Анотація
У даній роботі розглядається моделювання неперервно-стохастичнихмоделей на ЕОМ.
Робота викладена на 26 сторінках друкованоготексту, містить: 2додатки, 4 рисунка та списоквикористаної літератури з 2 найменувань.
Робота виконана російскою мовою.
Аннотация
В данной работе рассматривается моделированиенепрерывно-стохастической моделей на ЭВМ.
Работа изложена на 26 страницах печатного текста,содержит: 2 приложения, 4 рисунка и список использованнойлитературы из 2 наименований.
Работа выполнена на русском языке.
Annotation
In the given work modelling continuous — stochastic models on the computer is considered
Work is stated on 26 pages of the printed text, contains: 2 appendices, figures and thelist of the used literature from 2 names.
Work is executed on Russian.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>СОДЕРЖАНИЕ
Введение. 4
1 Выбор метода моделирования дифференциальнойстохастической системы и постановка задачи. 6
1.1 Выбор методамоделирования. 7
1.2 Постановка задачи. 9
2 Построение численной модели дифференциальнойстохастической системы. 11
3 Результаты моделирования. 15
Заключение. 19
Список использованной литературы: 21
Приложение А – Текст программы… 22
Приложение Б – Проверка датчика случайных чисел……………….……..24
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Введение
Существует проблемаоценки функционирования произвольной системы, то есть оценки выхода еехарактеристик за определенный уровень.
Для решенияпоставленной проблемы существуют две группы методов. Первая группа базируетсяна знании аналитического выражения плотности вероятности, а вторая группа – нетребует подобной информации. И так как нам не известна плотность вероятности, мы должны воспользоваться второй группой, то есть выполнить математическоемоделирование с использованием численных методов.
Поэтому выполнимнепрерывно-стохастическое моделирование на ЭВМ.
Таким образом,целью курсовой работы является моделирования состояния системы для оценкивыходов ординат случайного процесса за заданный уровень />.
Состояние системыописывается стохастическим дифференциальным уравнением:
/>,
со следующими параметрами:
/>/>
где
/> и/> - параметры спектральнойплотности,
/>,/>, /> и />-коэффициенты уравнения,
/>и начальными условиями:
и временем моделирования120 сек, относительная погрешность среднеквадратического отклонения />,
Для достижения этой целинеобходимо решить следующие задачи:
· выбрать метод моделирования стохастической дифференциальной системы;
· построитьчисленную модель состояния системы;
· выполнитьмоделирование по построенной численной модели;
· оценитьколичество выбросов случайной величины за заданный уровень />.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>1 Выборметода моделирования дифференциальной стохастической системы и постановказадачи
В данном разделе мы осуществим выбор методамоделирования дифференциальной стохастической системы с целью выявлениянаиболее оптимального метода по критериям – точность, простота.
Стохастическая дифференциальная система – этосистема с конечным вектором состояния и значениями входных и выходных сигналов,которые описываются стохастическими дифференциальными уравнениями. Для решениянелинейных систем используют численные модели.
Моделирование — процесспроведения экспериментов на модели вместо проведения экспериментов на самоймодели.
Моделирование широкоиспользуется, так как значительно облегчает научные исследования и частооказывается единственным средством познания сложных систем.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>1.1 Выбор метода моделирования
Существует математическоеи имитационное моделирование.
Имитационное моделирование – моделирование, прикотором система заменяется на ее имитатора, и с нимпроводится эксперимент с целью получения информации о системе.
Математическоемоделирование – моделирование, при котором мы можем заменить систему еематематической моделью и провести эксперимент с ней, а не с самой системой.
Сущность имитационногомоделирования заключается в том,
что в его основу положена методологиясистемного анализа. Она дает возможность исследовать проектируемую либоанализируемую систему
по технологии операционногоисследования, включая такие этапы, как смысловая постановка задачи; разработкаконцептуальной модели; разработка и программное реализация имитационноймодели; проверка адекватности модели и оценка точности результатовмоделирования; планирование экспериментов; принятие решений. Благодаря этомуимитационное моделирование можно применять как универсальный подход дляпринятия решений в условиях неопределенности и для учета в моделях факторов,которые тяжело формализуются, а также для введения в практику основныхпринципов системного подхода для решения практических задач.
Но для решения нашей задачимы воспользуемся математическим моделированием, поскольку предполагаемая модельдифференциальной стохастической системы будет математической.
Что же касается метода, то выполненияпоставленной задачи моделирования существуют различные методы. В первой группеэтих методов требуется построить плотность вероятности в аналитическом виде,когда система описывается нелинейными стохастическими уравнениями, чтоневозможно при данной постановке задачи, поскольку мы не можем найти плотностьвероятности в аналитическом виде. Поэтому выполним математическое моделированиенепрерывно-стохастическое системы сиспользованием численного метода.
