Экономико-математическая модель

Экономико-математическая модель
Экономико-математическая модель – это выраженная в формально-математических терминах экономическая абстракция, логическая структура которой определяется как объективными свойствами предметами описания, так и субъективным целевым фактором исследования, для которого это описание предпринимается.
Между моделью и ее прототипом не может существовать взаимооднозначного соответствия, так как модель – это абстракция, связанная с обобщениями и потерей информации. Адекватность реальной действительности — основное требование, предъявляемое к модели.
Конструктивно каждая математическая модель представляет собой совокупность взаимосвязанных математических зависимостей, отражающих определенные группы реальных экономических зависимостей.
Классифицируются экономико-математические модели по различным признакам, в том числе и по математическому инструменту, применяемому при моделировании.
Наиболее распространенными и эффективными математическими методами, которые нашли как теоретическое, так и практическое приложение в экономических исследованиях, являются: дифференциальное исчисление, математическая статистика, линейная алгебра, математическое программирование и другие.
Порядок построения экономико-математической модели
Для построения экономико-математической модели определяется объект исследования: экономика государства в целом, отрасль, предприятие, цех и т.п.
Формулируется цель исследования.
В рассматриваемом экономическом объекте выделяются структурные и функциональные элементы и выделяются наиболее существенные качественные характеристики этих элементов, влияющие на достижения поставленной цели.
Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта. Определяется, какие из них будут рассматриваться как зависимые величины, а какие как независимые.
Формализуются взаимосвязи между определенными параметрами модели, т.е. строится собственно экономико-математическая модель.
Проводятся расчеты по модели и анализируются результаты полученных расчетов.
Если результаты оказываются неудовлетворительными с точки зрения неадекватности отображения моделируемого процесса или явления, то происходит возврат к одному из предшествующих пунктов и процесс повторяется.
Пример экономико-математической модели
Структуру предприятия удобно описывать организационной моделью, которая демонстрирует состав функциональных подразделений предприятия и связи их подчинения и взаимодействия.
При функциональной организационной структуре предприятие подразделяется на элементы, каждый из которых имеет свои задачи и обязанности. Характеристики и особенности того или иного подразделения соответствуют наиболее важным направлениям деятельности предприятия.
Функциональная организационная модель предприятия на примере ОАО швейная фабрика «Березка»:
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
/>

Такой вид организационной модели, как правило, встречается в крупных организациях, когда необходимо обеспечить слаженную совместную работу большого числа функциональных подразделений.
Объектом исследования будет являться швейная фабрика «Березка», целью исследования – оценка эффективности работы выпуска продукции. Более подробно для разрешения поставленной цели будем рассматривать функциональный и структурный элемент объекта — производство.
Наиболее существенные и качественные характеристики этого элемента представлены ниже в таблице 1 за временной период с мая 2005 по май 2006.
Для построения экономико-математической модели применен метод математической статистики.
Расчеты по модели и анализ полученных результатов при использовании данного метода включает в себя этапы:
1.Графическое представление характеристик.
2.Предварительный статистический анализ(анализ данных по выборкам).
3.Корреляционный анализ данных.
4.Регрессионный анализ данных.


сырье, м погонный
затраты на оплату труда,
тыс.руб.
материальные затраты, тыс.руб
амортизация, тыс.руб.
полная себестоимость, тыс.руб
май
230
18729
21516
4642
78164
июнь
303
7415
36225
1951
61068
июль
102
7340
12064
1697
30564
август
175
3156
18770
120
31750
сентябрь
155
31854
32548
5364
93611
октябрь
195
28224
23190
1693
77059
ноябрь
112
19939
17061
2018
53794
декабрь
185
26850
25530
2811
81330
январь
98
18589
21042
4061
57179
февраль
248
25728
35358
3718
89639
март--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
сырье, м погонный
1






затраты на оплату труда, тыс.руб.
0,349630305
1




амортизация, тыс.руб.
0,377214053
0,759164207
1


полная себестоимость, тыс.руб
0,678604269
0,909886866
0,824721504
1
Таблица 15
Матрица парных коэффициентов корреляции для модели без «Сырья»
 
затраты на оплату труда,
тыс.руб.
материальные затраты,
тыс.руб
амортизация,
тыс.руб.
полная себестоимость,
тыс.руб
затраты на оплату труда, тыс.руб.
1






