Реферат по предмету "Информатика, программирование"


Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Кафедра:Информационные Технологии
ЛабораторнаяРабота
Натему: РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
 
Москва,2008 год

РЕШЕНИЕОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Целиработы:
·знать команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравненийв системе вычислений Maple;
·уметь применять указанные команды для решения математических задач.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕСВЕДЕНИЯ
Решениеобыкновенных дифференциальных уравнений.
Спомощью команды dsolve( )можно получить аналитическое решение дифференциального уравнения, а можно исформировать процедуру построения численного решения задачи Коши, если система Mapleне сможет найти общее решение в аналитическом виде. Наиболее общий синтаксисвызова команды решения дифференциального уравнения следующий:
dsolve (уравнения,неизвестные, [опции]);
Параметром уравнения задается однодифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений. В последнемслучае все уравнения системы должны быть представлены в виде множества (ихсписок через запятую следует заключить в фигурные скобки). Параметр неизвестные определяет неизвестную функцию дифференциальногоуравнения или неизвестные функции системы дифференциальных уравнений, которые,как и сами уравнения системы, должны быть представлены в виде множества.Необязательный параметр опции,определяемый в виде ключевое_значение = значение,позволяет задать методы и форму представления решения.
Чтобызадать производную искомой функции в дифференциальном уравнении используюткоманду diff ( )или оператор D, причем самунеизвестную функцию следует определять с явным указанием независимой переменной,например у(х). Оператор Dопределяет операцию дифференцирования и имеет следующий синтаксис:
(D@@n)(функция) (переменная);
Вэтой записи n представляет целоечисло, определяющее порядок производной, параметр функция–используемый идентификатор функции, а параметр переменная– независимую переменную функции. Например, производная второго порядка функцииf (х) сиспользованием этого оператора задается так:
(D@@ 2) (f) (x);
Нижепредставлены несколько примеров задания дифференциальных уравнений и системдифференциальных уравнений:
> ex1:=diff(y(x),x$3)+k^2*y(x)=0;
/>
> ex2:=(D@@3)(y)(x)+k^2*y(x)=cos(k1*x);
/>
> sys1:={D(y1)(x)=a[1,1]*y1(x)+a[1,2]*y2(x),
D(y2)(x)=a[2,1]*y1(x)+a[2,2]*y2(x)};
/>
Заметим,что в приведенных примерах и уравнения, и система уравнений сохраняются впеременных Maple. Как отмечалось ранее,это достаточно распространенный прием, позволяющий использовать в дальнейшемзаданные уравнения простой ссылкой на обычную переменную.
Решимодно из известных уравнений:
> ex3:=diff(y(x),x$2)+k^2*y(x)=0;
/>
> dsolve(ex3,y(x));
/>
Найденообщее решение дифференциального уравнения, в котором переменные С1 и С2 – этосгенерированные Maple специальныепеременные, представляющие произвольные константы общего решениядифференциального уравнения второго порядка. Этот пример показывает, что приотсутствии каких-либо опций система Mapleпытается найти точное общее решение в явном виде. Если в явном виде решения несуществует, то система попытается найти его в неявном виде, как видно изследующего примера:
> ex4:=diff(y(x),x)=-sqrt(x^2-y(x))+2*x;
/>
> dsolve(ex4,y(x));
/>
> isolate(%,y(x));
/>
Команда isolate ( ) в этом примеревыражает заданное вторым параметром выражение (у(х))из уравнения, определяемого первым параметром (в нашем случае из неявного видаобщего решения дифференциального уравнения).
По умолчанию команда dsolve ( ) сначала пытается найти общее реше­ние в явном виде, иесли таковое не удается найти, то решение выдается в неявном виде (конечно, приусловии его существования). Можно «озадачить» Maple поискомобщего решения в явном виде, используя опцию explicit = true(по умолчанию используется explicit = false):
> dsolve(ex4,y(x),explicit=true);
/>

