Курсовая работа
«Исследование точности численногодифференцирования»
Екатеринбург 2009 г.
/>1. Подробное описание задачии метод ее решения
Исследуйтедва метода численного дифференцирования:
/>
где xi– узел равномерной сетки с шагом h.
Предполагается,что отрезок дифференцирования [a, b] разбит на n равных частей системой точек (сеткой)
/>
Исследованиепроведите на примерах:
/>
Относительнуюпогрешность определяйте относительно максимального значения функции наинтервале, абсолютную погрешность рассчитайте относительно значенийаналитически вычисленной производной.
Численноедифференцирование применяется, если функцию y(x) трудно или невозможнопродифференцировать аналитически – например, если она задана таблицей. Ононужно также при решении дифференциальных уравнений при помощи разностныхметодов.
Причисленном дифференцировании функцию y(x) аппроксимируют легковычисляемой функцией. При этом можно использовать различные способыаппроксимации. Задание требует исследовать 2 метода. Оба метода можно применятьдля всех функций, приведенных в задании, исходя из области определения этихфункций.
Насамом деле, метод решения данной задачи довольно тривиален, так как все формулыприведены в условии задачи.
Входные данные: номер функции, номер метода, точность (шаг), левое значение,правое значение. Для функции у=cos2mxнужно выбрать параметр m из предложенных.
Выходные данные: аргумент, значение функции при заданном параметре, значениепервой производной, абсолютная погрешность, относительная погрешность.
1) y=cos2mx, для m=1 [0, 3.14]
выберемшаг=0,3 и интервал [0,3.14]
Метод 1параметр значение функции
значение
производной абсолютная погрешность относительная погрешность 1 0,3 0,912668 -0,531369 0,0596719 0,59104 0,6 0,681179 -0,877115 0,25217 1,12928 0,9 0,386399 -0,91646 0,650194 1,56665 1,2 0,131303 -0,635659 1,22842 1,86408 1,5 0,00500375 -0,132804 1,86219 1,99499 1,8 0,0516208 0,416443 2,36414 1,9477 2,1 0,25487 0,820214 2,54663 1,72642 2,4 0,543749 0,937461 2,28839 1,35093 2,7 0,817346 0,727226 1,58199 0,85476 3 0,980085 0,26295 0,54519 0,28224
Метод 2параметр значение функции
значение
производной абсолютная погрешность относительная погрешность 1 0,3 0,912668 -0,562306 0,0287348 0,59104 0,6 0,681179 -0,928182 0,201103 1,12928 0,9 0,386399 -0,969817 0,596837 1,56665 1,2 0,131303 -0,672668 1,19141 1,86408 1,5 0,00500375 -0,140536 1,85445 1,99499 1,8 0,0516208 0,440689 2,38838 1,9477 2,1 0,25487 0,867969 2,59439 1,72642 2,4 0,543749 0,992042 2,34297 1,35093 2,7 0,817346 0,769566 1,62433 0,85476 3 0,980085 0,278259 0,560499 0,28224
Графики
Для первого графика выберем шаг = 0,05, для большей точностипостроения
численныйдифференцирование абсолютный погрешность
/>
Рисунок 1. Значение функции y=cos2mx при m=1
/>
Рисунок 2. Значение первой производной функции y=cos2mx при m=1
/>
Рисунок 3. Абсолютная погрешность функции y=cos2mx при m=1
/>
Рисунок 4. Относительная погрешность функции y=cos2mx при m=1
2) y=cos2mx, для m=12 [0, 3.14]
выберемшаг=0,3 и интервал [0,3.14]
Метод 1параметр значение функции
значение