материальные затраты, тыс.руб
0,587647564
1




амортизация,
тыс.руб.
0,759164207
0,612169366
1


полная себестоимость,
тыс.руб
0,909886866
0,825715323
0,824721504
1
Таблица 15
В обеих моделях теперь отсутствует проблема мультиколлениарности, т.к. все парные коэффициенты между факторными признаками
Так как коэффициент корреляции r между результативным и факторными признаками больше > 0,3, то все признаки дальше участвуют в анализе.
Какую из этих двух модель необходимо выбрать покажет дальнейший анализ.
Для определения признаков рассчитали tрасчетное и взяли tтабличное, см. таблицы 6 и 7.
Матрица расчетных значений t – критерия Стьюдента
для модели без «Материальных затрат»
 
сырье, м погонный
затраты на оплату труда, тыс.руб.
амортизация, тыс.руб.
полная себестоимость, тыс.руб
сырье, м погонный








Затраты
на оплату труда,
тыс.руб.
1,237707018






амортизация,
тыс.руб.
1,350871631
3,868284073




полная себестоимость, тыс.руб
3,064211348
7,274210595
4,836609752
 
tтабличное
2,200985159






Таблица 15
Матрица расчетных значений t – критерия Стьюдента
для модели без «Сырья»
 
затраты на оплату труда, тыс.руб.
материальные затраты, тыс.руб
амортизация, тыс.руб.
полная себестоимость
, тыс.руб
затраты на оплату труда тыс.руб.








материальные затраты, тыс.руб
2,408806699






амортизация,
тыс.руб.
3,868284073
2,567683844




полная себестоимость,
тыс.руб
7,274210595
4,854902951
4,836609752
 
tтабличное
2,200985159






Таблица 15
Расчет производился в оболочке «Excel» вручную по формуле (1), tтабличное рассчитывалось с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР исходя из той же формулы.
Выводы: в результате сравнения tрасчетное и tтабличное выяснилось, что с вероятностью 0,95 можно утверждать, что связь между результативным и факторными признаками является существенной (tрасчетное › tтабличное), неслучайной. Какую из этих двух модель лучше выбрать покажет дальнейший анализ.
4. Регрессионный анализ данных.
На этом этапе, используя метод наименьших квадратов, строится многофакторная регрессионная зависимость(уравнение регрессии) результирующего показателя от оставшейся после предшествующих шагов анализа факторных показателей.
Линейная модель, содержащая независимые переменные только в первой степени, имеет вид:
/>(2)
где а0– свободный член,
а1…аn – параметры уравнения (коэффициенты регрессии),
х1….хn – значения факторных признаков.
Параметры уравнения регрессии рассчитываются методом наименьших квадратов, при этом решается система нормальных уравнений с к+1 неизвестными.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Для измерения степени совокупности влияния отобранных факторов на результативный признак рассчитывают совокупный коэффициент детерминации R2 и совокупный коэффициент множественной корреляции R – общие показатели тесноты связи признаков. Пределы изменения: 0 ≤ R ≥ 1. Чем ближе R к 1, тем точнее уравнение множественной линейной регрессии отражает реальную связь.
Проверка значимости моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии. Значимость коэффициента регрессии осуществляется с помощью t – критерия Стьюдента ( отношение коэффициента регрессии к его средней ошибке):
/>(3)
Коэффициент регрессии считается статистически значимым, если tрасчетное › tтабличное с заданными параметрами (уровнем значимости α, = 0,05, и числом степеней свободы υ = n — к -1, где n – число наблюдений, к – число факторных признаков).
Проверка адекватности модели осуществляется с помощью F – критерия Фишера и величины средней ошибки аппроксимации, которая не должна превышать 12 – 15%. Если величина Fрасчетное > Fтабличное, то связь признается существенной. Fтабличное находиться при заданном уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы v1 =k и v2 = n-k-1. (4)
Модель без учета «Материальных затрат»
В таблице 8 сгенерированы результаты по регрессионной статистике.
Регрессионная статистика
Множественный R
0,997434896
R-квадрат
0,994876372
Нормированный R-квадрат
0,993168496
Стандартная ошибка
2219,306976
Наблюдения
13
Таблица 15
Эти результаты соответствуют следующим статистическим показателям:
Множественный R – коэффициент корреляции R,
R-квадрат – коэффициент детерминации R2;
F табличное
3,862548358 В таблице 9 сгенерированы результаты дисперсионного анализа, которые используются для проверки значимости коэффициента детерминации R2.
Таблица 15
 
df
SS
MS
F
Значимость F
Регрессия
3
8607337323
2869112441
582,5226438
1,2734E-10
Остаток
9
44327911,1
4925323,455