Каквидим, в этом случае мы действительно получили сразу же решение в явном виде,но оно представлено через функцию Rootof( ),так что наш первоначальный подход к решению дифференциального уравненияоказался более продуктивным.
Недля любого дифференциального уравнения удается найти общее решение в явном илинеявном виде. В этом случае можно построить приближенное решение в форме рядаТейлора. Для этого нужно задать опцию
type=seriesв команде dsolve ( )(по умолчанию используется type=exact),а также установкой значения системной переменной Orderопределить, до какого порядка малости относительно независимой переменнойфункции ищется разложение решения в ряд Тейлора в окрестности нулевой точки:
> Order:=4;
/>
> eqq:=(D@@2)(y)(x)+(a*x^2)*D(y)(x)+y(x)=0;
/>
> dsolve(eqq,y(x),type=series);
/>
Заметим, что в решениидифференциального уравнения второго порядка, представленном рядом Тейлора, вкачестве постоянных используются значения искомой функции и ее первойпроизводной в точке х=0: у(0), D(y)(0).
Длярешения задачи Коши или краевой задачи необходимо задать первый параметркоманды dsoive()в виде множества, элементами которого являются само уравнение и все начальныеили краевые условия. Решим задачу Коши и краевую задачу для следующегодифференциального уравнения второго порядка:
> eqn1:=diff(y(x),x$2)+k^2*y(x)=0;
/>
ЗадачаКоши для этого дифференциального уравнения второго порядка требует задания внулевой точке значения неизвестной функции и ее первой производной. Ее решениепредставлено ниже:
> dsolve({eqn1,y(0)=0,D(y)(0)=1},y(x));
/>
Краеваязадача для этого дифференциального уравнения второго порядка требует задания вдвух точках, например, х = 0 и х= 1значения неизвестной функции. Ее решение также получено с помощью команды dsolve( ):
> dsolve({eqn1,y(0)=0,y(1)=1},y(x));
/>
Начальныеили краевые условия задаются в виде уравнений, в левой части которых определензадаваемый параметр (значение неизвестной функ­ции или ее производнойнеобходимого порядка) в соответствующей точке, а в правой части значение этогопараметра. При задании производных в начальных или краевых условиях следуетиспользовать оператор D — команда diff()здесь не употребляется.
Еслиточное решение задачи Коши или краевой задачи системой Mapleне найдено, а приближенное решение в виде ряда Тейлора нас не устраивает, то можнопостроить численное решение, опять-таки с использованием все той же команды dsoive( ).Для этого задают опцию type= numeric, а с помощью опции method= методопределяют используемый для построения численного решения метод. Параметр методпринимает одно из значений, представленных в табл. 1.
Таблица 1.Значения опции method при численном решении дифференциальных уравнений. Значение Описание Rkf45 Метод Рунге-Кутта-Фальберга порядка 4-5 Dverk78 Метод Рунге-Кутта порядка 7-8
По умолчанию (если не задана опция method) применяется метод Рунге-Кутта-Фальбергапорядка 4-5. При использовании численного решения следует помнить, что всепараметры дифференциального уравнения (символьные константы) должны бытьопределены. Например, для задачи Коши уравнения eqn1предыдущего примера следует задать численное значение для параметра k.
Численноерешение строится в форме процедуры Maple, поэтому следует некоторой переменнойприсвоить результат построения командой dsolve ( )численного решения в виде процедуры. В дальнейшем имя этой переменной можноиспользовать как имя процедуры для вычисления значения решения задачи Коши внекоторой точке, соответствующей значению независимой переменной функциирешения. Это значение передается в процедуру как ее параметр – после именипроцедуры в круглых скобках. Следующий пример демонстрирует построениечисленного решения задачи Коши и его использование.
> eqn1:=diff(y(x),x$2)+k^2*y(x)=0;
/>
Переменнойf присваиваем результат численногорешения задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка (в нулевойточке задается значение неизвестной функции и ее первой производной):
> F:=dsolve({eqn1,y(0)=0,D(y)(0)=1},y(x),type=numeric);
/>
Еслине присвоить параметру kконкретного числового значения, то попытка получить значение решения в точке,например х = 1, приведет к ошибке:
> F(1);
Error, (indsolve/numeric/rkf45) cannot evaluate boolean:2.+abs(.2511886433e-1-.2016799760e-5*k^2-.3377712687e-4*k^2*(.2318664400e-1-.3700729218e-5*k^2)+.6309573448e-5*k^2*(.2511886433e-1-.6603721651e-5*k^2))
Следуетобязательно определить все символьные параметры дифференциального уравнениячисловыми значениями перед использованием численного решения:
> k:=1:
> F(0);F(1);F(2);
/>
/>
/>
Обратитевнимание, в каком виде построенная процедура численного решения выдаетрезультаты – в виде списка значений независимой переменной, самой функции и еепроизводных (до порядка на единицу меньше порядка самого уравнения).
Задачи для самостоятельного решения.
1. Решить уравнения:
1.1./>;                               1.13./>;
1.2./>;                        1.14./>;
1.3./>;        1.15. />;
1.4./>;           1.16./>;
1.5./>;                            1.17./>;
1.6./>;            1.18./>;
1.7./>;                      1.19./>;
1.8./>;                                  1.20./>;
1.9./>;                       1.21./>;
1.10./>;                     1.22./>
1.11./>;          1.23./>;
1.12./>;                           1.24./>
Вариантызаданий.
/>. 1.1; 1.2;                   />. 1.12; 1.21;
/>. 1.3; 1.4;                  />. 1.13; 1.22
/>. 1.5; 1.6;                  />. 1.14; 1.23;
/>. 1.7; 1.8;                  />. 1.15; 1.24;
/>. 1.9; 1.18;       />. 1.16; 1.14;
/>. 1.10; 1.19;     />. 1.17; 1.15;
/>. 1.11; 1.20;    
Контрольныевопросы.
1.Команда dsolve(), ее предназначение и синтаксис.
2.Оператор D, его предназначение исинтаксис.
3.Команда isolate(), ее предназначение и синтаксис.
4.Какая опция в команде dsolve() используется для построения приближенного решения дифференциального уравненияв форме ряда Тейлора?
5. Как решить задачу Коши с помощью команды dsolve()?
6. Как решить краевую задачу с помощью команды dsolve()?
7.Можно ли с помощью команды diff( ) задавать производные в начальных или краевых условиях?
8.Как с помощью команды dsolve() построить численное решение дифференциального уравнения?

