СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Постановка задачи
2. Равенство: так как
, следовательно A не равно B.
3. Пересечение: .
4. Объединение: .
5. Разность: .
6. Произведение:
7. Отрицание: ,
.
8. Дизъюнктивная сумма: .
Пример 2.
Пусть:
;
.
Решение:
1. Содержание: так как
, B доминирует A.
2. Равенство: так как
, следовательно A равно B.
3. Пересечение:
.
4. Объединение:
.
5. Разность:
.
6. Произведение
7. Отрицание:
,
.
7. Дизъюнктивная сумма:
.
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Понятие нечеткого множества
Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество -- понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье "Fuzzy Sets" (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только значения 0 или 1.
Под нечётким множеством A понимается совокупность
,
где-- X универсальное множество, а -- функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента нечёткому множеству A.
Функция принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве M. Множество M называют множеством принадлежностей, часто в качестве M выбирается отрезок . Если , то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.
2.2 Операции над нечеткими множествами
Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.
2.2.1 Содержание
Говорят, что A содержится в B, если
.
Обозначение: A М B.
Иногда используют термин "доминирование", то есть в случае если A М B, говорят, что B доминирует A.
2.2.2 Равенство
A и B равны, если
.
Обозначение: A = B.
2.2.3 Пересечение
Пересечением нечётких множеств A и B называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B:
.
2.2.4 Объединение
- наименьшее нечеткое подмножество, которое включает как А, так и В, с функцией принадлежности:
2.2.5 Разность
с функцией принадлежности:
.
2.2.6 Произведение
Произведением нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
.
2.2.7 Отрицание
Отрицанием множества A при называется множество с функцией принадлежности:
.
2.2.8 Дизъюнктивная сумма
Дизъюнктивной суммой нечетких множеств A и B называется множество с функцией принадлежности:
.
2.3 Наглядное представление операций над нечеткими множествами
Для нечетких множеств можно применить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.
Пусть A нечеткий интервал между 5 до 8 и B нечеткое число около 4, как показано на рисунке 1 и 2.
Рисунок 1. Множество A Рисунок 2. Множество B
Проиллюстрируем нечеткое множество между 5 AND 8 около 4 (синяя линия).
Рисунок 3. Пересечение множеств А и В
Нечеткое множество между 5 OR 8 около 4 показано на следующем рисунке (синяя линия).
Рисунок 4. Объединение множеств А и В
Следующий рисунок иллюстрирует операцию отрицания. Синяя линия - это отрицание нечеткого множества A.
Рисунок 5. Отрицание множества А
На следующем рисунке заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. Остальные рисунки изображают соответственно .
Рисунок 6. Множества
3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 7 - 14.
Условные обозначения:
· X1 - первое множество;
· X2 - второе множество;
· X - множество.
Рисунок 7 - Функциональная модель решения задачи для функции CONTENT (содержание)
Рисунок 8 - Функциональная модель решения задачи для функции EQUAL_ (равенство)