производной абсолютная погрешность относительная погрешность 1 0,3 0,804176 -1,04985 1,93489 0,885041 0,6 0,370091 -1,27735 0,309983 1,58734 0,9 0,037764 -0,50431 2,46618 1,96187 1,2 0,067505 0,663757 2,59507 1,93132 1,5 0,436018 1,31191 0,190069 1,50197 1,8 0,854648 0,932442 1,69494 0,762501 2,1 0,995483 -0,177401 0,0429848 0,134416 2,4 0,748207 -1,14829 2,15186 1,00358 2,7 0,306512 -1,21972 0,445798 1,66552 3 0,016375 -0,335752 2,31931 1,98356
Метод 2параметр значение функции
значение
производной абсолютная погрешность относительная погрешность 1 0,3 0,804176 -1,04985 1,93489 0,885041 0,6 0,370091 -1,27735 0,309983 1,58734 0,9 0,037764 -0,50431 2,46618 1,96187 1,2 0,067505 0,663757 2,59507 1,93132 1,5 0,436018 1,31191 0,190069 1,50197 1,8 0,854648 0,932442 1,69494 0,762501 2,1 0,995483 -0,177401 0,0429848 0,134416 2,4 0,748207 -1,14829 2,15186 1,00358 2,7 0,306512 -1,21972 0,445798 1,66552 3 0,016375 -0,335752 2,31931 1,98356
Графики
Для первых двух графиков выберем шаг = 0,05
/>
Рисунок 5. Значение функции y=cos2mx при m=12
/>
Рисунок 6. Значение первой производной функцииy=cos2mx при m=12
/>
Рисунок 7. Абсолютная погрешность функцииy=cos2mx при m=12
/>
Рисунок 8. Относительная погрешность функцииy=cos2mx при m=12
3) y=/> [0.01,1]
выберем шаг=0,05 на интервале [0. 5,1], графики при этих данных наиболеенаглядные данные.
Метод 1параметр значение функции
значение
производной абсолютная погрешность относительная погрешность 0,5 4 -16,3249 0,324865 4 0,55 3,30579 -12,2222 0,201185 3,00526 0,6 2,77778 -9,38921 0,129953 2,31481 0,65 2,36686 -7,36961 0,0869563 1,82066 0,7 2,04082 -5,89086 0,0599575 1,45773 0,75 1,77778 -4,78316 0,0424225 1,18519 0,8 1360531 -3,93695 0,0306973 0,976562 0,85 1,38408 -3,27932 0,022655 0,814166 0,9 1,23457 -2,7605 0,0170138 0,685871 0,95 1,10803 -2,34568 0,0129775 0,583175 1 1 -2,01004 0,0100376 0,5
Метод 2параметр значение функции производная абсолютная относительная 0,5 4 -15,9794 0,0205506 4 0,55 3,30579 -12,0106 0,01042 3,00526 0,6 2,77778 -9,25364 0,0056158 2,31481 0,65 2,36686 -7,27947 0,0031844 1,82066 0,7 2,04082 -5,82902 0,00188505 1,45773 0,75 1,77778 -4,73958 0,00115782 1,18519 0,8 1360531 -3,90552 0,000734272 0,976562 0,85 1,38408 -3,25619 0,000478899 0,814166 0,9 1,23457 -2,74316 0,000320172 0,685871 0,95 1,10803 -2,33248 0,000218821 0,583175 1 1 -1,99985 0,000152533 0,5
Вконце работы программы получен текстовый файл, содержащий аргумент функции,значение функции, значение первой производной, абсолютную и относительнуюпогрешность. По этим данным построены графики зависимости аргумента от значенияфункции, производной, абсолютной и относительной погрешности. Каждый графиксодержит кривые, полученные вычислениями двумя различными методами, графикипримерно совпадают, но все же есть некоторые погрешности.
/>/>Приложение/>/> Описание применения/>/>Техническое задание
Исследуйте два метода численного дифференцирования:
/>
где xi– узел равномерной сетки с шагом h.
Предполагается,что отрезок дифференцирования [a, b] разбит на n равных частей системой точек (сеткой)
/>
Исследованиепроведите на примерах:
/>
Относительнуюпогрешность определяйте относительно максимального значения функции наинтервале, абсолютную погрешность рассчитайте относительно значенийаналитически вычисленной производной. Данная программа предназначена для исследования метода численногодифференцирования/>/>двумя способами.