Итого
12
8651665234
 
 
 

Df – число степеней свободы, SS – сумма квадратов отклонений,
MS — дисперсия MS, F – расчетное значение F-критерия Фишера,
Значимость F – значение уровня значимости, соответствующее вычисленному F;
 
Коэффи
циенты
Стандарт
ная
ошибка
t-статистика
P-Значение
Нижние 95%
Верхние 95%
полная
себесто-
имость,
тыс.руб
2857,593011
1130,014906
2,528810014
0,094646561
603,5411613
6318,727183
сырье,
м погонный
132,3000047
8,941959918
14,79541464
1,27093E-07
112,071886
152,5281233
затраты
на оплату
труда,
тыс.руб.
1,586039072
0,095432478
16,61948958
4,61669E-08
1,370155809
1,801922334
амортизация,
тыс.руб.
3,357368468
0,582082818
5,76785358
0,000270158
2,040605653
4,674131282 В таблице 10 сгенерированы значения коэффициентов регрессии и их
статистические оценки.
t табличное
2,306004133
Таблица 15
Коэффициенты – значения коэффициентов регрессии,
Стандартная ошибка – стандартные ошибки коэффициентов регрессии,
t – статистика – расчетные значения t – критерия Стьюдента, вычисляемые по формуле 2,
Р-значения – значения уровней значимости, соответствующие вычисленным значениям t,
Нижние 95% и Верхние 95% — соответствующие границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.
В таблице 11 сгенерированы предсказанные значения результирующего фактора Y и значения остатков. Последние вычисляются как разность между предсказанным и исходным значениям Y.
Наблюдение    продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
Остатки
1
65758,37475
12405,62525
2
60420,80042
647,1995839
3
30995,16308
-431,1630845
4
29093,4229
2656,577097
5
99410,20661
-5799,206609
6
74070,10843
2988,891574
7
55740,66995
-1946,669945
8
77635,1743
3694,825697
9
63565,34811
-6386,348112
10
89934,05543
-295,0554319
11
55762,64509
-4523,645092
12
23554,57043
-1865,57043
13
11655,4605
-1145,460501
Таблица 15
Все пояснения к таблицам, а также способ расчета, указаны в модели без учета «Материальных затрат» .
Перейдем к анализу сгенерированных таблиц обеих моделей.
Значение множественного коэффициента регрессии R в модели без учета «Материальных затрат» равно 0, 997, а в модели без учета «Сырья» равно 0,983. Это позволяет сделать вывод, что первая модель точнее отражает реальную связь.
При оценке значимости коэффициентов регрессии с помощью сравнения расчетного и табличного значений t – критерия Стьюдента стало очевидно, что следует выбрать модель «Материальных затрат». В данной модели tрасчетное найденных коэффициентов превышает tтабличное (см. таблицу 10) t – критерия Стьюдента, что позволяет сделать вывод, что коэффициенты регрессии в уравнении являются значимыми.
Тогда как в модели без учета «Сырья» два коэффициента регрессии ниже tтабличное ( см. таблицу 14), что говорит об отсутствии их значимости.
Проверку адекватности модели осуществляем уже только с моделью без учета «Материальных затрат».
Значение средней ошибки аппроксимации не превышает 12-15 %, что хорошо видно на рисунке 2, так как разница между предсказанным и исходным результирующим фактором Y очень небольшая.
Рассчитанный уровень значимости (см. таблицу 9) равен 1,2734E-10
/>

Рисунок 2
Таким образом, получаем искомое уравнение регрессии:
/>
Выводы: Выполнив данную работу по этапам, была построена экономико-математическая модель методом математической статистики на примере ОАО швейной фабрики «Березка». Модель имеет вид:
/>.
Выбранные факторы Х1, Х2 и Х3 существенно влияют на У, что подтверждает правильность их включения в построенную модель.
Так как коэффициент детерминации R2 значим, то это свидетельствует о существенности связи между рассматриваемыми признаками.
Отсюда следует, что построенная модель эффективна.