В качествечисленного метода для вышеуказанного моделирования воспользуемся методом Эйлера, так как он наиболее оптимально подходит для решения данной задачи, поскольку может обеспечить вполнеприемлемую точность расчетов при относительной простоте. Безусловно, существует ряд других методов,которые обеспечивают более высокую точность, например метод Рунге Кутта, но ониявляются значительно более сложными.
Сходимость применяемогометода (метода Эйлера) обеспечивается среднеквадратично. В качестве критериядля выбора шага будем применять относительную погрешность среднеквадратичногоотклонения.
Если этот критерий менееили равен 0.05, то результат удовлетворительный, иначе необходимо уменьшить шагинтегрирования в 2 раза и по
вторить итерацию.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>1.2 Постановка задачи
Исходя из вышерассмотренного материала уточняем и формулируем постановку задачи:
Выполнитьмоделирование непрерывно-стохастической системы на ЭВМ, состояние которой описываетсястохастическим дифференциальным уравнением />,используя следующие данные:
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>со следующими параметрами:
/>/>
где
/> и /> - параметры спектральнойплотности,
/>, />, /> и /> - коэффициенты уравнения,
/>и начальными условиями:
и временем моделирования 120 сек, причем относительнаяпогрешность среднеквадратического отклонения />,
если:
а)случайное воздействие имеет спектральную плотность />;
б)если случайное воздействие X(t) является белым шумом.
/>/>Моделированиевыполняется с целью вычисления количества ординат случайного процесса y(t),которые выходят за уровень />
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>2 Построение численной модели дифференциальнойстохастической системы.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
Выполнимматематическое моделирование непрерывно-стохастической системы.
Будемиспользовать нелинейное стохастическое уравнение 2-го порядка />, (1)
где /> — случайный процесс.
/>/>Дляреализации математической модели в случаях:
а)случайное воздействие имеет спектральную плотность />, (2)
где
/>
/>-круговая частота;
/> — коэффициент затухания корреляционной функции;
/> — средняя частота корреляционной функции.
а) если случайный процесс имеетспектральную плотность.
Белый шум — стационарныйслучайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией,равной дельта-функции.
Моделирование белого шумаосуществляется по следующей формуле:
/>, (3)
где
/>-независимая случайная величина снормальным законом распределения с mx=0 и Dx=1,
No - коэффициент интенсивности белого шума или высота спектральной плотности.
Моделирование случайноговоздействия со спектральной плотностью /> осуществляетсястохастическим дифференциальным уравнением второго порядка
/>; (4)
всистему уравнений 1-ого порядка, для этого введем специальные переменные:
/> (5)
В результате получим следующую систему 1-го порядка:
/> (6)
Применяем к каждому уравнению метод Эйлера
/> (7)
получимследующую численную модель:
/> (8)
В случае а) когда случайноевоздействие – белый шум, аналогично, математическая модель будет иметь вид:
/> (9)
При моделированиинепрерывной стохастической модели следует выполнить такие действия:
1) Подбор коэффициента интенсивностибелого шума (его мы осуществим с помощью табуляции функции
/>,
ее максимальное значениеи будет требуемым шагом);
2) разработать датчик случайных чисел снормальным законом распределения.
/>
Для этого необходимо:
- сгенерировать два случайных числа сравномерным законом распределения, 1-ое число />,а второе число />
(Рисунок 1);
- сравнить, если V1>f(V1), то все числа отбрасываются и генерация повторяетсязаново, иначе меньшее число принимается как верное;
3) выбрать произвольный шагтабулирования;
4) получить значения по системамуравнений (8),(9);
5) проверить сходимость - проверка выполняется среднеквадратично поформуле
/>, (10)
Если погрешностьсреднеквадратичного отклонения менее или равна 0.05, то полученные значениясчитаются решением, иначе необходимо уменьшить шаг в 2 раза и повторитьитерацию.
Причем в случае, где X(t)- белый шум обеспечиваем сходимость только по x1 (8); а в случае, гдеслучайное воздействие имеет спектральную плотность (2), сходимостьобеспечиваем и по x1 и по x3.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>3 Результаты моделирования
На основе выбраннойчисленной модели была разработана программа по моделирования системы.
Алгоритм работы программы следующий:
- находится коэффициент интенсивности белого шума No, дляэтого функция /> табулируется, в диапазоне (1;120) с шагом 0,1
Первая часть задачи, гдеm(t) белый шум:
- применяется генератор случайных чиселс нормальным распределением;
- выбирается произвольный шаг;
- получаются зависимости y(t) от t и y’(t);
- выполняется контрольсреднеквадратического отклонения
по формуле
/> ,
-еслисреднеквадратического отклонения менее, либо равно 0.05 то полученныезависимости считаются решением, иначе шаг табулирования уменьшается в двараза.