Программабыла отлажена и проверена на вычислительной установке PC c процессором AMDTurion(tm) X2 Dual Core Mobile RM-76 2.30 Гц, работающей под управлениемоперационной системы Windows 7 Ultimate, ОЗУ 4 Гб. На других вычислительныхустановках программа не проверялась.
Длявыполнения программы выбрана вычислительная установка типа PC с процессоромPentium III (или быстрее) и 256 Мбайт оперативной памяти, оснащенной любой изследующих операционных систем: Windows NT и выше.
Для компиляции исходного кода в исполняемый файлнеобходимкомпилятор MS Visual Studioверсии 2005 и выше, совместимость с другими компиляторами не гарантируется.
Программа derivationпредназначена для исследования метода численного дифференцирования двумяспособами.
Данная программа написана на языке С++,реализована в компиляторе Microsoft Visual Studio 2005.
/>Для выполнения программы достаточновычислительной установки типа PC с процессором Pentium III (или быстрее) и 256Мбайт оперативной памяти, оснащенной любой из следующих операционных систем:Windows NT и выше.
Программа derivationпредназначена для исследования метода численного дифференцирования двумяспособами.
/>Численное дифференцированиеприменяется, если функцию y(x) трудно или невозможно продифференцироватьаналитически – например, если она задана таблицей. Оно нужно также при решениидифференциальных уравнений при помощи разностных методов.
Программа состоит из нескольких функций, рассмотрим ихподробнее.
Описание функции first_function
Данная функция вычисляет значение y=cos2mxи возвращает.
Описание функции first_derivation_real
Данная функция вычисляет аналитическое значение производной первойфункции.
Описание функции Rus
Данная функция предназначена для русификации программы
Описание функции second_function
Данная функция вычисляет значение y=/>
Описание функции second_derivation_real
Данная функция вычисляет аналитическое значение производной второйфункции.
Описание функции first_derivation
Данная функция производит дифференцирование первым способом
Описание функции second_derivation
Данная функция производит дифференцирование вторым способом
pFunc func – указатель на функци., которую надо продифферинцировать
Описание функции WriteToFile
Данная функция записывает полученные значения в файл и вывод вконсоли
Описание функции compute_derivation
Данная функция вычисляет производную
Описание функции _finite
Данная функция проверяет на конечность число.
Описание функции main
Данная функция служит для ввода исходных данных, объединения всехпредыдущих функций, вычисления абсолютных и относительных погрешностей.Используемыетехнические средства
/>Для выполнения программыдостаточно вычислительной установки типа PC с процессором Pentium III (илибыстрее) и 256 Мбайт оперативной памяти, оснащенной любой из следующихоперационных систем: Windows NT и выше.Вызов и загрузка
Для запуска программы derivationнеобходимо открытьдиректорию, в которой находится программа, и использовать (двойной илиодиночный клик, в зависимости от настроек ОС) для запуска файл derivation.exe. После чего должназапуститься данная программа.Текст программы
#include «main.h»
using namespace std;
char bufRus[256];
// файл длязаписи
ofstream *_out;
// Перевод в юникод
char* Rus (const char* text)
{
CharToOem (text, bufRus);
return bufRus;
}
// параметр m для первой функции
int param4func = 1;
// первая функция
double first_function (double x)
{
//cos^2 (m*x)
return cos (param4func*x)*cos (param4func*x);
}
// аналитическое значение производной первой функции
double first_derivation_real (double x)
{ // -2 * sin (m*x)
return -2 * sin (param4func*x);
}
// вторая функция
double second_function (double x)
{
// 1/x^2
return 1/(x*x);
}
// аналитическое значение производной второй функции
double second_derivation_real (double x)
{ // -2 * 1/x^3
return -2 * 1/(x*x*x);
}