Министерство Топлива и Энергетики Украины
СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Практическое занятие №4
по дисциплине
«Использование ЭВМ в инженерных расчетах электротехнических систем»
Тема: ЭВМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MathCad В СРЕДЕ WINDOWS 98 ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Вариант №8
Выполнил: студент группы ЭСЭ 22-В
Левицкий П.В.
Проверил:_______________________
Севастополь 2008
ПЛАН
1. Данные варианта задания.
2. Решение системы дифференциальных уравнений, заданной в нормальной форме Коши
2.1 Теоретическое обоснование
2.2 Теоретическое обоснование применения преобразования Лапласа
2.3 Общее решение однородной системы
2.3.1 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием переходной матрицы.
2.3.2 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием функции Mathcad
2.3.3 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием преобразования Лапласа
2.4Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений
при заданном внешнем воздействии и нулевых начальных условиях
2.4.1 Решение с применением функций MATHCAD
2.4.2 Решение с применением преобразования Лапласа
2.5Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений
при заданном внешнем воздействии y=cos(2t) и нулевых начальных условиях
2.5.1 Решение с помощью переходной матрицы
2.5.2 Численный метод решения системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью MATHCAD.
2.5.3 Решение системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью преобразования Лапласа
2.6 Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений
при заданном внешнем воздействии и начальных условиях
2.6.1 Решение с помощью функции MATHCAD
2.6.2 Решение с помощью преобразования Лапласа
2.6.3 Решение с помощью преобразования Лапласа (способ второй)
3. Выводы по работе №4.
1. Данные варианта задания
Система линейных дифференциальных уравнений в форме Коши
/>
Таблица № 1
№
вар
Ко э ф ф и ц и е н т ы с и с т е м ы д и ф ф е р н е ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й
Начальные условия
а11
а12
а13
а14
а21
а22
а23
а24
а31
а32
а33
а34
а41
а42
а43
а44
b
b1
b2
b3
х(0)
х1(0)
х2(0)
х3(0)
8
-2,4
1,4
1,6
-1,8
-2,6
-12
0,6
4,0
-0,8
-0,85
-0,1
0,2
0,4
1,2
1,0
-1,5
0,1
0,2
0,6
-0.8
5.1 --PAGE_BREAK--
Электротехническая система описывается заданной системой линейных дифференциальных уравнений с 4 искомыми функциями х0(t), x1(t),x2(t), x3(t):
Матрицы системы:
/>
/>/>
/>
2. Решение системы дифференциальных уравнений, заданной в нормальной форме Коши
2.1 Теоретическое обоснование
Можно записать в виде матричного дифференциального уравнения:
/>
или на основании правила дифференцирования матриц:
/>
Совокупность решений системы дифференциальных уравнений будем искать в форме
/>
/>здесь /> — общее решение однородной системы дифференциальных уравнений
X(t) — частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений />.
Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений
Для определения общего решения системы дифференциальных уравнений необходимо:
найти собственные значения λiматрицы А, используя выражение:
/>
найти переходную матрицу:
/>
где Р – матрица, составленная из собственных векторов viматрицы А, которые определяются из выражения:
Аvi= λivii= 1,2..n/>— одно из произвольных значений вектора-столбца (обычно принимают vi1= 1)
Тогда />причем />— диагональная матрица.
/>Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений будет иметь вид:
/>
Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений ищется:
/>
Общее решение неоднородной системы дифференциальных уравнений тогда будет иметь вид:
/>
В данной работе мы будем определять аналитические зависимости изменения переменных состояния системы численными методами с использованием переходной матрицы, а также с помощью специальных функций MATHCAD.
2.2 Теоретическое обоснование применения преобразования Лапласа
Классический метод решения системы дифференциальных уравнений высокого порядка связан с большими вычислительными затратами, особенно при определении частного решения неоднородной системы ( при вычислении интеграла). В этом случае целесообразно использовать преобразования Лапласа, что существенно упрощает вычисления и дает значительно большую обозримость решения. Можно отметить следующие преимущества метода преобразования Лапласа:
Для решения системы дифференциальных уравнений методом преобразования Лапласа необходимо решить только одну-единственную систему алгебраических уравнений, а именно систему, определяющую изображение Xi(s) искомых функций хi(t).
Начальные значения входят в эту систему с самого начала и поэтому учитываются автоматически, в то время как при применении классического метода предварительно необходимо найти сначала общие решения (для систем уравнений это весьма сложно) и затем подобрать постоянные интегрирования так, чтобы были удовлетворены начальные условия, что приводит к необходимости решения еще одной системы линейных уравнений. Часто встречающийся на практике случай нулевых начальных значений приводит при применении преобразования Лапласа к особенно простым вычислениям.
