Міністерствоосвіти і науки України
Вінницький національний технічнийуніверситет
Інститутавтоматики, електроніки та комп’ютерних систем управління
ФакультетАКСУ
КафедраАІВТ
Курсова робота
здисципліни
«Моделювання на ЕОМ»
Дослідженняметодів чисельного інтегрування
Перевірив: к.т.н., доцент _________ “___”_______2008 Кабачій В.В.
Виконав: ст. Гр. 1АМ-06 _________ “___” _______2008Ігнатенко В.О.
Вінниця2008
Зміст
Анотація… 3
Вступ… 4
1 Теоретичнівідомості… 6
2 Алгоритм Методу… 7
3 Загальнівідомості та функціональне призначення… 11
4 Аналізрезультатів… 13
5 Інструкціякористувачеві… 14
Висновки… 15
Література… 16
Додаток А.Блок-схема програми… 17
Додаток Б. Лістингпрограми… 18
Анотація
В даній курсовій роботі проведенодослідження методу чисельного інтегрування. Дослідження проводилося задопомогою Методу Гауса, при обчисленні інтегралу третього, четвертого тап’ятого порядків.
Дана програма розв’язує інтеграл методомГауса, знаходить похибку і виводить результати порівнюючи їх із розв’язком,отриманим у прикладній програмі MathCAD 2001 Professional.
Вступ
Використання сучасних персональнихкомп’ютерів охоплює майже всі сфери людської діяльності і поступовопідпорядковує собі всі інформаційні технології. В останній час головний аспектзастосування комп’ютерів зсувається з галузей, де комп’ютер був самостійнимінструментом – обчислення при наукових дослідженнях та проектуванні, зберіганнята обробка статистичної інформації тощо, у бік галузей, де комп’ютеррозглядається як складова частина більш масштабних систем – системавтоматичного, та автоматизованого управління, інформаційно – вимірювальнихсистем, систем мультимедії тощо. Сьогодні практично всі фахівці у цих галузяхповинні вільно володіти комп’ютерними технологіями.
За декілька десятиліть світовоїкомп’ютерної індустрії було створено безліч різноманітних мов програмування,проте переважна їх більшість або не дуже вдало копійована, або створена длядеякого вузького спеціалізованого застосування. Внаслідок своєї еволюціїотримали визнання невелика кількість мов програмування, серед яких і добревідома мова Сі. Створюються системи програмування С, до складу якої входятьбібліотеки, з широким набором різноманітних функцій та інтегровані середовищарозробки (IDE – Integrated Development Environment).
Обчислювальна математика заснована начисельних методах, придатних до застосування при розрахунках на ЕОМ. СучасніЕОМ дозволили дослідникам значно підвищити ефективність математичного моделюванняскладних задач науки і техніки. На сьогодні методи дослідження проникаютьпрактично в усі сфери людської діяльності, а математичні моделі стають засобамипізнання.
Значення математичних моделей неперервнозростає у зв'язку з тенденціями до оптимізації технічних пристроїв ітехнологічних схем планування експерименту. Реалізація моделей на ЕОМздійснюється за допомогою різноманітних методів обчислювальної математики, яканеперервно вдосконалюється [3].
1 Теоретичні відомості
Визначений інтеграл – це площа, обмеженаграфіком функції y = f(x), віссю Ох і прямими f(a) і f(b). Якщо він перетинаєвісь Ох, то інтеграл чисельно рівний алгебраїчній сумі площ, що знаходяться покожну сторону вісі Ох.
Обчислення визначених інтегралів має дужешироке застосування. Так наприклад їх обрахунок необхідний в задачах, щопов’язані з оцінкою якості, аналізом інформаційно-вимірювальної техніки,радіоелектроніки.
В основу інтегрування покладено наближенеобчислення площини під кривою, яка описується підінтегральною функцієюінтеграла (1.1):
I =/>f(x)dx (1.1)
Для обчислення визначеного інтеграла відфункції f(х) в тому випадку, коли можна знайти відповідний невизначенийінтеграл F(x), є формула Ньютона-Лейбніца:
I =/>f(x)dx = F(x) /> = F(b) – F(a), (1.2)
Загальний підхід до розв’язування цієїзадачі такий: визначений інтеграл I являє собою площину, обмежену кривою f(х),віссю x та прямими x = a, x =b, відрізок від a до b розбивають на множинуменших відрізків, знаходять наближено площу кожної площини Si, яку отримують затаким розбиванням, значення інтеграла I знаходять як суму площ площин Sі, тобто
I = />Si.
