перерегулирование в системе.
/>/>
11. Разработать иначертить структурную схему комбинированной САУ, инвариантной по отношению кконтролируемому возмущению />.
Привести передаточнуюфункцию устройства управления.
Проверить выполнениеусловия инвариантности.
/>
Условия инвариантности:
/>, если />
/>, если />
/>
При выборе корректирующихзвеньев в виде обратных передаточных функций возникает проблема. Она обычносвязана с тем, что порядок числителя корректирующего звена становится большепорядка знаменателя. Это означает, что частотные характеристики таких звеньевявляются расходящимися, что говорит о том, что физически такие звеньянереализуемы. В тех случаях, когда корректирующие звенья применять необходимо,порядок числителя этих звеньев искусственно приравнивают к порядку знаменателя,отбрасывая в числители высшие порядки.
12. Предложить иобосновать методы компенсации действия неконтролируемых возмущений, еслиизвестен класс функций, которыми они описываются.
астатическийавтоматический управление моделирование программа
/>
Решить проблемуинвариантности можно, если известна предварительная информация о классевозмущающих воздействий. В частности, если известен математический аппарат,описывающий функцию f(t), заданный в виде решения некоторогодифференциального уравнения.
Процедура синтезапредусматривает:
1. восстановлениевида дифференциального уравнения по заданному решению;
2. получениехарактеристического уравнения;
3. выборпередаточной функции регулятора, в которой знаменатель совпадает с видомполученного характеристического уравнения. Числитель передаточной функциирегулятора выбирается того же порядка, что и знаменатель;
4. неизвестныекоэффициенты числителя передаточной функции регулятора определяются из условийустойчивости замкнутой системы.
13. Провестимоделирование в программе MatLab.Определить настройки регулятора, обеспечивающего минимизацию временирегулирования.
/>
При нулевом задающемвоздействии со значением регулятора, полученными в 7 пункте:
/>
При единичном задающемвоздействии:
/>
Для снижения временирегулирования можно немного увеличить значения регулятора /> примерно до 1,085.
Так же значительноуменьшает время регулирование и /> введениепропорциональной составляющей, т.е. использование ПИ – регулятора. С егопомощью легко можно уменьшить время регулирования примерно в 1,7 раза.
/>
Список используемойлитературы
· Лекции по курсуТАУ, Румянцев Ю.Д.
· «Теорияавтоматического управления», Воронов А.А.
· «Теориясистем автоматического управления», Бесекерский В.А.
Приложение
/>