Наконец, важное преимущество заключается в том, что каждая неизвестная функция может быть вычислена сама по себе, независимо от вычисления остальных неизвестных функций, что при использовании классическим методом при заданных начальных условиях в общем случае невозможно. Это преимущество особенно ценно, когда практический интерес представляет определение только одной-единственной, неизвестной, вычисление же остальных неизвестных необязательно. продолжение
--PAGE_BREAK--
2.3 Общее решение однородной системы
2.3.1 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы с использованием переходной матрицы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия.
Вычисление собственных значений квадратной матрицы А:
Функция identity (4) создаёт единичную матрицу размером 4*4
/>
С помощью символьного процессора можно вычислить аналитически значение переменной, при котором выражение обращается в ноль. Для этого:
Введите выражение.
Выделите переменную, относительно которой будет решаться уравнение, приравнивающее выражение к нулю.
Выберите в меню Symbolics (Символика) пункт Variable / Solve (Переменная / Решить) .
В нашем случае, чтобы найти значения λ, которые являются корнями характеристического уравнения запишем выражение в Mathcad.
/>
Для вычисления собственных значений матрицы А можно применить и функцию eigenvals, ключевое слово float применяется вместе со значением точности вывода результата с плавающей точкой.
/>
Как видно, характеристическое уравнение имеет 4 различных корня, которые являются характеристическими числами матрицы А. Каждому характеристическому числу соответствует свой собственный вектор. Характеристическому числу λ1 соответствует собственный вектор р11; р21; р31; р41; числу λ2 соответствует собственный вектор р12; р22; р32; р42, числу λ3 соответствует собственный вектор р13; р23; р33; р43 числу λ4 соответствует собственный вектор р14; р24; р34; р44.
Тогда система дифференциальных уравнений будет иметь 4 решения. Первое соответствует корню λ1. Второе решение соответствует корню λ2. Третье решение соответствует корню λ3.Четвёртое решение соответствует корню λ4.
Преобразующую матрицу Р определяем по матрице А, используя дополнительную функцию eigenvecs(A) — вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А; n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения, вычисляемого eigenvals;
/>
Для получения общего решения однородной системы дифференциальных уравнений необходимо определить по переходной матрице аналитическое выражение изменения независимых переменных системы.
/>
Также построим график их изменения при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия.
Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмите кнопку Inverse (Обратная матрица) на панели инструментов Matrix (Матрица).
/>
Начальные условия:
/>
С помощью слова complex можно преобразовывать выражения как в символьном виде, так и с учетом численных значений, если они были ранее присвоены переменным.
Ф=P*Q*P^-1
/>
Общее решение системы дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия:
/>
Тогда получим 4 решения:
/>
/>
/>
/> />
Рисунок 1.1. Графики изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия.
2.3.2 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием функции Mathcad
СПРАВКА: В Mathcad 11 имеются три встроенные функции, которые позволяют решать поставленную в форме (2—3) задачу Коши различными численными методами.
rkfixed(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом,
Rkadapt(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с переменным шагом;
Buistoer(y0, t0, t1, M, D) — метод Булирша-Штера;
у0 — вектор начальных значений в точке to размера NXI;
t0 — начальная точка расчета,
t1 — конечная точка расчета,
M — число шагов, на которых численный метод находит решение;
D — векторная функция размера NXI двух аргументов — скалярного t и векторного у При этом у — искомая векторная функция аргумента t того же размера NXI.
Таким образом, воспользуемся функцией Rkadapt (y0, t0, t1, M, D) -получим матрицу решения системы дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D. Тогда решение уравнения динамики электротехнической системы с помощью встроенной функции Rkadapt выглядит так:
Зададим интервал интегрирования t0 — t1, количество шагов интегрирования М, вектор заданных начальных условий X0 и правую часть дифференциального уравнения y(t):
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
/>
Сформируем матрицу системы дифференциальных уравнений:
/>
Применим функцию:
/>
/>
-Интервал времени.
/>
/>
/>
/>
-Значение искомой координаты.
/>/>
/>/>/>
/>
Рисунок 1.2. Графики изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия, полученные с помощью MATHCAD.
Как видно из графического представления решения, график полученный с помощью переходной функции такой же как график, полученный с помощью функции MATHCAD.
2.3.3 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием преобразования Лапласа
Заданную систему уравнений преобразуем по Лапласу и найдем переходную матрицу и изображение по Лапласу переменной состояния системы:
/>
На основании переходной матрицы определим изображение и оригинал переменных состояния систем:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Графики изменения переменных состояния во временной области при отсутствии внешних возмущений и заданных начальных условиях, полученные с помощью преобразования Лапласа представлены на рисунке 7.1.
/>
Рисунок 1.3. Графики изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия, полученных при помощи преобразования Лапласа.
Как видно рисунок 1.3. совпадает с рисунком 1.1, где неизвестные получены с помощью характеристического уравнения системы и рисунком 1.2.- численный метод с использованием функции MATHCAD.