Решение второй частизадачи, где х(t) заданная функция, выполняется по выше описанному алгоритмулишь с той разницей, что контроль среднеквадратического отклонения ведется нетолько по x1, но и по x3. (из формулы (6 ) ). Полученный результат выводится втекстовый файл.
После завершения работыпрограммы были получены необходимые точечные оценки дифференциальногостохастического уравнения.
Результаты представлены ниже нарисунках 1-6.
Программа приведена в приложении А. />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Результатыработы программ представлены в виде графиков зависимостей.
Случайный процесс является белымшумом:
/>
Рисунок 1- Зависимость y от t
/>
Рисунок 2 — Зависимостьy’ от t
Случайноевоздействие на систему- заданная функция:
/>Рисунок 3 – Зависимость y от t
/>
Рисунок 4 – Зависимость z от t
/>/>Заключение
Была выполнена работа помоделированию состояния системы непрерывно-стохастической модели на ЭВМ,состояние которой описывается стохастическим дифференциальным уравнением />,
со следующими параметрами:
/>/>
где
/> и/> - параметры спектральнойплотности,
/>,/>, /> и />-коэффициенты уравнения,
/>и начальными условиями:
и временеммоделирования 120 сек, относительнаяпогрешность среднеквадратического отклонения,
/>/>если:
а)случайное воздействие имеет спектральную плотность />;
б) если случайный процесс являетсябелым шумом.
В данной работе:
Ø выбрали метод моделированиястохастической дифференциальной системы;
Ø построили численную модель состояниясистемы;
Ø выполнили моделирование попостроенной численной модели;
Ø оценили выброс случайной величины зауровень />;
Ø Выполнили проверку датчика сл.чис.спомощью критерия Хи квадрат.
(Приложение Б)
/>/>/>/>Моделирование выполнялось с цельювычисления количества ординат случайного процесса y(t), которые выходят зауровень /> и подсчет количествавыхода значений за этот уровень – ни одно значение не вышло за уровень/>.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Список использованной литературы:
/>1. Томашевский В. М.,Жданова В. Г., Жолдаков О.О… Вирішення практичних завдань методамикомп’ютерного моделювання: Навч. посібник.- К.:”Корнійчук”,2001.-268с.
/>/>/>2. Статистические методы для ЭВМ/ Под ред. К.Энслейна:Пер. с англ. / Под ред. М.Б.Малютова.- М.: Наука. Гл.ред. физ. Мат., лит.1986.-464с.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>ПриложениеА – Текст программы 1
#include
#include
#include
intmain(){
int constk=1000;
doublet,y,z;
int i,j;
int n=120;
int n0=1;
doublew=1;
doubleb1=0.5;
doubleb2=1.5;
doublec1=1.2;
doublec3=-1.5;
doubleM=0.03;
doubleh=0.1;
t=0;
doublet1=0;
z=0;
doublez1=0;
y=0.15;
doubley1=0.15;
doubley_max,y_rez,eps,eps1;
doublemas1[1200];
doublemas[1200];
doublee;
FILE*stream;
printf(" t | y | z \n");
/// fprintf(stream, " t | y | z \n");
i=0;
/*open a file for update */
stream= fopen(«DUMMY.FIL», «w+»);
while (t
{
double j1, j2, r1, r2, s;
j1= -1.0 + 2.0*rand()/((double)RAND_MAX — 1.0);
j2= -1.0 + 2.0*rand()/((double)RAND_MAX — 1.0);
s = j1*j1 + j2*j2;
if (s
{
r1= j1 * sqrt(-2*log(s)/s);
r2= j2 * sqrt(-2*log(s)/s);
};
e=r1;
t=t+h;
y=y+h*z;
z=z+h*(e*pow((n0/h),1/2)-b1*z-b2*fabs(z)*z-c1*y-c3*pow(y,3));
mas[i]=y;
printf("%f | %f | %f \n",t,y,z);
/* write some data to the file */
fprintf(stream, "%f | %f |%f \n",t,y,z);
t1=t1+h/2;
y1=y+((h/2)*z1);
z1=z1+((h/2)*(e*pow((n0/h),1/2)-b1*z-b2*fabs(z)*z-c1*y-c3*pow(y,3)));
mas1[i]=y1;
i=i+1;
}
/* close the file */
// fclose(stream);
y_rez=0;
y_max=mas1[0];
for (i=0; i
{
y_rez=y_rez+(pow((mas1[i]-mas[i]),2));
if (mas1[i]>y_max)
y_max=mas1[i];
}
eps=pow(y_rez/n,0.5)/fabs(y_max);
printf("%fepsilon for our operations\n",eps);
fprintf(stream, "%f epsilon for our operations\n",eps);
fclose(stream);
return 0;
}