Курсовая работа
На тему:
«Решение математических задачс использованием программного пакета MathCad»
Екатеринбург 2010
1. Краткие теоретические сведения
Дифференциальнымиуравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функцииодного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только самифункции, но и их производные. Рассмотрим обыкновенное дифференциальноеуравнение n-гопорядка:
y(n) = f (x, y, y’, y’’… y(n-1))
Общее решениеэтого уравнения зависит от n-произвольных постоянных.
Точное решениедифференциального уравнения может быть найдено вручную, либо операторнымметодом в пакете MathCad. Также есть приближенные методы решения: решение с помощью рядов,численные методы и др. Каждыйиз этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощьюкоторых при выполнении определённых условий можно получить точное решениезадачи. Для получения приближенного решения останавливаются на некотором шагепроцесса.
Принципоператорного метода состоит в том, что при переводе функции дифференциальногоуравнения y(n) = f (x, y, y’, y’’… y(n-1)) в пространство Лапласа мы получаем изображение F(s), которое зависит толькоот одной переменной s. Отсюда, по теореме о единственности мы можем найти точноерешение дифференциального уравнения.
Если решениеищется в виде бесконечного ряда, то за приближенное решение принимают конечныйотрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциальногоуравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х0) =y0, причём известно, что f (x, у) – аналитическая функция х, у внекоторой окрестности точки (х0, y0). Тогда решение можноискать в виде степенного ряда:
y (x) – y (x0) =/>
Коэффициенты Akряда могут быть найдены либо последовательным дифференцированием, либо спомощью метода неопределенных коэффициентов, который применяется в курсовойработе. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значенияхвеличины х – х0.
К численнымметодам относятся методы, позволяющие находить приближенное решение принекоторых значениях аргумента (т.е. получать таблицу приближённых значенийискомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной илинескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, методРунге и целый ряд разностных методов (метод Рунге-Кутты).
Если a – точное решение, тоабсолютной погрешностью приближенного значения a* называют величину Д(а*),которая определяется следующим образом:
|a*-a| ≤ Д(a*)
Относительнойпогрешностью Дaприближенного значения называют некоторую величину, которая определяется следующимобразом:
|(a*-a)/ a* | ≤ д(a*)
Такимобразом, эти две погрешности связаны между собой:
д(a*) = Д(a*) / |a*|
Относительнуюпогрешность часто выражают в процентах. Числа a* и Дa принято записывать содинаковым количеством знаков после запятой.
2. Дифференциальноеуравнение
Получитьточное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом,приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1],численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместноеграфическое решение ДУ всеми способами. Рассчитать локальную погрешностьметодов Эйлера и Рунге-Кутты. Рассчитать относительную и абсолютную погрешностьвсех методов с использованием точного решения.
Дано:
2x''+5x'=29cos t
x(0)= -1
x'(0)=02.1 Точное решение операторным методом
Пусть X(s) изображение, а х(t) оригинал.
Продифференцируемлевую часть уравнения:
2x''+5x'=5*(s2*X-s*x(0) – x'(0))+5*(s*X-x(0))
Подставимданные значения x(0) и x'(0) в уравнение и получим:
x''-3x'+2x=2*(s2*X+s)+5*(s*X+1)=X*(2s2+5s)+s*2+5
Преобразуемправую часть уравнения в пространство Лапласа
/>
Найдемзначение изображения:
Given
/>/>
/>
Сопоставимизображению оригинал:
/>
Найдемзначения функции, построим её график:
/>/>
/>/>
дифференциальныйуравнение эйлер операторный2.2 Приближенное решение с помощью рядов
/>
Запишемфункцию в виде ряда:
/>
Найдемпроизводные первого и второго порядков от этой функции:
/>
Разложим вряд правую часть уравнения:
/>
Полученныеряды подставим в исходное уравнение:
/>
Найдемзначения коэффициентов
/>
/>
/>
/>
/>
/>/>
/>
Подставимнайденные значения в разложение функции в ряд и построим график функции:
/>/>
/>
/>2.3 Численное решение методом Эйлера
Перепишемусловие следующим образом:
x'=z
z'+5z=29cost
z'=29cos t – 5z
Задаёмначальные данные:
/>
/>
/>
Находимзначение xи x'
/>
/>
Для сравнениярешим это дифференциальное уравнение с шагом 0,01. Построим график.2.4 Численное решение методом Рунге-Куттычетвертого порядка
