НижегородскийГосударственный Технический Университет
Кафедра: «Прикладная математика»
Курсовая работа по информатике
Тема: «Решение задачи разгона установившегося движения и замедление судна в процессе его эксплуатации (»Беларусь-В")"
Выполнил:
Студент
Ткачева Е.С.
Проверила:
Жданова О.С.
Нижний Новгород
2009 г.
Оглавление
1. Постановка задачи и её математическая модель
2. Методика и алгоритмы решения задач
3.Первая модельная задача
4.Вторая модельная задача
5.Третья модельная задача
6.Сводная таблица результатов и выводы
1. Постановка задачи и её математическая модель.
1.1Общая задача описания динамики разгона (торможения) судна
Из курса теоретической механики известно, что в соответствии с принципом Даламбера неустановившееся движение тела описывается вторым законом Ньютона. Поскольку в данной задаче рассчитывается движение лишь в направлении одной из осей координат, то достаточно записать уравнения движения в проекции на ось Х и решать его относительно скорости V и пройденного по этой координате пути S.
1.2Физическая и математическая модели неустановившегося движения судна
Основным уравнением задачи в этом случае является уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось координат X.
ma = F (1)
Здесь:
m – масса тела (судна);
а = dV/dt – ускорение тела;
F – сумма всех сил, действующих на судно, в проекции на ось X.
Равнодействующая сила F складывается из двух сил:
R – сопротивление движению судна;
Т – тяга движения (как правило, гребного винта).
Из физических соображений понятно, что сопротивление R зависит от скорости движения (чем больше скорость V, тем больше сопротивление R) и направлена против скорости V, т.е. в отрицательном направлении оси X. Тяга, создаваемая гребным винтом, также зависит от скорости судна, но действует в противоположном направлении силе сопротивления R, т.е. направлена в положительном направлении оси X. Во время стоянки судна V=0 b R(V)=0.
Тяга, создаваемая гребным винтом, также зависит от скорости движения судна, но действует в противоположном силе сопротивления R направлении, т.е. направлена противоположном направлении оси Х.
С учетом сказанного, уравнение (1) можно записать в виде:
/>(2)
Таким образом, получено обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно скорости движения судна V.
Для определения пройденного за время «разгона» пути S к этому уравнению (2) необходимо добавить уравнение dS/dt=V, являющееся определением понятия – «скорость». Математическая модель задачи записывается в виде системы из двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, записанных в каноническом виде:
/>(3)
Здесь функции R(V) и T(V) являются заданными и находятся по испытаниям моделей судна и гребного винта. Как правило, эти функции задаются либо графически, либо таблично.
Для решения системы уравнений (3) необходимо задать начальные условия. Обычно они задаются в виде t=0 или V=Vn.
2. Методика и алгоритмы решения задачи
2.1Формирование функций исходных данных
В курсовой работе исходными данными являются функции R(V) и T(V), которые представлены в графическом виде. Решением данной задачи является снятие контрольных точек с графиков (R(V) – 16-20 точек и T(V) – 8-10 точек) включая первую и последнюю и заполнение таблиц исходных данных (расчёты производятся в системе СИ).
2.2Аппроксимация исходных данных
По сформированным таблицам этих функций необходимо:
выбрать класс аппроксимирующей функции (если выбран полином, то необходимо выбрать его степень исходя из вида кривой по характерным точкам, выбранным из контрольных);
определить коэффициент аппроксимации;
рассчитать и вывести на дисплей графики аппроксимирующих функций.
Модельная задача №1.Линейная аппроксимация исходных функций R(V) и T(V) на всём участке по первой и последней точкам.
Модельная задача №2.Кусочно-линейная аппроксимация исходных функций R(V) (3 участка) и функции T(V) (2 участка).
Модельная задача №3.Кусочо-нелинейная аппроксимация исходных функций R(V) (не менее 3 участков) и T(V) на всём участке. Подобрать оптимальный вариант аппроксимирующих функций с учётом неразрывности функции на границах участков.
