Содержание
1.Источники и виды погрешностей результата вычислительной задачи
2.Абсолютные и относительные погрешности
3. Правила записи приближенных чисел
4.Погрешность суммы и разности приближенных чисел
5.Погрешности произведения и частного приближения чисел погрешности
6.Погрешность функции
7.Погрешность функции нескольких переменных
8.Обратная задача теории погрешностей
Список литературы
1. Источники и виды погрешностей результата вычислительной задачи
Погрешности вычислений наЭВМ
Цель работы: изучениевлияния различных видов погрешностей на результаты вычислений на ЭВМ
При решении задачи на ЭВМпрактически невозможно получить точное решение. Получаемое численное решениепочти всегда содержит погрешность, т.е. является приближенным. Погрешностирешения задач на ЭВМ объясняются следующими причинами:
1) математическая модель задачи являетсяприближенным описанием реального объекта или процесса. Поэтому получаемыерезультаты также всегда будут приближенными, а их погрешности зависят отстепени адекватности моделей реальному объекту или процессу;
2) исходные данные при решениивычислительной задачи, как правило, содержат погрешности. Это объясняется тем,что исходные данные получают в результате экспериментов, наблюдений, измеренийили в результате решения вспомогательных задач;
3) применяемые для решениявычислительных задач методы в большинстве случаев являются приближенными, таккак получить аналитическое решение задачи обычно не удается;
4) использование ЭВМ вносит ошибки,которые появляются при вводе-выводе данных в процессе вычислений.
С учетом указанных выше причин погрешность решения вычислительной задачина ЭВМ складывается из трех составляющих:
— неустранимаяпогрешность;
— погрешность метода;
— вычислительнаяпогрешность.
Неустранимая погрешностьсоответствует первым двум причинам и единственный способ уменьшить этупогрешность заключается в переходе к более точной модели или в использованииболее точных входных данных.Погрешность метода определяется третьей причиной,причем появление этой погрешности практически неизбежно при любых вычислениях.
Вычислительнаяпогрешность возникает в основном из-за округления чисел при вводе-выводе, атакже при выполнении арифметических операций в ЭВМ. Это обусловленоограниченной разрядностью ЭВМ и особенностями представления данных в памятимашины.
2. Абсолютные и относительные погрешности
Рассмотрим числовыехарактеристики погрешностей. Будем считать, что результат решения задачи на ЭВМявляется приближенным числом.
Пусть А – точное число,которое может быть и неизвестным. Тогда приближенным числом а будем называтьтакое число, которое незначительно отличается от точного А и заменяет его ввычислениях. При этом говорят, что число а является приближением числа А, чтообозначается как А » а.
Например, пусть p — точное число. Тогда различные приближения можнозадать следующим образом:
/>; />;/>.
Разность А — а междуточным числом А и его приближением а называется погрешностью или ошибкойприближенного числа а.
Поскольку возможно, что а> А или а
Возможны два случая вычисленияабсолютной погрешности:
1) когда точное числоизвестно, например
/>2) если точное число не известно, тодля оценки погрешности приближения используется понятие предельной абсолютнойпогрешности:
/> или />.
Если предельнаяабсолютная погрешность задана, то ее значение позволяет установить границы вкоторых находится точное число А:
/> или />.
Очевидно, что значение абсолютной погрешности приближенного числа непозволяет оценить степень его приближения к точному значению. Для этогоиспользуют понятие относительной погрешности приближенного числа, которая вычисляетсяследующим образом:
/>.
Из этой формулы видно,что величина /> может быть вычисленатолько при известном значении точного числа А. Если точное значение числа неизвестно, то используется понятие предельной относительной погрешности
/>.
В практике вычисленийвеличина /> определяется по формуле
/>.
Полагают, что эта формулаприменима, если />, В частности,считается нормальным, если /> или,что то же самое, />. В грубых расчетахдопускается />. Иногда требуется, чтобы />.
3.Правила записи приближенных чисел
Для решения инженерных задач частоприходится определять различные числа, как точные, так и приближенные. При этомтребуется, чтобы погрешность, возникающая при округлении была бы минимальной.
Пусть некоторое десятичное число представлено егоразложением
/>,
где 10S –единица разряда S, aS – цифра разряда, S – номер разряда.
Все цифры числа от первойслева, неравной нулю, до последней цифры справа называются значащими цифрами.
Например, пусть заданыследующие числа:
a1 = 2.67; a2= 0.267; a3 = 0.00267; a4 = 0.26700
Тогда для a1,a2, a3 имеем 3 значащие цифры и для a4 — 5значащих цифр.
Если крайние справа нулине считают значащими, то число записывают в экспоненциальной форме:
/>,
где m — экспонента, p – порядок числа.
Значащая цифра числа aS называется верной, если абсолютнаяпогрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда S, т. е.
/>.
Если абсолютная погрешность числа не указана, то все его значащие цифрысчитают верными.
Под округлением числа абудем понимать его замену числом а’, которое имеет меньшее количество значащих цифр,чем исходное число а. Округление должно производиться таким образом, чтобывозникающая ошибка была минимальной.
Для оценки величиныошибки вводят следующие характеристики:
— абсолютная погрешностьокругления />;
— относительнаяпогрешность округления />.
При необходимости могутиспользоваться их предельные значения:
/>; />.
Если округляется приближенное число, то погрешность полученного числавключает две составляющие:
— погрешность округления;
— погрешность исходногочисла.
