Содержание
Введение… 2
1Постановка задачи… 4
2Математические и алгоритмические основы решения задачи… 7
2.1Сумма матриц… 7
2.2Разность матриц… 7
2.3Умножение матрицы на число λ… 8
2.4Умножение матриц… 9
2.5Транспонирование матрицы… 10
3 Функциональныемодели и блок-схемы решения задачи… 12
4Программная реализация решения задачи… 18
5Пример выполнения программы… 27
Заключение… 29
Списокиспользованных источников и литературы… 30
Введение
Многие теоретические и практические вопросы приводят не кодному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными.Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ойстепени с n неизвестными:
/>a11x1 + … + a1n xn = b1 ;
a21x1 + … + a2n xn = b2 ;
………………………………
am1x1+ … + amnxn = bm .
Здесь x1, …, xn – неизвестные, а коэффициенты записанытак, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного.Значение систем 1ой степени определяется не только тем, что они простейшие. Напрактике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенямикоторых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся впервом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейныхуравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразныхприкладных задач. Ещё Г.Лейбниц (1693) обратил внимание на то, что при изучениисистем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая изкоэффициентов, и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n) строитьтак называемые определители, при помощи которых исследуются системы линейныхуравнений. Впоследствии такие матрицы, или матрицы, стали предметомсамостоятельного изучения, так как обнаружилось, что их роль не исчерпываетсяприложениями к теории систем линейных уравнений. Современная алгебра,понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами,является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы длявсей математики. Для современной алгебры характерно то, что в центре вниманияоказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся данныеоперации. Классическим разделом алгебры является линейная алгебра, т.е. теориявекторных пространств и модулей, частью которых являются сформировавшиеся ещё вXIX веке теория линейных уравнений и теория матриц. Идеи и методы линейнойалгебры применяются во многих разделах математики. Так, основным предметомизучения функционального анализа являются бесконечномерные векторныепространства.
1 Постановка задачи
Требуется разработать программу, реализующую основные операцииалгебры матриц: сложение, вычитание, умножение, транспонирование, а такжеумножение матрицы на число.
Пример 1. Над матрицами А и В выполнить основные операции:
/>
/>.
Сумма матриц:
/>.
Разность матриц:
/>.
Транспонирование матрицы A и B:
/>
/>.
Умножение матрицы A на число 3:
/>.
Умножение матриц />:
/>
Пример 2. Над матрицами А и В выполнить основныеоперации:
/>
/>.
Сумма матриц:
Невозможно вычислить сумму матриц, так как число строкматрицы A не равно числу строк матрицы B.
Разность матриц:
Невозможно вычислить разность матриц, так как число строкматрицы A не равно числу строк матрицы B..
Транспонирование матрицы A и B:
Так как матрица A не квадратная невозможно выполнить еетранспонирование.
/>.
Умножение матрицы A на число 5:
/>.
Умножение матриц />:
/>.
2 Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Сумма матриц
Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называетсяматрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементовматриц А и В. Таким образом, если
/> (1)
/> (2)
/>.
Операция нахождения суммы матриц называется сложениемматриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковы размеров.
2.2 Разность матриц
Так же, как и сумма, определяется разность двух матриц
/>