2.3Эталонное аналитическое решение системы дифференциальных уравнений
Для отладки программы решения общей (при произвольных R(V) и T(V)) системы (3) целесообразно задать эти функции в виде полиномов 1-й степени.
/>(4)
Здесь коэффициенты аппроксимации/> находятся по методу интерполяции по первой и последней точкам.
Подставляя соотношения (4) в систему (3) получим:
/>или /> (5)
где F0=T0-R0, F1=T1-R1.
Это простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
/>(6)
Решение этого уравнения:
/>
Здесь начальные условия входят в пределы интегрирования. Вычисляя интегралы, получаем:
/>
Потенцируя, получаем:
/>
/>
Это и есть точное решение уравнения (6). При t=0 имеем V=VH, то есть начальное условие выполнено автоматически. При разгоне коэффициент F1 получаем:--PAGE_BREAK--
/>при F1 (7)
При отладке программы в общем случае получаемое численное решение с линейными аппроксимациями T(V) и R(V) сравнивается с точным для проверки правильности алгоритма решения. На этом этапе расчёта строится график зависимости V=V(t) и график численного решения уравнения (6). Он совпадают с заданной точностью.
2.4Вычисление кинетической энергии
Для расчёта кинетической энергии затрачиваемой на разгон судна используется известное соотношение
/>
Такой же расчёт необходимо произвести для задачи торможения.
Вычисление интеграла производится одним из численных методов на основании результатов, полученных в третьей модельной задаче.
Контрольные точки с графиков
V
R(V)
T(V)
км/ч
м/с
кг
Н
кг
Н
1
1950
19110
2
4
1,1112
20
196
1940
19012
3
8
2,2224
100
980
1915
18767
4
12
3,3336
260
2548
1900
18620
5
16
4,4448
590
5782
1885
18473
6
20
5,556
1060
10388
1860
18228
7
24
6,6672
1340
13132
1820
17836
8
28
7,7784
1460
14308
1795
17591
9
30
8,334
1490
14602
1780
17444
10
32
8,8896
1500
14700
1730
16954
11
34
9,4452
1490
14602
1705
16709
12
36
10,0008
1475
14455
1690
16562
13
40
11,112
1390
13622
1610
15778
14
44
12,2232
1295
12691
1540
15092
15
48
13,3344
1195
11711
1460
14308
16
52
14,4456
1090
10682
1380
13524
17
56
15,5568
1010
9898
1285
12593
18
60
16,668
1005
9849
1185
11613
19
65
18,057
1060
10388
1060
10388
20
70
19,446
1190
11662
960
9408
/>
3. Первая модельная задача
/>
Нахождение корня шаговым методом:
V
F(V)
37,5
400,5
37,75
275,77
38
151,04
38,25 продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
e=
0,001
Метод Ньютона
V
F(V)
F'(V)
|F(V)
77,33
8,26
-178
77,376404
-178
скорость!
5. Третья модельная задача
/>
Нахождение корня:
V
F(V)
28
197,3728
28,11
67,90212
28,22
-61,82168
28,33
-191,7965
28,44
-322,0201
/>
6.Сводная таблица результатов и выводы
Таблица полученных результатов:
Реализация
Vст
Разгон
Торможение
T, c
S, м
E, МДж
T, c
S, м
Модельная задача №1
MathCAD
14,964
2,165
2,118
0,5
12,892
4,525
Visual C++
15,33
2,16
x
0,14
3,56
x
Модельная задача №2
MathCAD
18,1
2,714
1,386
0,237
21,025
3,317
Visual C++
18,25
1,64
x
x
x
x
Модельная задача №3
MathCAD
11,078
1,825
-9,714
13,44
11,679
-15,637
Visual C++
11,31
1,87
x
18,28
3,63
x
Вывод: результаты вычислений могут меняться в зависимости от метода и программы, которыми мы считаем. Причем некоторые методы не дадут нам вовсе правильного результата.