Определяемфункцию D,задающую производные и находим значения функции. Строим график функции:
/>
/>
/>/>/>
2.5Расчет погрешности приближенного и численных методов
Таблица 1 –Значения функцииЗаданный интервал Точное решение Приближенное с помощью рядов Метод Эйлера (шаг 0,1) Метод Эйлера (шаг 0,01) Метод Рунге Кутты -1,000000 -1,000000 -1,000000 -1,000000 -1,000000 0,1 -0,933240 -0,933240 -1,000000 -0,938953 -0,933221 0,2 -0,753725 -0,753766 -0,855000 -0,762488 -0,753695 0,3 -0,488339 -0,488787 -0,601974 -0,498255 -0,488302 0,4 -0,159271 -0,161707 -0,270096 -0,168991 -0,159232 0,5 0,214972 0,205973 0,117337 0,206412 0,215012 0,6 0,618801 0,592753 0,541466 0,612091 0,618840 0,7 1,038952 0,975227 0,986812 1,034588 1,038989 0,8 1,464038 1,326187 1,440495 1,462384 1,464072 0,9 1,884213 1,612712 1,891659 1,885536 1,884245 1 2,290920 1,794271 2,331055 2,295416 2,290950
Таблица 2 –Локальная, абсолютная и относительная погрешность Абсолютная погрешность Относительная погрешность Решения с помощью рядов метода Эйлера (шаг 0,1) метода Эйлера (шаг 0,01) метода Рунге Кутты Решения с помощью рядов метода Эйлера (шаг 0,1) метода Эйлера (шаг 0,01) метода Рунге Кутты Локальная погрешность 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0 0,0 0,0 0,000 0,000000 0,066760 0,005713 -0,000019 0,0 -6,7 -0,6 0,002 0,000041 0,101275 0,008763 -0,000030 0,0 -11,8 -1,1 0,004 0,000448 0,113635 0,009916 -0,000037 -0,1 -18,9 -2,0 0,008 0,002436 0,110825 0,009720 -0,000039 -1,5 -41,0 -5,8 0,024 0,008999 0,097635 0,008560 -0,000040 4,4 83,2 4,1 -0,019 0,026048 0,077335 0,006710 -0,000039 4,4 14,3 1,1 -0,006 0,063725 0,052140 0,004364 -0,000037 6,5 5,3 0,4 -0,004 0,137851 0,023543 0,001654 -0,000034 10,4 1,6 0,1 -0,002 0,271501 -0,007446 -0,001323 -0,000032 16,8 -0,4 -0,1 -0,002 0,496649 -0,040135 -0,004496 -0,000030 27,7 -1,7 -0,2 -0,001
2.6 Совместное графическое решение
/>
Рисунок 1 –Совместное графическое решение
Из всехметодов наиболее точным оказался метод Рунге-Кутты, его максимальнаяотносительная погрешность 0,024%, относительная погрешность приближенногометода составила 27,7%. Метод Эйлера с шагом 0,1 имеет наибольшую погрешность 83,2%,однако при уменьшении шага в до 0,01 его погрешность составляет всего 5,8%. Этоподтверждает то, что погрешность метода Эйлера сильно зависит от принятогошага. Проанализировав графическое решение делаем вывод о том, что методы Эйлераи Рунге-Кутты повторяют форму кривой точного решения, а график приближенногорешения с увеличением аргумента всё сильнее отклоняется от искомого графика – свидетельствотого, что погрешность решения с помощью рядов зависит от количества членовряда. Характер кривой также говорит о том, что точность приближенного решения спомощью рядов удовлетворительна только вблизи некоторой точки.
3. Системадифференциальных уравнений
Решитьсистему дифференциальных уравнений, получить точное решение вручную,операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента),численное решение методом Эйлера, Рунге-Кутты. Представить графическоесовместное решение, рассчитать локальную, относительную и абсолютную погрешностьрешения.
Дано:
dx/dt=3x+ y
dy/dt=5/2x– y + 2
x(0)=0
y(0)=13.1 Точное решение операторным методом
Пусть X(s) изображение, дляоригинала x(t), Y(s) изображение дляоригинала y(t). Перейдем от оригиналак изображению:
/>
/>
Найдемзначения изображений:
/>
Найдемзначения функции и построим её график:
/>
/>
/>/>
/>3.2 Приближенное решение с помощью рядов
Преобразуемсистему таким образом что, получим дифференциальное уравнение второго порядка,зависящее только от x:
x''-2x'-11/2x-2=0
Алгоритмрешения такой же, как и при решении дифференциального уравнения с правой частьюспециального вида, но без необходимости раскладывать правую часть.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>/>
Выводы
Наименьшуюпогрешность имеет метод Рунге-Кутты четвертого порядка – для функции x(t) относительная погрешностьна десятом шаге составляет 0,036%, для функции y(t) 0,0297%. Наибольшаяпогрешность у метода Эйлера с шагом 0,1 – для функции x(t) 70,8%, для функции y(t) 51,4%. При изменениишага до 0,01 погрешность существенно уменьшается до 6,6% и 5,3% соответственно.Вывод о влиянии шага на погрешность в методе Эйлера совпадает с выводамирешения дифференциального уравнения – большую роль в точности этого методаиграет шаг. Можно еще раз подтвердить вывод о том, что точность приближенногометода решения сильно зависит от того, на сколько членов будет разложенадифференциальная функция.