Округление чиселпроизводится по следующим правилам.
1. Если первая из отбрасываемых цифрменьше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется.
2. Если первая из отбрасываемых цифрбольше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1.
3. Если первая из отбрасываемых цифрравна 5, и за ней идут не нули, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на1.
4. Если первая из отбрасываемых цифрравна 5 и все значащие цифры, идущие за ней равны нулю, то последняясохраняемая цифра увеличивается на 1, если она нечетная, и не изменяется, еслиона четная.
4. Погрешность суммы и разности приближенных чисел
Абсолютная погрешностьалгебраической суммы или разности нескольких приближенных чисел не превышаетсуммы абсолютных погрешностей этих чисел:
/>;
/>.
Предельная абсолютнаяпогрешность суммы или разности определяется следующим образом:
/>;
/>.
Оценим относительнуюпогрешность /> суммы приближенных чисел.Пусть Х1, Х2 — точные числа одного знака, х1,х2 — их приближения. Тогда
/> £ /> (1)
где />.
Предельная относительнаяпогрешность суммы двух чисел вычисляется как
/>, (2)
где />.
Формулы (1) и (2) можнообобщить на случай произвольного количества слагаемых:
/>
Таким образом, присуммировании чисел одного знака не происходит потери относительной точности,что видно из приведенных соотношений.
Оценка относительнойпогрешности для разности двух чисел осуществляется по формуле
/> £ ndmax,
Где
/>; />.
Формулы для предельныхотносительных погрешностей имеют вид:
/>
Очевидно, что дляразности приближенных чисел относительные погрешности возрастают в n раз, где n > 1. При этом возможнасущественная потеря точности, которая происходит в том случае, если числа X1, X2 настолько близки, что их суммазначительно превышает их разность />. Тогдаn >> 1, что приводит к полнойили почти полной потере точности. Такая ситуация называется катастрофическойпотерей точности.
5. Погрешности произведения ичастного приближенных чисел
Формулы для оценки абсолютной погрешности произведенияи частного является более сложными, чем для суммы и разности. Поэтому длячастного и произведения абсолютные погрешности обычно определяют, используя известнуюформулу
/>,
для a = x1x2...xn или a = x1/x2, где относительная погрешность произведения приближенныхчисел определяется следующим образом:
/>
Формула показывает, что относительные погрешности нескольких приближенныхчисел складываются при выполнении операции умножения над этими числами.
Для предельной относительнойпогрешности формула имеет вид:
/>
Аналогичным образом можно получитьоценки погрешности частного двух приближенных чисел:
/>; />
6. Погрешность функции
Основная задача теориипогрешностей заключается в следующем: по известным значениям погрешностейисходных данных определить погрешность некоторой функции от этих величин.
Пусть задана функцияf(x), значение которой требуется вычислить для приближенного значения аргумента/>, имеющего известнуюпредельную абсолютную погрешность />. Еслифункция f(x) дифференцируема в точке x0, топогрешность ее значения в этой точке можно оценить как
погрешность вычислительный приближенный функция
/>.
Считается, что формуласправедлива, если относительные ошибки аргумента и результата малы по сравнениюс единицей, т.е.
dx0
Нетрудно заметить, чтовычисление функции в точке с большим модулем производной может привести кзначительному увеличению погрешности результата по сравнению с погрешностьюаргумента (катастрофическая потеря точности).
7. Погрешность функции нескольких переменных
Пусть y = f(x1, x2, …, xn) – приближенное значение функции от приближенных аргументов/>, />, …, />, которые имеют абсолютныеошибки />, />, …, />.
Для определения /> используют принципналожения ошибок, согласно которому учитывают влияние погрешностей каждого изаргументов в отдельности, а затем полученные погрешности суммируют. Для этоговначале временно предполагают, что все аргументы, кроме x1 являются точными числами, и находится соответствующаячастная ошибка, вносимая только погрешностью этого аргумента />:
/>,
где производнаяопределяется по x1. Затем вычисляется частная ошибка,вносимая аргументом />:
/>.
В итоге искомаяпогрешность функции />, определяетсясуммой всех частных ошибок:
/>.
Условиями применимостиэтой формулы считается выполнение следующих неравенств:
dxi ); d f(x1, x2, …, xn)
8. Обратная задача теории погрешностей
Обратная задача теориипогрешностей заключается в определении погрешностей исходных данных по заданнойпогрешности результата. С использованием понятия функции нескольких переменныхэта задача формулируются следующим образом: определить предельные погрешностиаргументов функции, чтобы погрешность функции в целом не превышала бы заданнойвеличины.
Эта задача является математическинеопределенной, так как одна и та же погрешность результата может быть полученапри разных погрешностях исходных данных. В простейшем случае для решения этойзадачи используют принцип равных влияний, согласно которому в формуле дляопределения предельной абсолютной погрешности функции нескольких аргументоввида
/>.
все слагаемые из правой частипринимаются равными:
/>
Отсюда значения предельныхабсолютных погрешностей аргументов определяются следующим образом:
/>
Список литературы
1. Адаптивныетелеизмерительные системы, под ред. А. Б. Фремке, М. 1981 г.
2. Левин, Плоткин,Цифровые системы передачи информации, 1982 г.
3. Свиридов Н. Г.Проектирование РТС передачи информации Рязань, РРТИ, 1988 г.