Отчёт
о выполнениилабораторной работы № 5(2 часть)
«Решениесистем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)»
студенткигруппы 2Н14 физического факультета
ДмитриевойИрины Георгиевны
Март 2010 г.
Задание 1.Привести систему уравнений к итерационному виду.
Решение:
Имеемсистему:
/>
Приведем ее китерационному виду. Для этого поделим каждое уравнение на соответствующийдиагональный элемент, мы можем так сделать, потому что диагональные элементы неравны нулю. После деления на соответствующий диагональный элемент каждоеуравнение из первого уравнения системы выражаем />,из второго -/>, из третьего,соответственно,-/>. Получаемэквивалентную систему исходной:
/>
Эта системаявляется системой приведенной к итерационному виду.Задание2. Проверитьвыполнение условия сходимости итерационного метода.
Решение:
Проверим нашусистему на сходимость. Это проверяется следующими тремя условиями:
1. />
2. />
3. />
Для этого явоспользуюсь одним из условий сходимости для метода простой итерации, например,третьим, которое говорит о том, что сумма квадратов всех коэффициентов принеизвестных в правой части системы должна быть меньше единицы.
Оно записываетсяв следующем виде:
/>
Проведемсоответствующие вычисления:
/>
Из проделанныхвычислений можно сделать вывод, что наша система является сходящейся.Задание3. Составитьпрограмму на языке С++ для решения приведенной системы с заданной тонностью /> указаннымметодом. Округлить результат с заданной точностью.
Решение:
Дляреализации метода простой итерации нам для начала необходимо проверить нашусистему на выполнение условия сходимости.
Проверяем еемы с помощью условия:
/>
Если этоусловие сходимости по евклидовой метрике выполняется, то мы можем приступать кдальнейшей реализации метода простой итерации. Далее мы оцениваем точностьнашего метода. Она оценивается по следующей формуле:/>
/>
В результатереализации программы получили следующие ответы:
eps1=0.1
x1=2
x2=2
x3=2
n1=5
eps2=0.001
x1=1.5
x2=2
x3=2.5
n2=18
eps3=1e-06
x1=1.5
x2=2
x3=2.5
n3=43
n1, n2, n3 — количество итераций.Задание4. Сравнитьрезультаты выполнения задания 3 с результатами решения заданной системы прямымиметодами (лабораторная работа 5). Сделать выводы по результатам работы.
Решение:
В предыдущейлабораторной работе получила следующие корни, с точностью до десяти цифр:
/>
/>
/>
Сравним результаты,полученные в лабораторной работе 5(часть 1), с результатами задания 3 этойлабораторной работы(2 часть):
ξ=0.1
/>
/>
/>
/>ξ=0.001
/>
/>
/>
ξ=0.000001
/>
/>
/>
Сравнив результатысистемы, полученные при решении итерационным методом и прямым методом, можносказать, что они практически не отличаются. Разница заметна лишь из-за того,что в прямом методе мы не округляли, а в итерационном мы пользуемся функциейокругления. Корни отличаются на незначительно малое число.