Рисунок 9 - Функциональная модель решения задачи для функции CROSSING (пересечение)
Рисунок 10 - Функциональная модель решения задачи для функции UNION (объединение)
Рисунок 11 - Функциональная модель решения задачи для функции SUBTR (разность)
Рисунок 12 - Функциональная модель решения задачи для функции MULT (произведение)
Рисунок 13 - Функциональная модель решения задачи для функции ADDITION (отрицание)
Рисунок 14 - Функциональная модель решения задачи для функции DIZ_SUMM (дизъюнктивная сумма)
4. Программная реализация решения задачи
;СОДЕРЖАНИЕ mA(x) < mB(x)
;РАВЕНСТВО mA(X) = mB(X)
;ПЕРЕСЕЧЕНИЕ min( mA(x), mB(x))
;ОБЪЕДИНЕНИЕ max(mA(x), m B(x))
;РАЗНОСТЬ А - B = АЗ с функцией принадлежности: mA-B(x) = mA З (x) = min( mA(x), 1 - m B(x))
;ПРОИЗВЕДЕНИЕ mA(x)* m B(x)
;ОТРИЦАНИЕ A^ = 1-mA(X)
;ДИЗЪЮНКТИВНАЯ СУММА АЕB = (А - B)И(B - А) = (А З ) И( З B) с функцией принадлежности:
;mA-B(x) = max{[min{m A(x), 1 - mB(x)}];[min{1 - mA(x), mB(x)}] }
;СОДЕРЖАНИЕ
;ЕСЛИ МНОЖЕСТВО A СОДЕРЖИТСЯ В МНОЖЕСТВЕ B - РЕЗУЛЬТАТОМ ФУНКЦИИ БУДЕТ 0
(DEFUN CONTENT (X1 X2)
(COND
((NULL X1) 0)
((ATOM X1) (IF (> X1 X2) 1 0))
(T (+ (CONTENT (CAR X1) (CAR X2)) (CONTENT (CDR X1) (CDR X2))))
)
)
;РАВЕНСТВО
;ЕСЛИ МНОЖЕСТВО A РАВНО МНОЖЕСТВУ B - РЕЗУЛЬТАТОМ ФУНКЦИИ БУДЕТ 0
(DEFUN EQUAL_ (X1 X2)
(COND
((NULL X1) 0)
((ATOM X1) (IF (EQUAL X1 X2) 0 1))
(T (+ (EQUAL_ (CAR X1) (CAR X2)) (EQUAL_ (CDR X1) (CDR X2))))
)
)
;ПЕРЕСЕЧЕНИЕ
(DEFUN CROSSING (X1 X2)
(MIN X1 X2)
)
;ОБЪЕДИНЕНИЕ
(DEFUN UNION (X1 X2)
(MAX X1 X2)
)
;РАЗНОСТЬ
(DEFUN SUBTR (X1 X2)
(MIN X1 (- 1 X2))
)
;ПРОИЗВЕДЕНИЕ
(DEFUN MULT (X1 X2)
(* X1 X2)
)
;ОТРИЦАНИЕ
(DEFUN ADDITION (X)
(- 1 X)
)
;ДИЗЪЮНКТИВНАЯ СУММА
(DEFUN DIZ_SUMM (X1 X2)
(MAX (MIN X1 (- 1 X2)) (MIN (- 1 X1) X2))
)
;РЕАЛИЗАЦИЯ ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ
;С ПОМОЩЬЮ ОПИСАННЫХ РАННЕЕ ФУНКЦИЙ
;----------------------------------------------
;ПОЛУЧАЕМ МНОЖЕСТВА
(SETQ INPUT (OPEN " D:MULTITUDE.TXT" :DIRECTION :INPUT))
(SETQ A (READ INPUT))
(SETQ B (READ INPUT))
(CLOSE INPUT)
;СОДЕРЖАНИЕ
(SETQ CONTENT_AB (IF (= (CONTENT A B)) "Mnowestvo A soderzitsya v mnowestve B" "Mnowestvo A NE soderzitsya v mnowestve B"))
;РАВЕНСТВО
(SETQ EQUAL_AB (IF (= (EQUAL_ A B) 0) "Mnowestvo A ravno B" "Mnowestvo A NE ravno B"))
;ПЕРЕСЕЧЕНИЕ
(SETQ CROSS_AB (MAPCAR CROSSING A B))
;ОБЪЕДИНЕНИЕ
(SETQ UNION_AB (MAPCAR UNION A B))
;ПРОИЗВЕДЕНИЕ
(SETQ MULT_AB (MAPCAR MULT A B))
;РАЗНОСТЬ
(SETQ SUBTR_AB (MAPCAR SUBTR A B))
;ОТРИЦАНИЕ
(SETQ A_ (MAPCAR ADDITION A))
(SETQ B_ (MAPCAR ADDITION B))
;ДИЗЪЮКТИВНАЯ СУММА
(SETQ DIZ_SUMM_AB (MAPCAR DIZ_SUMM A B))
;ЗАПИСЫВАЕМ РЕЗУЛЬТАТ ОПЕРАЦИЙ В ФАЙЛ
(SETQ OUTPUT (OPEN "D:RESULT_OPERATIONS.TXT" :DIRECTION :OUTPUT))
(PRINT (LIST A A) OUTPUT)
(PRINT (LIST B B) OUTPUT)
(PRINT OPERATIONS OUTPUT)
(PRINT ------------------------- OUTPUT)
(PRINT (LIST CONTENT_AB CONTENT_AB) OUTPUT)
(PRINT (LIST EQUAL_AB EQUAL_AB) OUTPUT)
(PRINT (LIST CROSS_AB CROSS_AB) OUTPUT)
(PRINT (LIST UNION_AB UNION_AB) OUTPUT)
(PRINT (LIST MULT_AB MULT_AB) OUTPUT)
(PRINT (LIST SUBTR_AB SUBTR_AB) OUTPUT)
(PRINT (LIST A_ A_) OUTPUT)
(PRINT (LIST B_ B_) OUTPUT)
(PRINT (LIST DIZ_SUMM_AB DIZ_SUMM_AB) OUTPUT)
(TERPRI OUTPUT)
(CLOSE OUTPUT)
;КОНЕЦ
5. Пример выполнения программы
Пример 1.