2.4Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений при заданном внешнем воздействии и нулевых начальных условиях
2.4.1 Решение с применением функций MATHCAD
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок 2.1. Графики изменения переменных состояния системы при нулевых начальных условиях и присутствии внешнего воздействия, полученные с помощью MATHCAD.
2.4.2 Решение с применением преобразования Лапласа
/>
/>
/>
Преобразуем по Лапласу заданную систему уравнений и найдем переходную матрицу и изображение переменной состояния системы.
B(s) – преобразованный по Лапласу вектор-столбец внешних возмущений.
/>
/>
Переходная матрица и изображение переменных состояния системы:
/>
На основание матрицы определим изображение и оригинал переменных состояния системы:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Аналогично вычисляем остальные значения x(t)
/>/>
/>
Также применим обратное проеобразование Лапласа, нажав ключевое слово invlaplace на панели Символика.
/>
Рисунок 2.2.Графики изменения переменных состояния системы при нулевых начальных условиях и присутствии внешнего воздействия, полученные с помощью преобразования Лапласа.
Как видно графики совпадают.
2.5 Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений при заданном внешнем воздействии y=cos(2t) и нулевых начальных условиях
2.5.1 Решение с помощью переходной матрицы
В качестве примера рассмотрим случай, если на систему действует воздействие одного вида, например y=cos(2t) .
Определим аналитические выражения изменения независимых переменных системы и их графическое представление при заданных внешних воздействиях и нулевых начальных условиях.
/>
пусть
/>
/>
/>
Рисунок 3.1. Графики изменения переменных состояния системы при при y(t)=cos(2t) и нулевых начальных условиях, полученные способом решения с использованием переходной матрицы.
2.5.2 Численный метод решения системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью MATHCAD
/>
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок 3.2. Графики изменения переменных состояния системы при нулевых начальных условиях и воздействии y=cos(2t) Как видно из графиков решения совпадают.
2.5.3 Решение системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью преобразования Лапласа
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Применив обратное преобразование Лапласа (invlaplace) получим значения x(t), графическое изображение которых на рисунке 3.3. Рисунок совпадает с двумя полученными ранее.
/>
Рисунок 3.3. Графики изменения переменных состояния системы при при y(t)=cos(2t) и нулевых начальных условиях, полученные с помощью преобразования Лапласа.
2.6 Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений при заданном внешнем воздействии и начальных условиях
2.6.1 Решение с помощью функции MATHCAD
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Рисунок 4.1. Графики изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и воздействии, полученных с помощью функции MATHCAD.
2.6.2 Решение с помощью преобразования Лапласа
/>
/>
/>
Аналогично получаем значения Х2общ, Х3общ, Х4общ и строим график изменения переменных системы при заданном внешнем воздействии и начальных условиях, полученный с помощью преобразования Лапласа.
/>
Рисунок 4.2. Графики изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и воздействии, полученных с помощью преобразования Лапласа..
2.6.3 Решение с помощью преобразования Лапласа (способ второй)
/>
/>
/>
/>
/>
Применив обратное преобразование Лапласа, получим изменение параметров системы в зависимости от времени.
/>
Рисунок 4.3… Графики изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и воздействии, полученных с помощью преобразования Лапласа.
Выводы по работе №4
В данной работе были изучены возможности математического пакета MathCad в среде Windows для решения системы дифференциальных уравнений, что часто используется в инженерных расчетах электротехнических систем. Были выполнены решения системы дифференциальных уравнений численным методом и с использование преобразования Лапласа, используя математический пакет MathCad.
Классическим методом расчёта является метод расчёта с использованием переходной матрицы.
Решение уравнения динамики электротехнической системы с помощью встроенной функции Rkadapt очень наглядно и быстро. Воспользовавшись функцией Rkadapt (y0, t0, t1, M, D)-получим матрицу решения системы дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D.
Преобразование Лапласа позволяет преобразовывать дифференциальные уравнения по t в линейные уравнения по S. Переменные вещественного аргумента t меняется на переменные комплексного аргумента s. Дифференцирование заменяется умножением на s, повторное- на s в квадрате и т.д.С помощью laplace находим изображения функций, описывающих внешние воздействия на систему.
Решение с помощью преобразования Лапласа требует создания переходной матрицы. Этот вопрос решается очень легко, используя функцию identity из mathcad. Для нахождения изменения параметров системы в зависимости от времени используется обратное преобразование Лапласа (invlaplace).
Сравнивая графики изменения переменных состояния системы во временной области видим, что результаты решения системы дифференциальных уравнений различными методами одни и те же. Однако численный метод решения системы дифференциальных уравнений с использованием Mathcad намного проще. То что графики имеют один и тот же вид подтверждает правильность решения однородной системы дифференциальных уравнений.