Литература
1. Говорухин В.Н.,Цибулин В.Г. Введение в Maple.Математический пакет для всех. – М.: Мир, 1997. – 208 с.
2. Дьяконов В.П.Математическая система MapleV. – М.: Издательство “Солон”,1998.
3. Двайт Г.Б. Таблицыинтегралов и другие математические формулы. – М.: Наука. Главная редакцияфизико-математической литературы, 1983. – 176 с.
4. Матросов А.В. Maple6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.: БХВ — Петербург, 2001.–528 с.
5. Манзон Б.М. MapleV PowerEdition – М.:Информационно-издательский дом “Филинъ”,1998г.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Social Customs Essay Research Paper SOCIAL CUSTOMSEvery
Реферат Термодинамические характеристики (H,S,G) и возможность самопроизвольного протекания процесса
Реферат Глобальный круговорот углерода и климат
Реферат Практичні рекомендації з дисципліни Інженерні вишукування
Реферат Советское государство в послевоенные годы
Реферат Іi етапу Всеукраїнської олімпіади з економіки для учнів 9 класу
Реферат Автоматизированный учет работы кадрового агентства Бизнес трэвел
Реферат Кадрове діловодство, робітник, керівник, кар’єра, звільнення, переведення, прийом
Реферат Flowers Fo Algernon Essay Research Paper Flowers
Реферат Формулы по математике (11 кл.)
Реферат Y2k Bug 2 Essay Research Paper Y2K
Реферат Билеты по географии 9 класс
Реферат Политика эффективной занятости в России.
Реферат Формирование познавательного интереса к истории у младших школьников как условие перехода к систематическому изучению исторического содержания
Реферат Регулювання та технічний огляд приладів електрообладнання на автомобілі ЗАЗ-1102