Предмет:
«Теорияавтоматического управления»
Тема:
«Принципыпостроения систем автоматического управления»
1. Основные понятия и определения
Теорияавтоматического управления (ТАУ) – наука о принципах построения, методахрасчета и исследования автоматических систем.
ТАУ рассматривает класс систем, основойфункционирования которых является процесс преобразования энергии (в отличие отинформационных систем – преобразующих информацию).
Системойавтоматического управления (САУ) называется совокупность управляемогообъекта и устройства управления, взаимодействующих в соответствии с заданнымзаконом (алгоритмом) управления.
Типовая, структурнаясхема сис-темы автоматического управления приведенана рис.
Управлениемвтехнических системах называется преднамеренное воздействие на управляемый объект,обеспечивающее достижение поставленной цели.
/>
Рис. 12.Классификация САУСистемы автоматического управления можно классифицировать по различнымпризнакам:
1. Похарактеру изменения выходной величины:
– системыавтоматического регулирования (САР, стабилизации) – системы, в которыхвыходная величина поддерживается на постоянном уровне, определенном заранее;
– следящиесистемы – это системы, в которых выходная величина изменяется всоответствии с заранее неизвестной функцией, определяемой заданием;
– программныесистемы – это системы, в которых выходная величина изменяется всоответствии с программой определяемой заданием;
– экстремальныесистемы – это системы, в которых выходная величина поддерживается науровне некоторого экстремума;
– оптимальныесистемы – это системы, в которых выход таков, что некоторый показательнаилучший в определенном смысле.
2. Попринципу управления:
– системыс управлением по отклонению – системы, в которых управляющее воздействиевырабатывается в функции разности задающего и возмущающего воздействия.Этот принциписпользуется в замкнутых системах управления. Структурнаясхема системы с управлением по отклонению приведена на рис. 2а.
– системыс управлением по возмущению – системы, в которых управляющее воздействиевырабатывается в функции задающего или возмущающего воздействия. Этот принципуправления чаще всего используется в разомкнутых системах. Структура системы суправлением по возмущению приведена на рис. 2б.
– системыскомбинированным управлением – системы, в которых сочетается первый ивторой принципы управления. Структура системы с комбинированнымуправлением приведена на рис. 2в.
б)
в)
а) />
Рис. 2
3. Похарактеру изменения сигналов:непрерывные; дискретные.
4. По числурегулируемых величин: одномерные; многомерные.
5. По видуошибок: статические; астатические.
6. Похарактеру описываемых уравнений: линейные – нелинейные; детерминированные– стохастические; стационарные – нестационарные и т.д.
Основныевопросы, которые рассматривает теория автоматического управления:
Математические модели системавтоматического управления.
2. Определение устойчивости системуправления.
3. Анализ качества систем.
4. Коррекцию систем.
5. Задачи анализа и синтеза оптимальныхсистем.3. Математическиемодели САУ
Для описания сигналов и систем, взависимости от используемых методов исследования, применяются различные формыих представления во временной, частотной или операторной области. Взаимосвязьмежду областями осуществляется с помощью преобразований Фурье и Лапласа, какпоказано на рис. 3.
/>
Рис. 3Преобразование Фурье. Соответствиемежду временным и частотным представлением сигнала можно выразить черезпреобразование Фурье:
/>(2.1)
и обратноепреобразование Фурье:
/> (2.2)
ПреобразованиеЛапласа. Соответствие между временным и операторным представлением сигналаможно выразить через преобразование Лапласа:
/>(2.3)
и обратноепреобразование Лапласа:
/> (2.4)
где р = c+jw – оператор Лапласа, c – область сходимости, x(t) –оригинал, а X(p) – изображение.
Длядискретных систем используют дискретные преобразования Лапласа и Фурье, а такжеряд других преобразований (Z, W и др.).Основныесвойства (теоремы) преобразования Лапласа
Свойстволинейности
/> (2.5)2. Дифференцирование оригинала/>, (2.6)
/>,где />.