Рисунок 15 - Входные данные
Рисунок 16 - Выходные данные
Пример 2.
Рисунок 17 - Входные данные
Рисунок 18 - Выходные данные
Пример 3.
Рисунок 19 - Входные данные
Рисунок 20 - Выходные данные
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Над нечеткими множествами можно производить различные операции, при этом необходимо определить их так, чтобы в частном случае, когда нечеткое множество является четким (обычным), эти операции переходили в обычные операции теории множеств, то есть операции над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие операции над обычными множествами. При этом обобщение может быть реализовано различными способами, из-за чего какой-либо операции над обычными множествами может соответствовать несколько операций в теории нечетких множеств.
Итогом работы можно считать созданную функциональную модель реализации основных операций над нечеткими множествами. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ и литературы
Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. - М.: Наука, 2007. - 708 с.
Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений [Электронный ресурс] / Заде Л. - М.: Мир, 1976. С. 166.
Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств [Текст] / А.Кофман. - М.: Радио и связь, 1982. С. 432.
Круглов, В.В. Нечёткая логика и искусственные нейронные сети. [Текст] / В.В. Круглов, М.И. Дли, Р.Ю. Голунов. - М.: Питер, 2001. C. 224.
Нечеткое множество [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Нечеткое_множество
Симанков, В.С. Основы функционального программирования [Текст] / В.С.Симанков, Т.Т.Зангиев, И.В.Зайцев. - Краснодар: КубГТУ, 2002. - 160 с.
Степанов, П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А.Степанов, А.В. Бржезовский. - М.: ГУАП, 2003. С. 79.
Хювенен Э. Мир Лиспа [Текст] / Э.Хювенен, Й.Сеппянен. - М.: Мир, 1990. - 460 с.
! | Как писать курсовую работу Практические советы по написанию семестровых и курсовых работ. |
! | Схема написания курсовой Из каких частей состоит курсовик. С чего начать и как правильно закончить работу. |
! | Формулировка проблемы Описываем цель курсовой, что анализируем, разрабатываем, какого результата хотим добиться. |
! | План курсовой работы Нумерованным списком описывается порядок и структура будующей работы. |
! | Введение курсовой работы Что пишется в введении, какой объем вводной части? |
! | Задачи курсовой работы Правильно начинать любую работу с постановки задач, описания того что необходимо сделать. |
! | Источники информации Какими источниками следует пользоваться. Почему не стоит доверять бесплатно скачанным работа. |
! | Заключение курсовой работы Подведение итогов проведенных мероприятий, достигнута ли цель, решена ли проблема. |
! | Оригинальность текстов Каким образом можно повысить оригинальность текстов чтобы пройти проверку антиплагиатом. |
! | Оформление курсовика Требования и методические рекомендации по оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Разновидности курсовых Какие курсовые бывают в чем их особенности и принципиальные отличия. |
→ | Отличие курсового проекта от работы Чем принципиально отличается по структуре и подходу разработка курсового проекта. |
→ | Типичные недостатки На что чаще всего обращают внимание преподаватели и какие ошибки допускают студенты. |
→ | Защита курсовой работы Как подготовиться к защите курсовой работы и как ее провести. |
→ | Доклад на защиту Как подготовить доклад чтобы он был не скучным, интересным и информативным для преподавателя. |
→ | Оценка курсовой работы Каким образом преподаватели оценивают качества подготовленного курсовика. |
Курсовая работа | Деятельность Движения Харе Кришна в свете трансформационных процессов современности |
Курсовая работа | Маркетинговая деятельность предприятия (на примере ООО СФ "Контакт Плюс") |
Курсовая работа | Политический маркетинг |
Курсовая работа | Создание и внедрение мембранного аппарата |
Курсовая работа | Социальные услуги |
Курсовая работа | Педагогические условия нравственного воспитания младших школьников |
Курсовая работа | Деятельность социального педагога по решению проблемы злоупотребления алкоголем среди школьников |
Курсовая работа | Карибский кризис |
Курсовая работа | Сахарный диабет |
Курсовая работа | Разработка оптимизированных систем аспирации процессов переработки и дробления руд в цехе среднего и мелкого дробления Стойленского ГОКа |