При цьому використовують два способирозбивання початкового відрізка на менші:
а) розбивання відрізка проводиться раніше,до того ж завжди відрізок вибирають рівними (метод прямокутників, трапецій,Сімпсона);
б) місцезнаходження та довжина відрізківвизначаються аналізом, до того ж спочатку ставиться за мету досягти найбільшоїточності з заданим числом відрізків, а потім відповідно з цим визначають їхнімежі (методи Гаусса, Ньютона — Котеса, Чебишева) [6].
2 Алгоритм Методу
Формула Гаусса називається формулою найвищоїалгебраїчної точності. Для формули розрахунку найвища точність може бутидосягнута для поліномів степеня (2n-1), які визначаються 2n постійними ti і Ai(і=1,2,...,n).
Суть методу полягає у визначеннікоефіцієнтів Ai і абсцис точок ti. Для знаходження цих постійних розглянемовиконання формули розрахунку для функцій вигляду (2.1):
f(t)=tk, k=0,1,…,2n-1. (2.1)
Враховуючи (2.2)
/>tkdt=/>, (2.2)
отримаємо систему рівнянь (2.3) [4] :
/>Ai=2;
/>Aiti=0;
/>Aiti2=1; (2.3)
/>Aiti2n-2=/>; />Aiti2n-1=0;
Ця система нелінійна, і її звичайнерозв'язання пов'язане із значними обчислювальними труднощами. Але якщовикористовувати систему для поліномів вигляду (2.4):
f(t)=tkPn(t), k = 0,1,…,n-1, (2.4)
де Pn(t) — поліном Лежандра, тоді її можназвести до лінійної відносно коефіцієнтів Ai з заданими точками ti. Оскільки степеніполіномів в співвідношенні не перевищують 2n-1, повинна виконуватися система і данаформула приймає вигляд (2.5) :
/> tkPn(t)dt=/>AitikPn(ti) (2.5)
В результаті властивості ортогональностіліва частина виразу дорівнює 0, тоді формула буде (2.6): />AitikPn(ti)=0, (2.6) щозавжди забезпечується при будь-яких значеннях Ai в точках ti, які відповідаютькореням відповідних поліномів Лежандра.
Підставляючи ці значення ti в систему івраховуючи перші n рівнянь, можна визначити коефіцієнти Ai.
Формула розрахунку, де ti — нулі поліномаЛагранжа Pn(t), а Ai, i=1,2,...,n визначаються із системи, називається формулоюГаусса.
Значення Ai, ti для різних n наведені вдовідниках.
Для довільного Інтервалу (а,b) формула дляметоду Гаусса приймає вигляд (2.7) :
I=/>/>Aif(xi), (2.7)
де xi обчислюється за формулою (2.8) :
xi=/>+/>ti. (2.8)
Оцінка похибки формули Гаусса з n вузлами визначаєтьсяіз співвідношення (2.9) :
/> (2.9)
де M2n- максимальне значення 2n похідної наділянці (а,b). Враховуючи наведені вище формули розробимо алгоритм методу (рис1) [4].
/>
Рисунок 1 — Алгоритм методу Гауса
3 Загальні відомості та функціональніпризначення
Дана програма обчислює інтеграл виду
I=/>,
методом Гауса третього, четвертого тап’ятого порядків. При зменшенні кроку інтегрування похибка обчислюваньзменшиться.
Програма досить зручна та проста укористуванні. Результати обчислень виводяться на екран монітора разом ізрозв’язком, отриманим в математичному пакеті MathCAD 2001 Professional тапохибкою обчислень .
Програма призначена для обчислення тількиодного інтегралу, що значно зменшує сферу її використання. Але змінившипрограмний код можна досягти обчислення і кількох інтегралів.
Дана програма досить швидко проводитьобрахунок і виводить відповідь безпосередньо на екран монітору.
Програма складена на Borland C++ 5.02 і дляобчислення інтегралу методом Гауса третього, четвертого та п’ятого порядківпотребує такі наступні системні параметри:
— Процесор типу Pentium-2;
-256 Мb ОЗУ;
-Операційні системи MS-Windows 98/95/ХР
-Video пам’ять 32 Мб.
Вхідними даними для програми є:
а) Межі інтегруваня: a = 0, b = 1;
б) Крок інтегрування: h = 0,1; 0,2; 0,5;
в) Підінтегральна функція :
f(x) = />;