При нулевыхначальных условиях
/>.3. Интегрирование оригинала
/>. (2.7)
4. Теорема освертке (умножения в комплексной области)
/>. (2.8)
5. Теоремаразложения.
Если/> где />
то оригинал, в соответствии с теоремойКоши о вычетах может быть определен как сумма вычетов по полюсамподынтегральной функции
/> (2.9)
6. Теорема определьных значениях функции.
Начальноезначение функции:/>. (2.10)
Конечноезначение функции: />. (2.11)
7. Теоремазапаздывания
/>. (2.12)
4. Дифференциальные уравнения САУ
При математическом описании системавтоматического управления составляют уравнения статики и динамики.
Уравнения статики описывают установившиесярежимы и, как правило, являются алгебраическими.
Уравнения динамики описывают переходныепроцессы в системах автоматического управления и представляют собойдифференциальные, интегро-дифференциальные или разностные уравнения.
Уравнения динамики системы составляются наоснове уравнений отдельных элементов, входящих в систему. Уравнения элементовзаписываются на основе физических законов, определяющих поведение данногоэлемента, чаще всего это законы сохранения энергии (Кирхгофа, Ньютона, и др.).
В качествепримера рассмотрим порядок составления уравнения динамики для RLC –четырехполюсника (рис. 4).
/>
Всоответствии сзаконом Кирхгофа можно записать уравнения
/>
Выполнив преобразования, получимдифференциальное уравнение данной цепи.
/>
Из условия равенства нулю производных,получим уравнение статики
/>Линеаризациядифференциальных уравнений
Обычно дифференциальные уравнения САУявляются нелинейными вследствие нелинейности характеристик элементов системы(порог чувствительности, ограничение по мощности, трение, люфт, зазор,гистерезис и др.). Решение нелинейных уравнений существенно сложнее, чем линейных.Поэтому всегда, если это возможно, необходимо преобразовать нелинейноеуравнение к приближенному линейному, т.е. выполнить линеаризацию.
Линеаризация– замена нелинейногоуравнения приближенным линейным. Линеаризация возможна при следующих условиях:
Еслиотклонения переменных Dx и Dy относительно установившихсязначений x0 и y0 малы (рис. 5а). Этоусловие выполняется для широкого класса систем автоматического управления(например, для замкнутых систем).
2. Система несодержит существенно – нелинейных элементов, т.е. характеристики должны бытьоднозначными и не иметь разрывов 1-го или 2-го рода (рис. 5б-г).
/>
Линеаризация осуществляется путем разложения нелинейнойфункции в ряд Тейлора в окрестности точки, соответствующей установившемуся режиму.
Выразим переменные x и y через ихустановившиеся значения x0 и y0 иотклонения Dx и Dy.
При этом
/> (3.1)
Разложение в ряд Тейлора имеет вид:
/>(3.2)
Вычтем уравнение установившегося режима, чтосоответствует переносу начала координат в точку (x0,y0),при этом получим линеаризованное уравнение:
/> (3.3)
Отличие линеаризованного уравнения от исходногонелинейного:
Линеаризованное уравнение линейное.
2. Линеаризованное уравнение приближенное.
3. Линеаризованное уравнение это уравнение вотклонениях (вариациях).
Литература
1. Автоматизированноепроектирование систем автоматического управления. / Под ред. В.В. Солодовникова.– М.: Машиностроение, 1990. -332 с.
2. БесекерскийВ.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования, изданиетретье, исправленное. Москва, издательство «Наука», Главная редакцияфизико-математической литературы, 1975.
3. ГринченкоА.Г. Теория автоматического управления: Учебн. пособие. – Харьков: ХГПУ,2000. –272 с.
4. ЗайцевГ.Ф. Теория автоматического управления и регулирования. – 2-е изд.,перераб. и доп. Киев, Издательство Выща школа Головное издательство, 1989.
5. Справочникпо теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.:Наука, 1987. – 712 с.
6. ШандровБ.В. Технические средства автоматизации: учебник для студентов высшихучебных заведений. Москва, Издательский центр «Академия», 2007.