Функция называется первообразной функции в области в области если дифференцируема в и
Теорема 1. Если однозначная функция дифференцируема в односвязной области то она имеет первообразную в этой области. Одной из первообразных является интеграл где любой кусочно-гладкий путь, соединяющий фиксированную точку с текущей точкой . Все остальные первообразные имеют вид где произвольная комплексная постоянная.
Доказательство этой теоремы проводится так же, как и в действительном анализе. Используя эту теорему, нетрудно доказать следующие утверждения.
1. Если функция аналитична в односвязной области и её первообразная в , то справедлива формула Ньютона-Лейбница
2. Если функция аналитична в односвязной области и её первообразная в , то справедлива формула интегрирования по частям
Замена переменных в интегралах от функции комплексного переменного аналогична случаю функции действительного переменного. Пусть аналитическая функция отображает взаимно однозначно кусочно-гладкий контур в плоскости на контур в плоскости . Тогда
Замечание 2.Интегралы от элементарных однозначных функций в односвязных областях вычисляются по тем же формулам, что и в действительном анализе. Если же область неодносвязна, то это правило может нарушаться. Для вычисления интеграла от многозначной функции указывается, какая именно однозначная ветвь ее берется. Это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования. Если контур интегрирования замкнут, то начальной точкой пути интегрирования считается та, в которой задано значение подынтегральной функции. Рассмотрим примеры (пример взяты из пособия Острая О.В. “Теория функций комплексного переменного”.- Оренбург, 2008).
Пример 3.Вычислить по кривой , соединяющей точки .
Решение. Для параболы имеем , . По формуле (48) .
Пример 4.Вычислить , где – дуга окружности , .
Решение. Положим , . Тогда , и по формуле (49) находим:
.
Пример 5.Вычислить .
Решение. Так как подынтегральная функция аналитична всюду, то по (50) найдем: .
Пример 6. Вычислить .
Решение. Функции и аналитичны всюду. По формуле (51) получим:
.
Пример 7. Вычислить , .
Решение. Функция является многозначной: , ; . Условию удовлетворяет та однозначная ветвь этой функции, для которой . Действительно, при (и так как ) . Полагая теперь , на кривой , находим , и, следовательно, .
Лекция 8. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана
Пусть дана функциональная последовательность состоящая из комплексных функций ( Тогда формальная сумма бесконечного числа слагаемых:
называется рядом, построенным по указанной функциональной последовательности. В частности, если все то ряд будет числовым. При этом общий член ряда (1), а его я частичная сумма. Множество
{все имеют смысл}
называется областью определения ряда (1).
Определение 1. Говорят, что ряд (1) сходится в точке к сумме если существует конечный предел его частичных сумм. Это эквивалентно высказыванию Если здесь номер не зависит от (т.е. ), то говорят, что ряд (1) сходится равномерно по (или равномерно на множестве ).
Это определение фактически не отличается от аналогичного определения в действительном анализе. Поэтому здесь также справедливы следующие утверждения.
1. Если ряд (1) сходится в точке , то его общий член при
2. Если “модульный ряд” сходится, то сходится и сам ряд (1) (в этом случае говорят, что ряд (1) сходится абсолютно; если ряд (1) сходится, а его “модульный ряд” расходится, то говорят, что (1) сходится условно).
Для нахождения области абсолютной сходимости ряда (1) и области его равномерной сходимости надо применить известные признаки сходимости (Даламбера, Коши, интегральный признак, признак Вейерштрасса) к действительному знакоположительному ряду При этом все свойства равномерно сходящихся действительных рядов рядов переносятся и на комплексные ряды. Эти свойства следующие.
3. Если ряд (1) состоит из непрерывных на множестве слагаемых и сходится к сумме равномерно на множестве , то его сумма непрерывна на .
4. Если ряд (1) сходится равномерно на ограниченной кусочно- гладкой кривой и все его члены непрерывны на то ряд (1) можно интегрировать на т.е.
5. Если все члены ряда (1) аналитичны в ограниченной односвязной области и ряд (1) сходится равномерно в замкнутой области то его сумма аналитична в причем
а ряд из производных будет сходиться равномерно по